3.3.1幾何概型4.ppt

1、3.3.1 幾何概型,引例,取一根長(zhǎng)為3米的繩子,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長(zhǎng)都不少于1米的概率有多大? 能否用古典概型的公式來(lái)求解? 事件A包含的基本事件有多少?,問(wèn)題:圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤.甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲,規(guī)定當(dāng)指針指向黃色區(qū)域時(shí),甲獲勝,否則乙獲勝.在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少?,（1）,（2）,事實(shí)上,甲獲勝的概率與黃色所在扇形區(qū)域的圓弧長(zhǎng)度有關(guān),而與黃色所在區(qū)域的位置無(wú)關(guān).因?yàn)檗D(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤時(shí),指針指向圓弧上哪一點(diǎn)都是等可能的.不管這些區(qū)域是相鄰,還是不相鄰,甲獲勝的概率是不變的.,因此：把轉(zhuǎn)盤的圓周的長(zhǎng)度設(shè)為1， 則以轉(zhuǎn)盤（1）為游戲工具時(shí),以轉(zhuǎn)盤（2）為游戲工具時(shí),上述問(wèn)

2、題中，基本事件有無(wú)限多個(gè)，雖然類似于古典概型的“等可能性”還存在，但顯然不能用古典概型的方法求解，怎么辦呢？,對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到是等可能的； 而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn). 這里的區(qū)域可以是長(zhǎng)度，面積，體積等。用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概率模型。,幾何概型的定義,如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱為幾何概型. 幾何概型的特點(diǎn): (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè). (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)

3、的可能性相等.,在幾何概型中,事件A的概率的計(jì)算公式如下:,例1 某人午覺(jué)醒來(lái),發(fā)現(xiàn)表停了,他 打開(kāi)收音機(jī),想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.,分析：假設(shè)他在060分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻打開(kāi)收音機(jī)是等可能的，但060之間有無(wú)窮個(gè)時(shí)刻，不能用古典概型的公式計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率。,我們可以通過(guò)隨機(jī)模擬的方法得到隨機(jī)事件發(fā)生的概率的近似值，也可以通過(guò)幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率。,因?yàn)殡娕_(tái)每隔1小時(shí)報(bào)時(shí)一次，他在060之間任何一個(gè)時(shí)刻打開(kāi)收音機(jī)是等可能的，所以他在哪個(gè)時(shí)間段打開(kāi)收音機(jī)的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，而與該時(shí)間段的位置無(wú)關(guān)，這符合幾何概型的條件。,練習(xí)1：公共汽

4、車在05分鐘內(nèi)隨機(jī)地到達(dá)車站，求汽車在13分鐘之間到達(dá)的概率。,分析：將05分鐘這段時(shí)間看作是一段長(zhǎng)度為5 個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，則13分鐘是這一線段中 的2個(gè)單位長(zhǎng)度。,解：設(shè)“汽車在13分鐘之間到達(dá)”為事件A， 則,所以“汽車在13分鐘之間到達(dá)”的概率為,對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是要建立模型,找出隨機(jī)事件與所有基本事件相對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概率問(wèn)題,利用幾何概率公式求解.,練習(xí)2.取一根長(zhǎng)為3米的繩子,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長(zhǎng)都不少于1米的概率有多大?,解：如上圖，記“剪得兩段繩子長(zhǎng)都不小于1m”為事件A，把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)，事件A發(fā)生

5、。由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩子長(zhǎng)的三分之一，所以事件A發(fā)生的概率P（A）=1/3。,3m,1m,1m,例2:在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM小于AC的概率。,分析：點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上，故線段AB為區(qū)域D。當(dāng)點(diǎn)M位于圖中的線段AC上時(shí)，AMAC，故線段AC即為區(qū)域d。,解： 在AB上截取AC=AC，于是 P（AMAC）=P（AMAC）,則AM小于AC的概率為,思考題,以上各題是與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，那么有關(guān)面積、體積等區(qū)域的概率也適合用幾何概型求之嗎？,例3：一海豚在水池中自由游弋，水池 為長(zhǎng)30m，寬為20m的長(zhǎng)方形。求此海豚 嘴尖離岸邊不超過(guò)2m的概率,考考你:,

6、課堂小結(jié),1.幾何概型的特點(diǎn). 2.古典概型與幾何概型的區(qū)別： 1）兩種模型的基本事件發(fā)生的可能性都相等； 2）古典概型要求基本事件是有限個(gè)，而幾何概型則要求基本事件有無(wú)限多個(gè)。 3.幾何概型的概率公式及運(yùn)用. 作業(yè): 活頁(yè),古典概型:,特點(diǎn): (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本 事件只有有限個(gè). (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性 相等.,返回,幾何概型的定義,如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱為幾何概型. 幾何概型的特點(diǎn): (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè). (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.,在幾何概型中,事件A的概率的計(jì)算公式如下:,練習(xí)3：在半徑為1的圓上隨機(jī)地取兩點(diǎn)， 連成一條線，則其長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)等邊三角形 的邊長(zhǎng)的概率是多少？,B,C,D,E,.,o,解：記事件A=弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接 等邊三角形的邊長(zhǎng)，取圓