不動點(diǎn)與數(shù)列不等式問題

1、 不動點(diǎn)與數(shù)列不等式問題4 在歷屆高考試題中，求數(shù)列的通項(xiàng)或證明數(shù)列不等式的內(nèi)容，占有一定的篇幅在的一類不等式問題，把近幾中研究探討了高考題中涉及到遞推數(shù)列文獻(xiàn)12)f(xx?nn?1 年高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的這類試題概括在下列兩個命題中：12?，且，在設(shè)上連續(xù)，在命題2上可導(dǎo)， )a,ba,b()f(xa)0?f(fa(x)?a?x)xf(x? 數(shù)列，則，滿足，xL1,2,3,nb)?b?f(1n1n?nbx?a?x? ，.Ln?1,2,3,1?nn12?，在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且命題3 設(shè))(ab,bf(x)a,a?(x)?0a)ff(?b?x)x?f(xx ，則滿足，數(shù)列L?b?1,2,3,nf

2、(b)1nn?1nb?x?xa? ，.1,2,3,Ln?n?1n年全國卷、19862006年湖南卷、利用上述兩個命題，把2005年江西卷、2006年陜西卷、這些試題往往中等諸多同類試題或例題進(jìn)行了統(tǒng)一處理，年廣東卷以及文獻(xiàn)13-152007 與遞推函數(shù)的不動點(diǎn)相關(guān)聯(lián)事實(shí)上，還有一種類型的遞推數(shù)列不等式問題，它涉及到兩個遞推數(shù)列，聯(lián)系它們就顯得無能為力了下面我們以或命題3的是迭代函數(shù)具有公共的不動點(diǎn)，上面命題2用三種方法給出它的另解，題為例，結(jié)合不動點(diǎn)思想，年全國高考數(shù)學(xué)（理科）第222007 以揭示這類問題的一些處理方法?2?aa，數(shù)列中知理 (2007年全國高考科卷第22題) 已8例1n ?

3、a2)?1)(a(2? ，.1,2,3,Ln?1n?n?a 的通項(xiàng)公式；（）求n4?3b?n?b2b?b ，中（）若數(shù)列證明：，.n?1,2,3,L 1n?1n2b?3n2?b?a， .L?n1,2,3,3nn4? 1 ?（）參考答案中求出了然后用數(shù)學(xué)歸納法證明了不等式，本題中第的通項(xiàng)公式，an部分較為簡單，難點(diǎn)是第（）部分中關(guān)于不等式的證明，參考答案中用數(shù)學(xué)歸納法先，其中不等式容易證明，但要進(jìn)一步得到后證明了不等式與a?b2?b?2b3n?4nnn卻比較困難下面將利用不動點(diǎn)思想，給出三種不同于參考答案的方法 ab?3nn?4解法1 （）（略）； 3x?4?bb滿足的迭代函數(shù)易知，（） 考慮)

4、(bb?gb?2?)g(x0?x n11n?nn2x?31 到g(2)?，注意2，則由由于0?g(x).L?1,2,3,n 23)(2x? ?，即，即，用歸納法易2b(2)(b)b)?g(2)?b?2b?2?g2gg(31122 證， 2?b.Ln?1,2,3,n 2b?ac?ac?a， 欲證，則，設(shè)，2)1)(c?ac?(2?.Ln?1,2,3,3n1?4n?34n1nn?114n?n? cb?c2)f(x)?2?1(x)?(2?1)(x?f，而的迭代函數(shù)，為此考慮只需證明，由于nnn11?)?g(x，故 1)?f(x0?g(x) 293)x?(2b?c，記，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 0?F(x

5、).1,2,3,xF(x)?f(x)?g()Ln?nn ?)cf(?cf(b)?b，則當(dāng)時成立，假設(shè) ，又由0(2)?F(b)?b?2F1n?kkkkkkf(b)?g(b)b?c)cb()?f(g，結(jié)論得證即，于是 ，即得1k?1kkk?kk解法2 （）（略）； 3x?4?b?)(xf的不動點(diǎn)，即方程（）利用不動點(diǎn)求出的通項(xiàng)公式：考慮函數(shù) n2x?3 (3?22)(b?2)4?3x n22?x，與的兩個解則?b2 1n?32x?3?2bn 22b?b?2)?(322)(b22?3 1nn?n?，反復(fù)利用此式，它們之比為?b2? 1n?32b?b?23?22b?2nnn?1 2 2b?2b?22

