控制工程基礎(chǔ)課件第五章控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

1、,2010年,控制工程基礎(chǔ)(,5 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析,5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念,5.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件,5.3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（Routh判據(jù)、Hurwitz 判據(jù)）,5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（Nyquist判據(jù)）,5.5應(yīng)用乃奎斯特判據(jù)分析延時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,5.6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,5.7控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性,5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念,1. 單擺,2. 閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題 定義,系統(tǒng)受擾動(dòng)后能否恢復(fù)原來(lái)的狀態(tài),5.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件,N(s)到Xo(s)的傳遞函數(shù)：,設(shè)n(t)為單位脈沖函數(shù)，,如果系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有,即,為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的根的實(shí)部,控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要

2、條件是：閉環(huán)特征方程式的根全部具有負(fù)實(shí)部,系統(tǒng)特征根即閉環(huán)極點(diǎn)， 故也可以說(shuō)充要條件為 極點(diǎn)全部在s平面的左半面,五次以及更高次的代數(shù)方程沒(méi)有一般的代數(shù)解法（即由方程的系數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和開(kāi)方運(yùn)算求根的方法） 阿貝耳定理,為系統(tǒng)的特征根,基于方程式的根與系數(shù)的關(guān)系,5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù),設(shè)系統(tǒng)特征方程為,復(fù)數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系：,（2）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)都相同。,（1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù) (i=0，1，2，n) 。,要使全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，必須滿(mǎn)足：,一般取正值，則上述兩條件簡(jiǎn)化為,必要條件！,充要條件： 如果“勞斯陣列”中第一列所有項(xiàng)均為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 勞斯陣列：,其中,實(shí)部為正

3、的特征根數(shù) 勞斯陣列中第一列的系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。,例: 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為 試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,勞斯陣列第一列中 系數(shù)符號(hào)全為正， 所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定。,解： 首先由方程系數(shù)可知滿(mǎn)足穩(wěn)定的必要條件。,其次，排勞斯陣列,例2 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為 試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：由方程系數(shù)可知已滿(mǎn)足穩(wěn)定的必要條件。排勞斯陣列,第一列系數(shù)改變符號(hào)2次， 閉環(huán)系統(tǒng)的根中有2個(gè)實(shí)部為正， 控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。,二階系統(tǒng)特征式為 ，勞斯表為,故二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是,對(duì)于特征方程階次低（n3）的系統(tǒng)，勞斯判據(jù)可簡(jiǎn)化：,三階系統(tǒng)特征式為 ，勞斯表:,故三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要

4、條件是,例 設(shè)某反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試計(jì)算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。,解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為,特征方程為,根據(jù)三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件， 可知使系統(tǒng)穩(wěn)定須滿(mǎn)足,故使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為,例: 設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為 用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。,勞斯陣列表,符號(hào)改變2次， 2個(gè)正實(shí)根。,無(wú)正實(shí)根，有虛根。,例: 設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為 用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。,勞斯陣列表,臨界穩(wěn)定,nn行列式：,赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 各階主子行列式均 0 即：,例: 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為 試應(yīng)用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：由方程系數(shù)可知滿(mǎn)足穩(wěn)定的必要條件。 各系數(shù)排成行列

5、式,由于,故該系統(tǒng)穩(wěn)定。,代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)使用的多項(xiàng)式 是系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式。,勞斯判據(jù)的不足：,定性較難從量上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度,必須知道系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定性,對(duì)含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)無(wú)效,1.,a 為復(fù)數(shù),C 為順時(shí)針?lè)较?5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù),如果 C 包圍 a ，則 C 順時(shí)針包圍原點(diǎn)1圈； 如果 C 不包圍 a ，則C不包圍原點(diǎn)。,2.,如果 C 包圍 a ，則 C 逆時(shí)針包圍原點(diǎn)1圈； 如果 C 不包圍 a ，則C不包圍原點(diǎn)。,C包圍z個(gè)零點(diǎn)，C繞原點(diǎn),順時(shí)針繞原點(diǎn)1圈，角度增量,順時(shí)針z圈,C包圍1個(gè)極點(diǎn)，C 逆時(shí)針繞原點(diǎn)1圈,

