微分方程模型.ppt

1、微分方程建模,1. 建立微分方程后需求解出未知函數(shù)(解析式或數(shù)值解) 2.不需要得出解,只研究解的穩(wěn)定性或變化趨勢,對于某種現(xiàn)象或提出的問題,通過建立微分方程來解釋或解決.通?？煞譃閮纱箢?,微分方程 模型,一.微分方程建模的步驟,1.找出問題中所要研究的函數(shù),2.理解函數(shù)導數(shù)的意義,3.確定導函數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系,例1 一個半徑為R的半球形容器內(nèi)開始時盛滿了水，但由于其底部一個面積為S的小孔在t=0時刻被打開，水被不斷放出。問：容器中的水被放完總共需要多少時間？,設(shè)h(t)為t時刻容器中水的高 度,水流速為v(t),解:,t,t+dt時間段內(nèi)從孔中流出的水量為:,容器損失的水量為:,由質(zhì)量守

2、恒,其中,從而建立方程:,解得,例2 我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。,設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標，以B為極點，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標下的方程為r=r()，見圖,由題意， ，故ds=2dr,由圖可看出，,故有:,追趕方法如下：,先使自己到極點的距離等于潛艇到極點的距離,然后按對數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。,二.Malthus模型,馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率r基本上是一常數(shù).（r=b-d,b

3、為出生率，d為死亡率）,三.Logistic模型,人口凈增長率應(yīng)當與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r(N),從而有：,令 r(N)=r-aN,分離變量：,滿足初始條件N(0)=N0的解為：,易見：,大量實驗資料表明用Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當不錯的。例如，高斯把5只草履蟲放進一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量375個，實驗數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線： 幾乎完全吻合,Malthus模型和Logistic模型的總結(jié),Malthus模型和L

4、ogistic模型均為對微分方程所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。,用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進行修改。,Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數(shù)學模型有相同的微分方程即可。,四.藥物在體內(nèi)的分布,在用微分方程研究實際問題時，人們常常采用一種叫“房室系統(tǒng)

5、”的觀點來考察問題。根據(jù)研究對象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對象看成一個整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。,房室具有以下特征：它由考察對象均勻分布而成，房室中考察對象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為“交換”且交換滿足著總量守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來研究藥物在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方法來研究另一問題。,單房室模型是最簡單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時刻都是均勻分布的，設(shè)t時刻體內(nèi)藥物的總量為x(t)；系統(tǒng)處于一種動態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式：,假設(shè)藥物均勻分布,* 藥物的分解與排泄（

6、輸出）速率通常被認為是與藥物當前的濃度成正比的，即：,例1 快速靜脈注射,在快速靜脈注射時，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機體的體積為V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程：,其解為：,藥物的濃度：,例2 恒速靜脈點滴,藥物似恒速點滴方式進入體內(nèi)，即:,則體內(nèi)藥物總量滿足：,（x(0)=0）,這是一個一階常系數(shù)線性方程，其解為：,或,易見：,例3 口服藥或肌注,口服藥或肌肉注射時，藥物的吸收方式與點滴時不同，藥物雖然瞬間進入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥

7、物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若記t時刻殘留藥物量為y(t)，則y滿足：,因而：,所以：,解得：,三種常見給藥方式下的血藥濃度C(t),五傳染病模型,傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點來看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。,將傳染病流行范圍內(nèi)的人群分成三類：,R類：移出者（Removal），指被隔離，或具有免疫力的人。他們既非感病者，也非易感者，實際上他們退出了傳染病系統(tǒng),S類：易感者（Susceptible），指未得病者，

8、但 與感病者接觸后容易受到感染；,I類：感病者（Infective），指染上傳染病的人；,1S-I模型,記t時刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)分別為i(t)與s(t)，初始時刻的病人數(shù)為 i。,解得：,其中：,2S-I-R模型,分別記t時刻的三類人數(shù)為s(t)、i(t)和r(t)， 則可建立下面的三房室模型：,由于,鑒于在本模型中的作用， 被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)的閥值。 的引入解釋了為什么此疾病沒有波及到該地區(qū)的所有人。,五穩(wěn)定性問題,在研究許多實際問題時，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢。例如，在研究某頻危種群時，雖然我們也想了解它當前或今后的數(shù)量，但我們更為