6、3?11?12n?4n?2n1?n1為于得是項(xiàng)的通，)?()(?()?b n1?3?222223?2?b?2b11n? 24n?2?1)22(2 于而等顯價(jià)然，ab?2?b2b?1? 34nn?nn2n?4n?2411)?(2?1)?1(2?12 4?4n均成立，故結(jié)，該不等式對一切，即1?2?1)(.n?1,2,3,L? 3n4n?2?41)?(2?1)?1(2 論得證? n（略）（） 3 ； 解法2a1)?1?(2?n 4b?32)b?(3?22)( nn2?b2?，利用此式用數(shù)學(xué)歸納法不難證明（）? 1n?3?2b3b2?nn? 3?4nab?2(2?1)?1b?，亦即證，即證，由（）中

7、結(jié)論，欲證明2?b?3nn?4nn 2 34n? ，也就是2?(2?1)(b?2)?2b? nn3n?41)2?( 34n?c?c，則只需證令，只需證，易知22?c?c2)?(?(2?1)bcn1n?1nnn 利用分析法：.1,2,3,Ln?4b?3 44n2b(?2)?(21)?cc?2(b?2)?1)?b?(2 n?1nnn1?n3?2bn 2)2(b?2)(3? 4n? ，得證222?b2?3?3?b2b?2?1)?( nnn3b?2n 通過解法1得到啟示，我們可以把該結(jié)果推廣為： 定理4 設(shè)在上可導(dǎo)，且，,ba)(xxf(),ga)?x)?1gf(a)?(a(0?gx)?f(?)(c)

8、g(bc?bc?fbb?b?cb，則數(shù)列分別滿足，、，Ln?1,2,3,n11nnn?11?nnb?a?b?c ，L1,2,3,n?nn，得證明 首先證明：對，由，0a,bxf()?x?fa,bbab,?,a,?abg有，故，得，又由即，得bb(f?xf()1)?aa?b?)(f?x(f)a(?f?)bb(f)f)a(? 3 ，于是，同理，有 a,ba,b?,b?a,bga?f(x)?bfa下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，因?yàn)?，所以b?b?cbc?a?b?1n?b?a11nn，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即則當(dāng)時，bc?b?c?b?a?b?akn?1?n?kk11k，即得， bc?b?a?a?b)

9、?c)f(a)?g(b)?g(b)bf(a)?f(g1k?1?kkk設(shè)，則，于是 0)?F(x)?f(x)?g(xF(x?F(b)?F(a)?0)?g(b?c?b?f(c)g(b)?f(b kkk?1kkk?1ka?b?c?b，定理得證 也就是說，當(dāng)時，有1k?n?1k?k?1注4 如果函數(shù)滿足，稱為函數(shù)的不動點(diǎn)定理4揭示了一類a)ff(x)(xa?(fa)由兩個具有公共不動點(diǎn)的迭代函數(shù)構(gòu)造的數(shù)列的不等式關(guān)系 1x123f(x)?x.),x?(0,?x?xf(x) 使年陜西卷）已知函數(shù)且存在21（2006 000224x?0,x?f(x),n1n1?f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)；設(shè) （I）證明：

10、1),yf(y?,y? nn1?12n?1,2,. 其中 x?x?x?y?y; II）證明：（n0?n1nn?1y?x11?nn?1?; III）證明： （ y?x2nn11122+ 0 , f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù): （I）f (x)=3x. 2x+ = 3(x21.解 2361（II）0x , 即xxy又f(x)是增函數(shù), f(x)f(x)f(y).即xx0 =x, y=f(y)=f()=y,綜上, xxxyy. 121101221124282用數(shù)學(xué)歸納法證明如下: (1)當(dāng)n=1時,上面已證明成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時有xxxyy . k0kk+1k+1當(dāng)n=k+1時,由f(

