常微分方程階段(2)復(fù)習(xí)題

1、常微分方程第二階段試題一 .單選題1.函數(shù) ycos( xC ) （其中 C 為任意常數(shù)）所滿足的微分方程是（）( A) ysin( xC ) ；(B) y 2y 21；(C ) ysin( xC ) ；( D ) y 22 y22 。2. 二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y1 (x) , y2 ( x) 成為其基本解組的充要條件是（）（ A）線性無(wú)關(guān)（ B）朗斯基行列式為零（ C）1( x)（常數(shù)）（ D）線性相關(guān)2 ( x)=C3. 二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y1 (x) , y2 ( x) 不是基本解組的充要條件是（）（ A）線性無(wú)關(guān)（ B）朗斯基行列式不為零（ C）1 (x)C（常數(shù)）（

2、 ）線性相關(guān)2 (x)4. 線性齊次微分方程組dxA(t ) x 的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多于（）dt（ A） n-1（ C） n+1n+2（ B）n（ D）5 n 階線性齊次微分方程線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)不能多于（）個(gè)（ A）n（ B） n-1（ C） n+1（ D）n+26.設(shè)常系數(shù)線性齊次方程特征方程根r1,21, r3, 4i ，則此方程通解為（）（ A） y(C1C 2 x)e xC3 cos xC4 sin x ； （ B） yC1e xC2 cos x C3 sin x ；（ C） yC1exC 2 cos xC3 x sin x ；（ D） yC1e x(C2x) cos xC3 s

3、in x7. 方程y 2 yxe2x 的特解具有形式（）。（ A） y* Axe2x ;（ B）（ C） y* x( Ax B)e2 x ;（ D）y*( AxB)e2 x ;y*x2 (AxB)e2 x 。8. 微分方程 yy x sin 2x的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（）（ A） ( Ax B) cos2x(CxD ) sin 2x（ B） ( Ax 2Bx) cos2x（ C） A cos2xB sin 2 x（D） ( Ax B)cos 2x9. 微分方程 y2 y 1 0 的通解是（）（ A） y(C1C 2 x)e x ；（B） yC1 exC 2e x ；（ C） yC1C 2 e 2

4、 x1 x ；（C） yC1 cos xC2 sin x1 x 。2210. 容易驗(yàn)證： y1 coswx, y2sin wx( w0) 是二階微分方程 yw 2 y 0 的解，試指出下列哪個(gè)函數(shù)是方程的通解。 （式中 C1 , C2 為任意常數(shù)）（）（ A） yCwxC2sinwx（ ）yC1 coswx2sin wx1 cosB（ C） y C1 coswx2C1 sinwx（ ）y2coswxC2 sin wxDC111. 微分方程 yyex1 的一個(gè)特解應(yīng)有形式()（ A）aexb；（ B）axexbx；（ C）aexbx ；Dx（ ） axe b12. 微分方程 yysin x 的一

5、個(gè)特解應(yīng)具有形式 ()（A） A sin x（B） A cosx（C） AsixB cosx（D） x( A sin xB cos x)13. 微分方程 yyx cos2 x 的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（）（ A） ( Ax B) cos2x(CxD ) sin 2x（ B） ( Ax 2Bx) cos2x（ C） A cos2xB sin 2 x（D） ( AxB)cos 2x14. 微分方程 y 2 y 10 的通解是（）（ A） y(C1 C 2 x)e x ；（B） yC1 exC 2e x ；（ C） yC1C 2 e 2 x1 x ；（C） yC1 cos xC2 sin x1 x 。1

6、5. 設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)22q(x) y = f (x) 的y1 , y2 , y3 都是二階非齊次線性方程yp( x) y解， C1 ,C2 是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是（）（ A）C1 y1C 2 y2y3；（ ） 112y2(C12) y3 ；BC y CC（ C） C1 y1C 2 y2(1 C1C 2 ) y3 ； （ D） C1 y1C 2 y2(1 C1C 2 ) y316. 方程 yy0 的通解是 ().(A)ysin xC1 ；(B)ysin xcosxC1 ；(C)ysin xcosxC1 ；(D)yC1 sin xC2 cos xC3 .17. 求方程y6y9yxe

7、3 x 的特解時(shí)，應(yīng)令（）( A)y( axb)e 3 x ；( B) yx 2 (axb)e 3x ；(C ) yaxe 3 x ；(D ) yx( ax b)e 3x 。18函數(shù) 1 (x) ,2 ( x) 在區(qū)間 a,b 上的朗斯基行列式恒為零，是它們?cè)?a, b 上線性相關(guān)的 ().(A) 充分條件；(B)必要條件；(C) 充分必要條件；(D)充分非必要條件 .19設(shè)函數(shù)1 ( x) ,2 ( x) 方程 xp(t) xq(t )0在區(qū)間 a,b 上的兩個(gè)解，則其朗斯基行列式不為零，是它們?cè)?a, b 上線性無(wú)關(guān)的 ().(A) 充分條件；(B)必要條件；(C) 充分必要條件；(D)充