9、關(guān)心的卻是它最終是否會絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問題。要解決這類問題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下兩節(jié)，我們將研究幾個與穩(wěn)定性有關(guān)的問題。,一般的微分方程或微分方程組可以寫成：,若方程或方程組f(x)=0有解Xo，稱點Xo為微分方程或微分方程組的平衡點或奇點。,定義2 自治系統(tǒng) 的相空間是指以 （x1,xn）為坐標 的空間Rn。,特別，當n=2時，稱相空間為相平面。,空間Rn的點集(x1,xn)|xi=xi(t)滿足自治系 統(tǒng)，i=1,n稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空 間的分布圖稱為相圖。,考察兩階微分方程組：,令 ，作一坐標平移，不妨仍用x記x，則平

10、衡點xo的穩(wěn)定性討論轉(zhuǎn)化為原點的穩(wěn)定性討論了。將f(x1,x2)、g(x1,x2)在原點展開，可寫成:,考察線性近似方程組:,記,1、2為A的特征值,則1、2是方程：,det（A-I）=2- (a+b) + (ad bc )=0的根,令p=a+d, q=ad-bc=|A|， 則 記,僅當p0時， 零點才是漸近穩(wěn)定的；當p=0且q0時，有周期解，零點是穩(wěn)定的中心（非漸近穩(wěn)定）；在其他情況下，零點均為不穩(wěn)定的。,定理2 若線性近似系統(tǒng)的零點是漸近穩(wěn)定的，則非線性系統(tǒng)的平衡點 也是漸近穩(wěn)定的；若線性近似系統(tǒng)的零點是不穩(wěn)定的，則非線性系統(tǒng) 的平衡點也是不穩(wěn)定的。,非線性方程組平衡點穩(wěn)定性討論可以證明有

11、下面 定理成立:,六捕食系統(tǒng)的Volterra方程,意大利生物學家DAncona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過程中他無意中發(fā)現(xiàn)了一些第一次世界大戰(zhàn)期間地中海沿岸港口捕獲的幾種魚類占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚，如鯊魚、鰩魚等我們稱之為捕食者（或食肉魚）的一些不是很理想的魚類占總漁獲量的百分比。在 19141923年期間，意大利阜姆港收購的魚中食肉魚所占的比例有明顯的增加,他知道，捕獲的各種魚的比例近似地反映了地中海里各種魚類的比例。戰(zhàn)爭期間捕魚量大幅下降，但捕獲量的下降為什么會導致鯊魚、鰩魚等食肉魚比例的上升，即對捕食者有利而不是對食餌有利呢？他百思不得

12、其解，無法解釋這一現(xiàn)象，就去求教當時著名的意大利數(shù)學家V.Volterra，希望他能建立一個數(shù)學模型研究這一問題。,Volterra將魚劃分為兩類。一類為食用魚（食餌），數(shù)量記為x1(t)，另一類為食肉魚（捕食者），數(shù)量記為x2(t)，并建立雙房室系統(tǒng)模型。,1、模型建立,大海中有食用魚生存的足夠資源，可假設(shè)食用魚獨立生存將按增長率為r1的指數(shù)律增長（Malthus模型），即設(shè)：,對于食餌（Prey）系統(tǒng) ：,由于捕食者的存在，食用魚數(shù)量因而減少，設(shè)減少的速率與兩者數(shù)量的乘積成正比（競爭項的統(tǒng)計籌算律），即：,對于捕食者（Predator）系統(tǒng) ：,捕食者設(shè)其離開食餌獨立存在時的死亡率為r2，

13、即：,但食餌提供了食物，使生命得以延續(xù)。這一結(jié)果也要通過競爭來實現(xiàn)，再次利用統(tǒng)計籌算律，得到：,綜合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程） 的方程組：,（）,2、模型分析,方程組（）是非線性的，不易直接求解。容易看出，該方程組共有兩個平衡點，即：,方程組還有兩組平凡解：,和,和,當x1(0)、x2(0)均不為零時， ，應(yīng)有x1(t)0且x2(t)0，相應(yīng)的相軌線應(yīng)保持在第一象限中。,求相軌線,將兩方程相除消去時間t，得：,令,用微積分知識容易證明：,有：,易知僅當 時才有解,當 時，軌線退化為平衡點。,當 時，軌線為一封閉曲線，即周期解。,證明具有周期解。,只需證明：存在兩點 及 ， 時，方 程無解。,由 的性質(zhì)， ， 而 ，使得：,。同樣根據(jù)的性質(zhì)知，當 x1 時,。此時：,由 的性質(zhì)， ，使 成立。,當x1= 或 時， ，,僅當 時才能成立,而當x1 時，由于 ，,故 無解。,確定閉曲線的走向,在每一子區(qū)域， 與 不變號，據(jù)此確定軌線的走向,將Volterra方程中的第二個改寫成：,將其在一個周期長度為T的區(qū)間上積分，得,等式左端為零，故可得：,同理：,解釋DAncon