《統(tǒng)計數(shù)的分布》PPT課件.ppt

1、第四章 統(tǒng)計數(shù)的分布（抽樣分布）,研究總體與從中抽取的樣本之間的關(guān)系是統(tǒng)計學的中心內(nèi)容。對這種關(guān)系的研究可從兩方面著手， 一是從總體到樣本，這就是研究抽樣分布(sampling distribution)的問題； 二是從樣本到總體，這就是統(tǒng)計推斷(statistical inference)問題。,由總體中隨機地抽取若干個體組成樣本，即使每次抽取的樣本含量相等，其統(tǒng)計量也將隨樣本的不同而有所不同。因而樣本統(tǒng)計量也是隨機變量，也有其概率分布，我們把統(tǒng)計量的概率分布稱為抽樣分布。,一、抽樣試驗與無偏估計,抽樣試驗 由總體隨機抽樣(random sampling)的方法可分為有返置抽樣和不返置抽樣兩

2、種。對于無限總體，返置與否都可保證各個體被抽到的機會相等。對于有限總體，就應該采取返置抽樣，否則各個體被抽到的機會就不相等。,100份樣本的均數(shù)和標準差,將這100份樣本的均數(shù)看成新變量值，按第二章的頻數(shù)分布方法，得到這100個樣本均數(shù)得直方圖見圖4-1。,隨機抽樣所得100個樣本均數(shù)的分布,100個樣本均數(shù)的抽樣分布特點： 100個樣本均數(shù)中，各樣本均數(shù)間存在差異，但各樣本均數(shù)在總體均數(shù)周圍波動。 樣本均數(shù)的分布曲線為中間高，兩邊低，左右對稱，近似服從正態(tài)分布。,無偏估計,在統(tǒng)計學上，如果所有可能樣本的某一統(tǒng)計數(shù)的平均數(shù)等于總體的相應參數(shù)，則稱該統(tǒng)計數(shù)為總體相應參數(shù)的無偏估計值。,設(shè)有一N=

3、3的近似正態(tài)總體，具有變量3，4，5；求得=4，2=0.6667， =0.8165 現(xiàn)以n=2作獨立的有回放抽樣，總共得Nn=32=9個樣本。 抽樣結(jié)果列入下表：,N=3 n=2時抽樣的平均數(shù) 方差 標準差,從上表的資料可以求出: 樣本平均數(shù)的平均數(shù)x=4 樣本方差的平均數(shù)S2=0.6667=2 樣本標準差的平均數(shù)S=0.62850.8165= 所以，惟有樣本標準差s的平均數(shù)不是總體標準差的無偏差估計值。其余兩個參數(shù)為無偏差估計值。,二、樣本平均數(shù)抽樣分布,設(shè)有一個總體 ，總體平均數(shù)為,方差為2，總體中各變數(shù)為x，將 此總體稱為原總體。現(xiàn)從這個總體中隨機抽取含量為n的樣本，樣本平均數(shù)記為 ?？?/p>

4、以設(shè)想，從原總體中可抽出很多甚至無窮多個含量為n的樣本。,由這些樣本算得的平均數(shù)與原總體平均數(shù)相比往往表現(xiàn)出不同程度的差異。這種差異是由隨機抽樣造成的，稱為抽樣誤差(sampling error)。顯然，樣本平均數(shù)也是一個隨機變量，其概率分布叫做樣本平均數(shù)的抽樣分布。 由樣本平均數(shù)構(gòu)成的總體稱為樣本平均數(shù)的抽樣總體，其平均數(shù)和標準差分別記為 和 。,是樣本平均數(shù)抽樣總體的標準差，簡稱標準誤(standard error)，它表示平均數(shù)抽樣誤差的大小。統(tǒng)計學上已證明總體的兩個參數(shù)與x 總體的兩個參數(shù)有如下關(guān)系：,即樣本均數(shù)的標準差，可用于衡量抽樣誤差的大小。 因通常未知，計算標準誤采用下式：,標

5、準誤(standard error, SE),通過增加樣本含量n來降低抽樣誤差。,設(shè)有一個N=4的有限總體，變數(shù)為2，3，3，4。根據(jù)=xN和2=(x-)2N求得該總體的、2、為： =3，2=12，=（1/2）1/2=0.707,從有限總體作返置隨機抽樣，所有可能的樣本數(shù)為Nn其中n為樣本含量 。以上述總體而論，如果從中抽取n=2的樣本，共可得 42=16 個樣本；如果樣本含量n為4，則一共可抽得44=256個樣本。分別求這些樣本的平均數(shù) ，其次數(shù)分布如下表所示。 在n=2的試驗中，樣本平均數(shù)抽樣總體的平均數(shù)、方差與標準差分別為：,因是返置式抽樣，因此抽樣4個個體組成一個樣本，這個樣本可能都為

6、A或B或這4個個體和任意組合。,=4/16=1/4=(1/2)/2= 2/n,表 N=4, n=2和n=4時的次數(shù)分布,同理，可得n=4時： 驗證了 的正確性。 也可以將表中兩個樣本平均數(shù)的抽樣總體作次數(shù)分布圖。,由以上模擬抽樣試驗可以看出，雖然原總體并非正態(tài)分布，但從中隨機抽取樣本，即使樣本含量很小，樣本平均數(shù)的分布卻趨向于正態(tài)分布形式。隨著樣本含量 n 的增大，樣本平均數(shù)的分布愈來愈從不連續(xù)趨向于連續(xù)的正態(tài)分布。當n30時， 的分布就近似正態(tài)分布了。X變量與 變量概率分布間的關(guān)系可由下列兩個定理說明：,1. 若隨機變量x服從正態(tài)分布N(,2)；x1、x2、xn，是由x 總體得來的隨機樣本，

