第七章線性變換（習(xí)題二）

1、第七章 習(xí) 題 課（一）一、復(fù)習(xí)內(nèi)容1、線性空間的值域、核的概念及表示法；2、線性變換的秩、的零度的概念；3、線性變換的秩、零度與線性空間的維數(shù)之間的關(guān)系；4、等式 是否成立？5、若是線性空間的一個(gè)線性變換，是的一組基，則 。若在基的矩陣是，則的秩為？6、不變子空間（ 子空間）的概念；7、線性變換的值域與核的概念。二、新課講解1、設(shè)是維線性空間的線性變換，是中一個(gè)非零向量。證明：如果線性無關(guān)，而線性相關(guān)，那么1）是子空間；2）是包含的最小子空間。證明：1）因?yàn)榫€性無關(guān)，而線性相關(guān)，所以可以由線性表示。因此在下的象都在中，故是子空間。2）如果子空間包含，則包含的象，的象，的象，所以，即是包含的最

2、小子空間。2、 設(shè)是四維線性空間的一組基，已知線性變換這組基下的矩陣為2）求的值域與核；解：設(shè)在基的矩陣為，先求。令，它在下的坐標(biāo)為，在下的坐標(biāo)為，于是，解此方程組得一組基礎(chǔ)解系為，所以令，因此是的一組基，且。再求。顯然，故的維數(shù)為2，因?yàn)榈那皟闪胁怀杀壤?，所以，線性無關(guān)，是的一組基，即。3、1）設(shè)是線性變換的兩個(gè)不同的特征值，是分別屬于的特征向量，證明：不是的特征向量；2）證明：如果線性空間的線性變換以中每個(gè)非零向量作為它的特征向量，那么是數(shù)乘變換。解：1）因?yàn)椋?，所以。（反證法）若是的特征向量，則有，故有，即，由于線性無關(guān)，故有。與是不同的特征值矛盾。所以不是的特征向量。 2）取的一組基

3、，并設(shè)，由1）知（否則，若時(shí)，則也不是特征向量，與題設(shè)矛盾）。從而對任何向量，都有，故是數(shù)乘變換。4、設(shè)是復(fù)數(shù)域上的維線性空間, 是的線性變換,且。證明：1）如果是的一特征值，那么是的不變子空間；2）至少有一個(gè)公共特征向量。證明：1） 設(shè)，則 ，所以，即 。故 是的不變子空間。2） 由于是的不變子空間，記，在復(fù)數(shù)域上，必有特征值，即有，使 。所以。而 ，故 ，因此 是 與的公共特征向量。5、補(bǔ)充題一、設(shè)矩陣可相似于對角矩陣，求和應(yīng)該滿足的條件.解：的特征多項(xiàng)式為， 故有特征值（二重），（一重）. 又可對角化當(dāng)且僅當(dāng)?shù)扔?減去的重?cái)?shù)，即可對角化當(dāng)且僅當(dāng)。 而， ，故可對角化. 二、設(shè)矩陣相似于矩

4、陣，（1）求和的值.（2）求可逆矩陣，使.解：(1) 由于、B的行列式為，由題設(shè)、B相似，故，即，解得. (2) 由題設(shè)特征值為2,6. 解得的基礎(chǔ)解系為. 解得的基礎(chǔ)解系為. 所以. 三、對任意的,定義上線性變換，試求的核和值域.解：取的一組基 則，在該基下的矩陣為，即。若，令，則，故，即。次齊次線性方程組的解為，其中為數(shù)域中任意常數(shù).的核為.的值域?yàn)?四、設(shè)的線性變換，試求的核和值域.解： 取的一組基， 則，在該基下的矩陣為，經(jīng)初等行變換有，所以的解為，其中為數(shù)域中任意常數(shù).的核為.的值域?yàn)?5、課堂練習(xí)設(shè)是線性空間的線性變換。1） 證明：是可逆的充要條件是且。2） 問：只有或者一個(gè)條件成立，是否能得出是可逆的線性變換。1） 證明：因?yàn)槭强赡娴某湟獥l件是，既是單射又是滿射。而既是單射的充要條件是；是滿射的充要條件是。所以可逆的充要條件是且。2）證明：對于有限維線性空間來說，由于，因此 或者 一個(gè)條件成立，都可以推出是可逆的線性變換。但對于無限維線性空間來說，這一結(jié)論不成立。例如：，微商線性變換 ，滿