8、分非必要條件 .20設(shè)函數(shù)1 ( x) ,2 ( x) 方程 xp(t) xq(t )0在區(qū)間 a,b 上的兩個(gè)解，則其朗斯基行列式區(qū)間 a,b 上某一點(diǎn)不為零，是它們?cè)?a, b 上線性無(wú)關(guān)的 ().(A) 充分條件；(B)必要條件；(C) 充分必要條件；(D)充分非必要條件 .21函數(shù) 1 (x) ,2 ( x) 在區(qū)間 a,b 上的朗斯基行列式在 a, b 上某一點(diǎn)處不為零，是它們?cè)?a, b 上線性無(wú)關(guān)的 ()(A) 充分條件；(B)必要條件；(C) 充分必要條件；(D)充分非必要條件 .22n 階線性非齊次微分方程的所有解是否構(gòu)成一個(gè)線性空間 ?( )(A) 是；(B)不是；(C)

9、也許是；(D)也許不是 .23. 兩個(gè)不同的線性齊次微分方程組是否可以有相同的基本解組?()(A) 不可以(B)可以(C) 也許不可以(D)也許可以24. 若 (x) 是線性齊次方程組 dYAY 的一個(gè)基解矩陣，T為非奇異常數(shù)矩陣，( x)n ndx那么 ( x) T 是否還是此方程的基解矩陣.()(A) 是(B)不是(C) 也許是(D)也許不是25. 方程組 xA(t )x （）(A) n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解x1 (t ), x2 (t ),xn (t ) 稱之為方程組的一個(gè)基本解組(B) n 個(gè)解 x1 (t ), x2 (t ),xn (t ) 稱之為方程組的一個(gè)基本解組(C) n 個(gè)線性無(wú)

10、關(guān)的解x1 (t ), x2 (t ),xn (t ) 稱之為方程組的一個(gè)基解矩陣(D) n 個(gè)線性相關(guān)的解x1 (t ), x2 (t ),xn (t ) 稱之為方程組的一個(gè)基本解組26. 若(t) 和(t ) 都是xA(t ) x 的基解矩陣，則（）（ A）(t) (t)+c其中 c 為非奇異常數(shù)矩陣 （ B）(t) (t )+c其中 c 常數(shù)矩陣（ C）(t) (t)c其中 c 為非奇異常數(shù)矩陣（ D）(t ) (t )c 其中 c 為常數(shù)矩陣27. 若(t) 是 xA(t) x 的基解矩陣，則xA(t)xf (t) 滿足 x(t0 )的解（）（ A）(t)t1 (s) f ( s) d

11、s（ B） (t )1 (t0 )(t)t(t ) f (s)dst0t0（ C）(t)(t)t1( s) f ( s)ds（ D）(t )1 (t0 )(t )t1 (s) f (s)dst 0t 028. 方程組 xA(t) x 的（）稱之為x A(t) x 的一個(gè)基本解組。（ A）n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解（ B） n 個(gè)不同解（ C） n 個(gè)解（D）n 個(gè)線性相關(guān)解29.n 階齊線性微分方程的（）稱方程的一個(gè)基本解組。（ A） n 個(gè)線性相關(guān)解（ B） n 個(gè)不同解（ C） n 個(gè)解（D）n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解30.A 、B 為 nn 的常數(shù)矩陣，則下列式子錯(cuò)誤的是（）（ A） eAAk（ B） (e

12、A ) 1e Ak 0k !（ C） eABeA eB（ D） eT 1 ATT 1(eA )TT為非奇異矩陣二 . 填空題1.以 y 4e3 x cos 2x 為特解的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為。2.若 X1(t), X2 (t ), X n (t ) 為 n 階齊線性微分方程的n 個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是_ 。3.形如 _ 的方程稱為歐拉方程。4.若(t ) 和(t ) 都是 xA(t )x 的基解矩陣，則(t) 和(t) 具有的關(guān)系是 _5.以 y1e2x , y2xe2 x為特解的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為。6.x(4)2xx0 的通解是7.若(t) 和(t) 都是 xA(