11、x)是單調(diào)增函數(shù),有f(x)f(x)f(x)f(y)f(y),xxxyy k+1k0k+1k+10k+2k+1k+2k由(1)(2)知對一切n=1,2,都有xxxyy. nn0n+1n+1yxf(y)f(x)11nn+1n+1n222(y+x+x)+ y+x)+ (y+x （III） = = y(y+x nnnnnnnnnn22xyxynnnnyx11111111n+1n+122+ = ( , ) +x知由) =(y+x+ . () 0y1. y+x nnnnnn22442222xynnf(x)?x?sinx, 19.（本小題滿分年湖南卷）( 2006 14分）已知函數(shù) 4 0?a?1,a?f

12、(a),n?1,2,3,L.a 滿足:數(shù)列nn?11n131a?0?a?a?a. II）; 證明: （I） （ n?1nn?1n61?0?a 先用數(shù)學(xué)歸納法證明，1,2,3,證明: （I）n. 由已知顯然結(jié)論成立 (i).當(dāng)n=1時,1?0?a 時.因?yàn)榧僭O(shè)當(dāng) (ii).n=k時結(jié)論成立,即0x0時，成立所以當(dāng) nnnn613a?a 故 nn?16 分）09年）21（本小題滿分14220)k?(k)xC:?2nx?y?0(K?1,2,nC1,0)P(?的切向曲線從點(diǎn)已知曲線引斜率為nnnnP(x,y)l 線，切點(diǎn)為nnnnx與y的通項(xiàng)公式；（1）求數(shù)列 nn 1?xx Lnnsin?x2xx?

13、x?. ）證明：（2 15?321n1?xynn222222y?k(x?1)(1?k)x?(2k?2n)x?k?00?ynx2?x?l，設(shè)）1：解（直得聯(lián)立線，：nnnnn 5 nn2222?k0k)?4(1?k?2?(k?2n) 則（舍去），nnnn1?n21?2n22k1n2n?nn2n?)y?k(x?1?x?x? 即，nnnnn221n?1?n)(1n1?knn1?x1?11n?n? ：（2）證明n2n1?x?1?1n1?n132n?1132n?11?x?x?x?x? 1?2153n2n?152n?1242n31?xn?xx?x?x? 132n15?1?xnx1?x1nn?xcos?1?

14、2?2sinxf(x)f(x)?x令，函，可令由于數(shù)，則y2n?11?xnn?2(0,)(0,)0)f?(x)?0f(x)(xf?cosx上單調(diào)遞減，在，則函數(shù)，給定區(qū)間，得，則有442?11(0,)x?2sinx0)?fx)?(0f(，即恒成立，又在， ?0?442n?13111?xx. ，即 則有 sin?2nnsin?2 2n?12n?11?xynn21（本小題滿分12分） a的各項(xiàng)都是正數(shù),且滿足: 已知數(shù)列n1a,(4?a),n?N1a?,a?. nnn?102a?a?2,n?N; ）證明1（1nn?a的通項(xiàng)公式a. （2）求數(shù)列nn21解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 13a(

15、4?a)?,?a1a, 1當(dāng)n=1時，001022 6 a?a?2，命題正確. 10a?a?2. =k時有2假設(shè)nkk?111a(4?a)?a?aa(4?a)n?k?1時, 則 k?k1k?1kkk?1221?2(a?a)?(a?a)(a?a) kk?k?11kk?k12 1?(a?a)(4?a?a). kkk?1?1k2a?a?0.4?a?a?0,?a?a?0. 而1?1k?k1kkkk?112?2a?2).?4?(a?a(4?a) 又 kkk?1k22n?k?1時命題正確. a?a?2. 2知，對一切nN時有由1、1nn?方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 130?a?a?2,?a?1,a?a)a(4；n=1 1當(dāng)時， 10010022a?a?2成立，n=k時有 2假設(shè)k1k?1x(4?x)f(x)?)xf(令 在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè) ， 2111),f(2)f(a)?f(a?),2?)(4?a?a(4?a)?2(4?a 即有： kk?1kkk?1?1k222a?a?2n?N,有a?a?2 成立，所以對一切也即當(dāng)n=k+1時 1kkk?1k?112?42),?(?aa?a(4?a)所以）下面來求數(shù)列的通項(xiàng)： （2 n?n1nn222)2a?2)