7、則統(tǒng)計量 =xn的概率分布也是正態(tài)分布，且有 ， 即服從正態(tài)分布N(,2n)。 2. 若隨機變量x服從平均數(shù)是，方差是2的分布(不是正態(tài)分布)； x1、x2、xn，是由此總體得來的隨機樣本，則統(tǒng)計量 =xn的概率分布，當n相當大時逼近正態(tài)分布N(,2n)。這就是中心極限定理。,中心極限定理告訴我們：不論x變量是連續(xù)型還是離散型，也無論x服從何種分布，一般只要n30，就可認為 的分布是正態(tài)分布。若x的分布不很偏倚，在n20時 ， 的分布就近似于正態(tài)分布了。,注意：樣本標準差與樣本標準誤是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個統(tǒng)計量。 二者的區(qū)別是樣本標準差S是反映樣本中各觀測值的變異程度，它的大小說明了 對該樣

8、本代表性的強弱。 樣本標準誤是樣本平均數(shù) 的標準差，它是抽樣誤差的估計值，其大小說明了樣本間變異程度的大小及抽樣精確性的高低。,對于大樣本資料，常將樣本標準差S與樣本平均數(shù) 配合使用，記為 S，用以說明所考察性狀或指標的優(yōu)良性與穩(wěn)定性。 對于小樣本資料，常將樣本標準誤 與樣本平均數(shù) 配合使用，記為 ，用以表示所考察性狀或指標的優(yōu)良性與抽樣誤差的大小。,三、t 分布,由樣本平均數(shù)抽樣分布的性質(zhì)知道： 若x-N(, 2)， 則 -N(, 2/n)。 將隨機變量 標準化得： ，則u-N(0,1)。 當總體標準差未知時， 以樣本標準差S代替所得到的統(tǒng)計量 記為t。在計算 時，由于采用S來代替，使得t

9、變量不再服從標準正態(tài)分布，而是服從t分布(tdistribution)。它的概率分布密度函數(shù)如下：,式中，t的取值范圍是（-，+）； df=n-1為自由度。 t 分布的平均數(shù)和標準差為： t0 (df1)， t 分布密度曲線，其特點是：,T 分布密度曲線,t 分布,t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布。,1t 分布受自由度的制約，每一個自由度都有一條t分布密度曲線。 2、t分布密度曲線以縱軸為對稱軸，左右對稱，且在t0時，分布密度函數(shù)取得最大值。 3、與標準正態(tài)分布曲線相比，t分布曲線

10、頂部略低，兩尾部稍高而平。df越小這種趨勢越明顯。df越大，t分布越趨近于標準正態(tài)分布。,t分布的概率分布函數(shù)為： 因而t在區(qū)間(t1，+)取值的概率(右尾概率)為1-F t (df)。由于t分布左右對稱，t在區(qū)間（-，-t1）取值的概率也為1-F t (df)。于是t分布曲線下由-到- t 1和由t 1到+兩個相等的概率之和(兩尾概率)為2(1-F t (df)。對于不同自由度下t分布的兩尾概率及其對應的臨界t值已編制成附表4，即t分布表。,當df=15時，查附表4得兩尾概率等于0.05的臨界t值為 =2.131，其意義是： P(-t-2.131)=P(2.131t+) =0.025 P(-

11、t-2.131)+ (2.131t+)=0.05 由附表4可知，當df一定時，概率P越大，臨界t值越??；概率P越小，臨界t值越大。當概率P一定時，隨著df的增加，臨界t值在減小，當df=時，臨界t值與標準正態(tài)分布的臨界u值相等。,四、x2 分布,假設(shè)從正態(tài)總體中抽取k個獨立樣本u12 、u22 、u32 、uk2 ,則定義它們的和為x2 ，（u為標準正態(tài)離差） x2具有自由度df=n-1的連續(xù)型變量的分布,不同的自由度的x2分布曲線不同。 附表4列出了各種自由度下的x2分布的一尾(右尾)概率。例x0.052=5.99，x0.012=9.21。,x2分布的特征：,1x2分布于區(qū)間0，+）； 2x

12、2分布的偏斜度隨自由度降低而增大，df=1時，曲線以縱軸為漸進線； 3隨自由度增大x2分布曲線趨于左右對稱，當df=30時，x2分布接近正態(tài)分布。 附表6為上側(cè)臨界值表。,x2 分布,總體方差的區(qū)間估計(圖示),對上側(cè)臨界值表而言,五、F 分布,設(shè)從一正態(tài)總體N(,2)中隨機抽取樣本容量為n1和 n2的兩個獨立樣本，其樣本方差為s12和s22，則定義s12和s22比值為F。即 F = s12/s22 此F值具有s12的自由度df1=n1-1和s22的自由度df2=n2-1 。如果對一個正態(tài)總體特定的df1和df2進行 一系列隨機抽樣，則可能的F值構(gòu)成一個F分布。,F 分布的特征：,1、F分布平均數(shù)F=1，F(xiàn)的取值區(qū)間0，）； 2F分布曲線僅決定于df1和df2 。df1=1或2時，曲線為反J型；當df1