§10.3 格林公式及其應(yīng)用.ppt

1、一、格林公式,二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件,三、二元函數(shù)的全微分求積,10.3 格林公式及其應(yīng)用,一、格林公式,單連通與復(fù)連通區(qū)域,單連通區(qū)域,復(fù)連通區(qū)域,設(shè)D為平面區(qū)域 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D 則稱D為平面單連通區(qū)域 否則稱為復(fù)連通區(qū)域,邊界曲線的正向: 當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.,設(shè)空間區(qū)域G, 如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G, 則稱G是空間二維單連通域;,如果G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面, 則稱G為空間一維單連通區(qū)域.,一維單連通 二維單連通,一維單連通 二維不連通,一維不連通 二維單連通,定理1 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成

2、 函數(shù)P(x y)及Q(x y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則有,其中L是D的取正向的邊界曲線 ,格林公式,定理證明,應(yīng)注意的問題: 對(duì)復(fù)連通區(qū)域D 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向,邊界曲線L的正向: 當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.,證明(1),同理可證,證明(2),兩式相加得,G,F,證明(3),由(2)知,提示,格林公式:,用格林公式計(jì)算區(qū)域的面積,設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L 則,在格林公式中 令Py Qx 則有,格林公式:,用格林公式計(jì)算區(qū)域的面積,例1 求橢圓xacosq ybsinq 所圍成圖形的面積A,設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L

3、則,解,設(shè)L是由橢圓曲線 則,提示:,因此, 由格林公式有,格林公式:,用格林公式計(jì)算二重積分,解,為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域,因此, 由格林公式有,格林公式:,用格林公式計(jì)算二重積分,解,為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域,L,簡化曲線積分,格林公式:,提示,解,當(dāng)(0 0)D時(shí),由格林公式得,記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈,當(dāng)x2y20時(shí) 有,不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線 L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向,用格林公式求閉曲線積分,在D內(nèi)取一圓周l x2y2r2(r0),當(dāng)(0 0)D時(shí),解,記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈,記L及l(fā)所圍成的復(fù)連通區(qū)域?yàn)镈1 應(yīng)用格林公式得,其中l(wèi)的方向取順時(shí)針方向,于是,不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線 L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針

4、方向,二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件,曲線積分與路徑無關(guān),設(shè)G是一個(gè)開區(qū)域 P(x y)、Q(x y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),與路徑無關(guān) 否則說與路徑有關(guān),如果對(duì)于G內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)A、B以及G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線L1、L2 等式,二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件,曲線積分與路徑無關(guān),這是因?yàn)?設(shè)L1和L2是G內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn)B的曲線 則L1(L2-)是G內(nèi)一條任意的閉曲線 而且有,二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件,曲線積分與路徑無關(guān),定理2 (曲線積分與路徑無關(guān)的判斷方法),定理證明,應(yīng)用定理2應(yīng)注意的問題,(1)區(qū)域G是單連通區(qū)域 (2)函數(shù)P(x y)及Q(

5、x y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 如果這兩個(gè)條件之一不能滿足 那么定理的結(jié)論不能保證成立,討論,提示 ,解,這里P2xy Qx2,選擇從O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折線作為積分路線,物線yx2上從O(0 0)到B(1 1)的一段弧,三、二元函數(shù)的全微分求積,表達(dá)式P(x y)dxQ(x y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu)但它未必就是某個(gè)函數(shù)的全微分 那么在什么條件下表達(dá)式P(x y)dxQ(x y)dy是某個(gè)二元函數(shù)u(x y)的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時(shí) 怎樣求出這個(gè)二元函數(shù)呢？,二元函數(shù)u(x y)的全微分為 du(x y)=ux(x y)dxuy(x y)dy,原函數(shù),如果函數(shù)u(x y)滿足du(x y)=P(x y)dxQ(x y)dy 則函數(shù)u(x y)稱為P(x y)dxQ(x y)dy的原函數(shù).,定理3,求原函數(shù)的公式,解 ：,這里,例6 驗(yàn)證 2xydxx2dy在整個(gè)xOy平面內(nèi)是某一函數(shù)u(x y)的 全微分 并求這樣的一個(gè)u(x y).,所以P(x y)dxQ(x y)dy是某個(gè)定義在整個(gè)xOy面內(nèi)的 函數(shù)u(x y)的全微分,例7設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為Xxy2 Y2xy8 這變力確定了一個(gè)力場