三年高考（2016-2018）高考數(shù)學(xué)試題分項(xiàng)版解析 專題13 等差與等比數(shù)列 理（含解析）

1、專題13等差與等比數(shù)列 考綱解讀明方向考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測熱度1.等差數(shù)列及其性質(zhì)理解等差數(shù)列的概念;掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式;能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題;了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系理解2017課標(biāo)全國,4;2016浙江,6;2016天津,18;2015北京,6選擇題填空題2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式掌握2017課標(biāo)全國,9;2016課標(biāo)全國,3;2015浙江,3選擇題填空題分析解讀1.理解等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.2.體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系,掌握等差數(shù)列的一些基本性質(zhì).3.命題以求an,Sn為主

2、,考查等差數(shù)列相關(guān)性質(zhì).4.本節(jié)內(nèi)容在高考中主要考查數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及性質(zhì),分值約為5分,屬中低檔題.考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求高考示例常考題型預(yù)測熱度1.等比數(shù)列及其性質(zhì)理解等比數(shù)列的概念;掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式;能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題;了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系理解2017課標(biāo)全國,3;2016課標(biāo)全國,15;2015課標(biāo),4選擇題填空題解答題2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式掌握2017江蘇,9;2014課標(biāo),17選擇題填空題解答題分析解讀1.理解等比數(shù)列的概念、掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.2.體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)

3、系.3.求通項(xiàng)公式、求前n項(xiàng)和及等比數(shù)列相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用是高考熱點(diǎn).2018年高考全景展示1.【2018年理新課標(biāo)I卷】設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則A. B. C. D. 【答案】B詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.2【2018年理北京卷】設(shè)是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則的通項(xiàng)公式為_【答案】【解析】分析：先根據(jù)條件列關(guān)于公差的方程，求出公差后，代入等差數(shù)列通項(xiàng)

4、公式即可.詳解：點(diǎn)睛：在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，有兩個(gè)處理思路,一是利用基本量,將多元問題簡化為首項(xiàng)與公差（公比）問題,雖有一定量的運(yùn)算,但思路簡潔,目標(biāo)明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.3【2018年理新課標(biāo)I卷】記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_【答案】【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的，類比著寫出，兩式相減，整理得到，從而確定出數(shù)列為等比數(shù)列，再令，結(jié)合的關(guān)系，求得，之后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求得的值.詳解：根據(jù)，可得，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，解得，所以數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，以2為公布的等比數(shù)列，

5、所以，故答案是.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的求和問題，在求解的過程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個(gè)式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)列，之后令，求得數(shù)列的首項(xiàng)，最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對既有項(xiàng)又有和的式子的變形方向即可得結(jié)果.4【2018年浙江卷】已知等比數(shù)列an的公比q1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項(xiàng)數(shù)列bn滿足b1=1，數(shù)列（bn+1bn）an的前n項(xiàng)和為2n2+n（）求q的值；（）求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式 【答案】（）（）（）設(shè)，數(shù)列前n項(xiàng)和為.由解得.由（）可知，所以，故， .設(shè)，所以，因此，又，所

6、以.點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.5【2018年理數(shù)全國卷II】記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值為16【解析】分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果，（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸以

7、及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.詳解：（1）設(shè)an的公差為d，由題意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通項(xiàng)公式為an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為16點(diǎn)睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域?yàn)檎麛?shù)集這一限制條件.2017年高考全景展示1.【2017課標(biāo)1，理4】記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和若，則的公差為A1B2C4D8【答案】C【解析】試題分析：設(shè)公差為，聯(lián)立解得，故選C.秒殺解析：因?yàn)椋?，則，即，解得，故選C.【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本量求解【名師點(diǎn)睛】求解等差數(shù)列基本量問題時(shí)，要多多使用等差

8、數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則.2.【2017課標(biāo)3，理9】等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則前6項(xiàng)的和為A B C3D8【答案】A【考點(diǎn)】 等差數(shù)列求和公式；等差數(shù)列基本量的計(jì)算【名師點(diǎn)睛】(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.3.【2017課標(biāo)II，理3】我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請

9、問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）A1盞 B3盞 C5盞 D9盞【答案】B【解析】試題分析：設(shè)塔的頂層共有燈盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式有：，解得，即塔的頂層共有燈3盞，故選B。【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的應(yīng)用；等比數(shù)列的求和公式【名師點(diǎn)睛】用數(shù)列知識解相關(guān)的實(shí)際問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時(shí)，要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)

10、推理與計(jì)算得出的結(jié)果，放回到實(shí)際問題中進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出結(jié)論。4.【2017課標(biāo)3，理14】設(shè)等比數(shù)列滿足a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，則a4 = _.【答案】【解析】試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為 ，很明顯 ，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組：，由 可得： ，代入可得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得： .【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【名師點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程.5.【2017課標(biāo)I

11、I，理15】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 ?！敬鸢浮俊窘馕觥吭囶}分析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意有： ，解得 ，數(shù)列的前n項(xiàng)和,裂項(xiàng)有：，據(jù)此： ?！究键c(diǎn)】 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；裂項(xiàng)求和?！久麕燑c(diǎn)睛】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題。數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與

12、目的。6.【2017北京，理10】若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1，a4=b4=8，則=_.【答案】1【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比為 和 ， ，求得 ，那么 .【考點(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列【名師點(diǎn)睛】我們知道,等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.2016年高考全景展示1.【2016高考新課標(biāo)1卷】已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27,則 （ ）（A）100 （B）99 （C

13、）98 （D）97【答案】C【解析】試題分析：由已知,所以故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列及其運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】我們知道,等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.2. 【2016高考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，nN*，則a1= ，S5= .【答案】 考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的定義；2、等比數(shù)列的前項(xiàng)和【易錯(cuò)點(diǎn)睛】由轉(zhuǎn)化為的過程中，一定要檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)是否滿足，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤3【2016高考江蘇卷】已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和.若，則的值是 .【答案】【解析】由得，因此考點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量，對于特殊數(shù)列，一般采取待定系數(shù)法，即列出關(guān)于首項(xiàng)及公差的兩個(gè)獨(dú)立條件即可.為使問題易