6、C包圍p個(gè)極點(diǎn)，C繞原點(diǎn),逆時(shí)針p圈,F(s)有m個(gè)零點(diǎn)，n個(gè)極點(diǎn)， 在s平面上的C順時(shí)針包圍了其中z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn)，,映射定理,z p圈。,則在F平面上的C順時(shí)針包圍原點(diǎn),反饋控制系統(tǒng),開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),閉環(huán)傳遞函數(shù),閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)傳遞函數(shù)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)為0,逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的圈數(shù) = 開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù),F(s)包圍原點(diǎn)的圈數(shù) = F (s)包圍-1點(diǎn)的圈數(shù),Nyquist穩(wěn)定判據(jù),在s平面作包圍右半平面的D形曲線， 如果開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist圖逆時(shí)針包圍(1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)的個(gè)數(shù)， 則系統(tǒng)穩(wěn)定。,充要條件,例:下圖所示反饋控制系統(tǒng)，K為何值時(shí)穩(wěn)定?,只要 K0 ，穩(wěn)定,例:下圖所示

7、反饋控制系統(tǒng)，K為何值時(shí)穩(wěn)定?,K1，穩(wěn)定。,例:某反饋控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,判斷當(dāng)K=10和40時(shí)的穩(wěn)定性,如果開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸上有極點(diǎn)或零點(diǎn)，,開(kāi)環(huán)沒(méi)有右極點(diǎn)，乃氏圖不包圍(-1,j0)，穩(wěn)定,開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)有1個(gè)，乃氏圖逆時(shí)針包圍(-1,j0)1圈，穩(wěn)定,從原點(diǎn)右邊繞，開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；乃氏圖順時(shí)針包圍(-1,j0) 2 圈，不穩(wěn)定,例：某系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,從原點(diǎn)右邊繞，,順時(shí)針2圈，不穩(wěn)定,延時(shí)環(huán)節(jié)串聯(lián)在前向通道,K滿(mǎn)足什么條件時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定？,5.5應(yīng)用乃奎斯特判據(jù)分析 延時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例如,Nyquist穩(wěn)定判據(jù),在s平面作包圍右半平面的D形曲線， 如果開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的Nyqu

8、ist圖逆時(shí)針包圍(1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)的個(gè)數(shù)， 則系統(tǒng)穩(wěn)定。,(1) 開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)如何判斷？,勞斯判據(jù),(2) 開(kāi)環(huán)在虛軸上有零極點(diǎn)？,繞道,(3) 開(kāi)環(huán)無(wú)右極點(diǎn)不包圍,(4) 乃氏判據(jù)也適用于有延時(shí)環(huán)節(jié)的情況,延時(shí)環(huán)節(jié)并聯(lián)在前向通道,例：下圖所示為機(jī)床（如鏜床，銑床）的長(zhǎng)懸臂梁式主軸的工作情況，由于主軸剛性低，常易產(chǎn)生振動(dòng)，下面分析其動(dòng)態(tài)特性。,P（t）切削力； y（t）主軸前端刀具處因切削力產(chǎn)生 的變形量； D 主軸系統(tǒng)的當(dāng)量粘性系數(shù)； 主軸系統(tǒng)的當(dāng)量剛度。,1機(jī)床主軸系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 將主軸簡(jiǎn)化為集中質(zhì)量m作用于主軸端部，令,主軸端部的運(yùn)動(dòng)微分方程為,其傳遞函數(shù)為,2切削過(guò)