13、t ) x 的基解矩陣，則(t) 和(t) 具有的關(guān)系是 _8.若(t ) 是 xA(t )x 的基解矩陣，則x A(t ) x 滿足 x(t 0 )的解9. 設(shè) (t)是xAx的基解矩陣，(t)是 xA(t) x f (t) 的 某 一 解 ， 則 它 的 任 一 解(t)可表為 -。10. 若 xi (t)(i 1,2, , n) 為齊線性方程的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則這一齊線性方程的所有解可表為11.若 X i(t )(i1,2, n) 為齊線性方程組的n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則這一齊線性方程組的所有解可表為12.若 X i(t )(i1,2, n) 為齊線性方程組的n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則這一齊線

14、性方程組的基解矩陣為13.若 (t) 是 xA(t) x 的基解矩陣，則 xA(t)xf (t) 滿足 x(t0 )的解14函數(shù)組 et , e t , e2t的伏朗斯基行列式為_。15若 xi(t )(i1,2, n) 為 xA(t ) x 的一個(gè)基本解組， x(t) 為 xA(t ) x f (t) 的一個(gè)特解，則x A(t) x f (t )的所有解可表為 _ 。16若 xi (t )(i1,2, n)為齊線性方程的一個(gè)基本解組，x(t) 為非齊線性方程的一個(gè)特解，則非齊線性方程的所有解可表為_。17若(t ) 是 xA(t) x 的基解矩陣，則向量函數(shù)(t ) = _ 是 xA(t )

15、xf (t ) 的滿足初始條件 (t0 )0 的解；18. 若(t) 是 xA(t) x 的基解矩陣向量函數(shù)(t) = _是 xA(t) xf (t ) 的滿足初始條件(t 0 )的解。19若矩陣 A 具有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量v1 , v2 , vn ，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別為1 , 2 ,n ，那么矩陣(t ) = _是常系數(shù)線性方程組xAx 的一個(gè)基解矩陣。20. 若 x1 (t ), x2 (t ),.x3 (t ) 為 n 階 齊 線 性 方 程 的 n 個(gè) 解 ， 則 它 們 線 性 無(wú) 關(guān) 的 充 要 條 件 是_ 。21. 若 x1 (t ), x2 (t ),.x3 (t

16、) 為 一 階 齊 線 性 方 程 組 的 n 個(gè) 解 ， 則 它 們 線 性 無(wú) 關(guān) 的 充 要 條 件 是_ 。22.方程組 x/A(t)x 的 _稱之為 x /A(t) x 的一個(gè)基本解組。23.若 (t) 是常系數(shù)線性方程組 x/Ax 的基解矩陣，則expAt =_ 。24.形如的方程稱為歐拉方程。25.n 階線性齊次微分方程線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為個(gè)26.n 階非齊次線性微分方程的任意兩解必為其相應(yīng)的齊次線性微分方程的解三求高階微分方程的解1. 試驗(yàn)證 d 2 xtdx1x0 有基本解組 t ， et ，并求方程dt 21t dt1td 2 xtdx1x t-1 的通解。dt 21t

17、dt1tx2.2yy2y e3. xxsin tcos2t4. xxcost5. x6x 9 xet6. 求方程 x 6x 5xe2t 的解。7. 求微分方程yyy 20 的通解。8. y3y1029. 求 yay0, 滿足 y x 00, y x 01的特解四求解下列方程組的解x2x3y1. 解方程組3x2yyx2x3ye5te2. 已知3x2 y的基解矩陣為eye5ttx2x3y5tt，求方程組3x2yt 的通解y8edx3y3dtdy2xydtdxyx4 dtdy3 y2xdtdxxy5dtdy4xydt216. 若 A試求方程組xAx 的解(t),(0)141并求 expAt27. 試

18、求方程組 x =Ax 的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算12expAt ，其中 A 為34五應(yīng)用題1. 試求 yx 的經(jīng)過點(diǎn) M(01) 且在此點(diǎn)與直線y1 x 1 相切的積分曲線422.求微分方程y2y3y0 的一條積分曲線，使其在原點(diǎn)處與直線y4 x 相切。六綜合題x1. 設(shè) f (x) sin x( x t ) f (t) dt ，其中 f (x) 為連續(xù)函數(shù)，求 f ( x)02. 設(shè) f (x) 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f (0)0 , f (0)1 ，且為一全微分方程，求f (x) 及此全微分方程的通解。七證明題1.設(shè) x1 (t ), x2 (t ),.,xn1 (t ) 是方程 x( n)a1( t) x( n 1).an1 (t )xan (t) xf (t ) 的 n+1個(gè)線性無(wú)關(guān)解 , 證明微分方程的任一解恒能表為:x( t)c1 x1 (t )c2 x2 (t ).cn xn ( t)cn 1 xn 1 (t ) 且 cn 112.n 階線性齊次微分方程一定存在n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解。t2t01x13.試驗(yàn)證t =是方程組 x =22 x,x=，在任何不包含原點(diǎn)的區(qū)間 a tb 上x22t1t2t