矩陣論簡明教程課后習(xí)題與答案解析

1、習(xí) 題 一13. 設(shè)A C是Hermite矩陣。證明A是Hermite正定矩陣的充分必要條件是，存在Hermite正定矩陣B，使得A=B。解：若A是Hermit正定矩陣,則由定理1.24可知存在n階酉矩陣U, 使得UAU=, 0, I=1, 2, n.于是A=UU = UUUU令B=UU則 A=B.反之,當(dāng) A=B且B是Hermit正定矩陣時,則因Hermit 正定矩陣的乘積仍為Hermit正定矩陣,故A是Hermit 正定的.14. 設(shè)A C是Hermite矩陣，則下列條件等價:（1）A是Mermit半正定矩陣。（2）A的特征值全為非負(fù)實數(shù)。（3）存在矩陣P C,使得A=PP解：(1)(2)

2、. 因A是Hermit矩陣,則存在酉矩陣U,使得UAU=diag()令x=Uy, 其中 y=e. 則 x0. 于是xAx=y(UAU)y=0 (k=1, 2, n).(2)(3). A=Udiag()U=Udiag()diag()U令 P=diag()U, 則 A=PP .(3)(1). 任取x0, 有xAx=xPPx=0.習(xí) 題 二1.求向量x=（1+i，-2,4i，1,0）的1、2、范數(shù)。 解：=7+, =,=max=4.2. 設(shè)，.是一組給定的正數(shù)，對任意x=（,.） C,規(guī)定= 。證明是C上的一種向量范數(shù)。解：當(dāng) x0時, 有 0; 當(dāng) x0時, 顯然有 =0. 對任意C, 有=.為證

3、明三角不等式成立,先證明Minkowski不等式:設(shè) 1p, 則對任意實數(shù) x,y(k=1, 2, n)有證 當(dāng) p=1時，此不等式顯然成立. 下設(shè) p1, 則有對上式右邊的每一個加式分別使用Hlder不等式, 并由 (p1)q=p, 得=再用 除上式兩邊,即得 Minkowski 不等式.現(xiàn)設(shè)任意 y=()C, 則有=.3. 設(shè)a，b是C上的兩種向量范數(shù)，又，是正常數(shù)，證明下列函數(shù)是C上的向量范數(shù)。(1) 函數(shù)的非負(fù)性與齊次性是顯然的,我們只證三角不等式.利用最大函數(shù)的等價定義:max(A, B)=max(max()=max( )+max( )(2) 只證三角不等式.k+kk+k+k+k=(

4、 k+k)+( k+k) .4. ; ;列和范數(shù)(最大列模和)=;=行和范數(shù)(最大行模和)=9 ; 5. 已知m 是C上的矩陣范數(shù)，S是n階可逆矩陣。對任意A C，規(guī)定= ，證明是C上的一種矩陣范數(shù)。解：非負(fù)性: AO時SASO, 于是 0. A=O時, 顯然 =0;齊次性: 設(shè)C, 則 =;三角不等式: ;相容性: =.6. 證明：對C上的任意矩陣范數(shù)均有1。因為IO, 所以0.從而利用矩陣范數(shù)的相容性得:,即1.7. 證明C上的m范數(shù)與C上的1、2范數(shù)相容。解：設(shè) A=(A)C, x=C, 且 A=, 則 =nA=; = =AnA=.10. 設(shè)U是n階酉矩陣，證明解：利用定理2.12得.1

5、2設(shè)為C上的矩陣范數(shù)，為A C的特征值，證明.解：設(shè)x是對應(yīng)于的特征向量, 則A.又設(shè) 是C上與矩陣范數(shù)相容的向量范數(shù),那么因 0, 故由上式可得 .習(xí) 題 三4.我們用用兩種方法求矩陣函數(shù)e:相似對角化法. , 當(dāng) ia時, 解方程組 (iaA)x=0, 得解向量 p=(i, 1).當(dāng) =ia時, 解方程組 (ia+A)x=0, 得解向量 p=(i, 1).令P=, 則P=, 于是e=PP=.利用待定系數(shù)法. 設(shè)e=(+a)q()+r(), 且 r()=b+b, 則由b=cosa , b=sina .于是e=bI+bA=cosa+sina=.后一求法顯然比前一種方法更簡便, 以后我們多用待定

6、系數(shù)法. 設(shè)f()=cos, 或 sin 則有 與 由此可得 與 故 (sinia)A=sinA與(cosia)I=cosA. 5.對A=求得P= , P=, PAP=e=Pdiag(e,e,e)P=sinA=Pdiag(sin(1),sin1,sin2)P=8. 證明：對任意AC,有：（1） sinA+cosA=I;（2） sin(A+2I)= sinA;（3）cos(A+2I)= cosA;（4）e =e(1) sinA+cosA= = =e=I (2) sin(A+2I)=sinAcos(2I)+cosAsin(2I) =sinAI(2I)+(2I)+cosA2I(2I)+(2I) =

7、sinA1(2)+(2)I+cosA2(2)+(2)I =sinAcos2+cosAsin2 （3）的證明同上.(4) 因為 A（2iI）=(2iI)A ,所以根據(jù)定理3.10可得e=ee=eI+(2I)+(2iI)+(2iI)+=e1(2)+(2)+i2(2)+(2)I=ecos2+isin2I=e此題還可用下列方法證明:e=ee=ePP=ePIP=e用同樣的方法可證: e=ee.10.證明：若A為反對稱矩陣，則e是正交矩陣。 A=A, 根據(jù)第7題的結(jié)果得 (e)=e=e, 于是有e(e)=ee=e=e=I 習(xí) 題 四9. 求下列矩陣的Hermite標(biāo)準(zhǔn)形和所用的變換矩陣S,并求滿秩分解：(1) 對A施行初等行變換 S= A=10.求下列矩陣的奇異值分解：(1); (1) 的特征值是5，0，0. 分別對應(yīng)特征向