9、程的傳遞函數(shù) 若工件名義進(jìn)給量為 ，由于主軸的變形，實(shí)際進(jìn)給量為u（t），于是,U（s）=Uo（s）-Y（s）,若主軸轉(zhuǎn)速為n，刀具為單齒，則刀具每轉(zhuǎn)一周需要時(shí)間 。 刀具在每轉(zhuǎn)動(dòng)一周中切削的實(shí)際厚度為u（t）-u（t-） 。,令kc為切削阻力系數(shù)（它表示切削力與切削厚度之比），則,其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,則 ，即,令,這樣一來(lái)就將乃氏判據(jù)中開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)是否包圍（-1，j0）點(diǎn)的問(wèn)題歸結(jié)為 Gm（j）的極坐標(biāo)軌跡是否包圍Gc(j）的極坐標(biāo)軌跡的問(wèn)題。 下面分別作出Gm（j）和Gc(j）的極坐標(biāo)軌跡。,曲線,曲線,1若Gm（j）不包圍Gc(j），即 Gm（j）與Gc(j）不相交，如曲線，

10、則系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定。因此系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定的條件是Gm（j）中的最小負(fù)實(shí)部的絕對(duì)值小于 。,無(wú)論提高主軸的剛度km，還是減少kc(切削阻力系數(shù)），都可提高穩(wěn)定性，但對(duì)提高穩(wěn)定性最有利的是增加阻尼。,2若Gm（j）包圍Gc(j）一部分，即Gm（j）與Gc(j）相交，如曲線，則系統(tǒng)可能不穩(wěn)定，但在一定條件下也可穩(wěn)定。,如果在工作頻率下，保證避開(kāi)的 范圍，也就是適當(dāng)選擇系統(tǒng)仍可穩(wěn)定。所以，在此條件下系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：選擇適當(dāng)?shù)闹鬏S轉(zhuǎn)速n(在單刃銑刀時(shí)，1/n)，使Gm（j）不包圍點(diǎn)。,單位圓0dB線,5.6 由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,由伯德圖判穩(wěn)定性 設(shè)0型或I型系統(tǒng)開(kāi)環(huán)特征方程有 p 個(gè)右根，且開(kāi)環(huán)靜態(tài)放大

11、倍數(shù)大于零，如果在所有L()0頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線()在(-)線上正負(fù)穿越之差為p/2次，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,乃氏圖從第三象限穿越負(fù)實(shí)軸到第二象限，負(fù)穿越; 從第二象限穿越負(fù)實(shí)軸到第三象限，正穿越。,如果=0時(shí)，()= -，乃氏圖向第三象限去，半次正穿越， 向第二象限去，半次負(fù)穿越。,圖（a），已知p0，即開(kāi)環(huán)無(wú)右特征根，在L（）0范圍內(nèi)，正負(fù)穿越之差為0，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,圖（b），已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有一個(gè)右極點(diǎn)，p=1，在L（）0的頻率范圍內(nèi)，半次正穿越，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,圖（c），已知p2，在L（）0的范圍內(nèi)，正負(fù)穿越之差為1-2=-122，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。,圖（d），已知p2，在L（）0的

12、范圍內(nèi)，正負(fù)穿越之差為2-11=22，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,如果系統(tǒng)閉環(huán)特征根均在s左半平面，且和虛軸有一段距離，則系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕量。,用勞斯判據(jù),定性定量,虛軸左移，令z=s+，將s=z-代入系統(tǒng)特征式，得到z的方程式，采用勞斯判據(jù)，可知距離虛軸以右是否有根。,5.7控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性,例：,令 z = s+1，即s = z 1，代入系統(tǒng)特征式，,即,z的多項(xiàng)式系數(shù)無(wú)相反符號(hào)，勞斯陣列第一列未變號(hào)，系統(tǒng)在s=-1以右沒(méi)有根。,實(shí)際4個(gè)根為-1, -2, -3, -4,用Nyquist圖,如果系統(tǒng)穩(wěn)定， Nyquist圖離 (-1, j0) 越近，,相對(duì)穩(wěn)定性越差。,剪切頻率,相位裕量,增益裕量,增益裕量也可用分貝數(shù)表示：,例：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,求K=10、100時(shí)的相位裕量、幅值裕量。,K=10,作圖法 計(jì)算法,K=100,作圖法 計(jì)算法,相關(guān)matlab函數(shù),nyquist(s1),s1 = tf(40,0.005 0.15 1 0),s1 = zpk(,0 -10 -20,8000),Gm,Pm,Wcg,Wcp = margin(s1),Wa