隨機(jī)模擬大作業(yè)

1、2013年上海交通大學(xué)隨機(jī)模擬方法與應(yīng)用課程作業(yè)姓 名作業(yè)題號(hào)自選參考文獻(xiàn)題目或書目馬爾柯夫轉(zhuǎn)移矩陣法學(xué) 號(hào)學(xué)院、專業(yè)最便捷聯(lián)系電話Email 作業(yè)分?jǐn)?shù)馬爾柯夫轉(zhuǎn)移矩陣法馬爾柯夫預(yù)測以俄國數(shù)學(xué)家A.A.Markov名字命名，是利用狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測事件發(fā)生的狀態(tài)及其發(fā)展變化趨勢(shì)，也是一種隨時(shí)間序列分析法。它基于馬爾柯夫鏈，根據(jù)事件的目前狀況預(yù)測其將來各個(gè)時(shí)刻（或時(shí)期）的變動(dòng)狀況。本文主要介紹馬爾柯夫矩陣轉(zhuǎn)移法的定義和實(shí)際應(yīng)用?；靖拍睿?.馬爾柯夫鏈。狀態(tài)是指某一事件在某個(gè)時(shí)刻（或時(shí)期）出現(xiàn)的某種結(jié)果。事件的發(fā)展，從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移。在事件的發(fā)展過程中，若每次狀態(tài)的

2、轉(zhuǎn)移都僅與前一時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，而與過去的狀態(tài)無關(guān)，或者說狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程是無后效性的，則這樣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程就稱為馬爾柯夫過程。馬爾柯夫鏈?zhǔn)菂?shù)t只取離散值的馬爾柯夫過程。2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。在事件發(fā)展變化的過程中，從某一種狀態(tài)出發(fā)，下以時(shí)刻轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)的可能性，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，只用統(tǒng)計(jì)特性描述隨機(jī)過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。若事物有n中狀態(tài)，則從一種狀態(tài)開始相應(yīng)就有n個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，即。將事物n個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率一次排列，可以得到一個(gè)n行n列的矩陣：3.馬爾柯夫預(yù)測模型。一次轉(zhuǎn)移概率的預(yù)測方程為：式中：K第K個(gè)時(shí)刻；S（K）第K個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測；S（0）對(duì)象的初始狀態(tài)；P一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。應(yīng)用馬爾柯夫

3、預(yù)測法的基本要求是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣必須具有一定的穩(wěn)定性馬爾柯夫過程在一個(gè)隨機(jī)過程中，對(duì)于每一t0時(shí)刻，系統(tǒng)的下一時(shí)刻狀態(tài)概率僅與t0時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，而與系統(tǒng)是怎樣和何時(shí)進(jìn)入這種狀態(tài)以及t0時(shí)刻以前的狀態(tài)無關(guān)（即所謂無后效性），這種隨機(jī)過程稱為馬爾柯夫隨機(jī)過程。對(duì)隨機(jī)過程X（t）取確定的n1個(gè)時(shí)刻t0t1t2tn，對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)x0，x1，x2，xn，如果條件分布函數(shù)滿足：則隨機(jī)過程X（t）即為馬爾柯夫過程的數(shù)學(xué)描述。依過程參數(shù)集和狀態(tài)集的離散與連續(xù)性，馬爾柯夫過程可分為馬爾柯夫鏈時(shí)間和狀態(tài)均離散的過程、連續(xù)馬爾柯夫鏈時(shí)間連續(xù)和狀態(tài)離散、連續(xù)馬爾柯夫過程時(shí)間連續(xù)和狀態(tài)連續(xù)。馬爾柯夫過程與風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)從定義

4、中可知，確定某一時(shí)刻的風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)后，該風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的下一個(gè)狀態(tài)所服從的概率規(guī)律，可以用馬爾柯夫過程的數(shù)學(xué)描述估計(jì)出來。馬爾柯夫風(fēng)險(xiǎn)過程的重要假定是在一定時(shí)間和客觀條件下，風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率固定不變。轉(zhuǎn)移概率是在給定時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)相關(guān)之下的下一時(shí)刻條件概率；轉(zhuǎn)移概率構(gòu)成的矩陣稱為轉(zhuǎn)移矩陣，矩陣中各元素具有非負(fù)性，而且行的和值為1。例如某雷達(dá)每次開機(jī)狀態(tài)記錄如表4所示。由于雷達(dá)下一次開機(jī)狀態(tài)只與現(xiàn)在的開機(jī)狀態(tài)有關(guān)，而與以前的狀態(tài)無關(guān)，所以它就形成了一個(gè)典型的馬爾柯夫鏈。取P11開機(jī)連續(xù)正常狀態(tài)的概率，P12由正常狀態(tài)轉(zhuǎn)不正常的概率，P21由不正常狀態(tài)轉(zhuǎn)正常的概率，P22開機(jī)連續(xù)不正常狀態(tài)的概率。由表4可知

5、，在23次開機(jī)狀態(tài)統(tǒng)計(jì)中，11次開機(jī)正常，3次連續(xù)正常，7次由正常轉(zhuǎn)不正常；12次開機(jī)不正常，4次連續(xù)不正常，8次由不正常轉(zhuǎn)正常；由于最后一次統(tǒng)計(jì)狀態(tài)是開機(jī)正常狀態(tài)，沒有后繼狀態(tài)，所以P113（111）0.3，P127（111）0.7，P218120.67，P224120.33因?yàn)樽詈笠淮谓y(tǒng)計(jì)是正常狀態(tài)，所以不正常狀態(tài)的總數(shù)不減一。表4某雷達(dá)每次開機(jī)狀態(tài)記錄表類別開機(jī)次序2223開機(jī)狀態(tài)不正常正常正常不正常正常不正常不正常不正常常不正常常不正常不正常正常正常不正常正常不正常不正常正常正常不正常正常狀態(tài)取值1由此產(chǎn)生出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：這種依據(jù)初始狀態(tài)的結(jié)果，利用固定的轉(zhuǎn)移概率推算出下次結(jié)果的過

6、程稱為一階馬爾柯夫過程，依此類推有二階、乃至n階馬爾柯夫過程。這一連串的轉(zhuǎn)移過程就是馬爾柯夫鏈。n階馬爾柯夫過程的結(jié)果概率向量等于最初結(jié)果概率向量乘以轉(zhuǎn)移概率的n次冪：轉(zhuǎn)移概率矩陣P為：顯然，第24次開機(jī)狀態(tài)就是下一輪統(tǒng)計(jì)的初始狀態(tài)，假設(shè)第24次統(tǒng)計(jì)為開機(jī)正常狀態(tài)，正常狀態(tài)取值k1，不正常狀態(tài)取值k2；則1（概率為1），0（概率為0）。所以，第25次統(tǒng)計(jì)狀態(tài)為：第26次統(tǒng)計(jì)狀態(tài)為：以此類推，；在轉(zhuǎn)移概率固定不變的條件下，當(dāng)轉(zhuǎn)移次數(shù)n足夠大時(shí)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果概率向量趨于穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)n繼續(xù)增大時(shí)，穩(wěn)定的概率向量基本保持不變，顯然在漸進(jìn)過程中穩(wěn)定的概率向量取決于固定的轉(zhuǎn)移概率而與初始概率向量大小無關(guān)。示例

7、中固定的轉(zhuǎn)移概率大小源于該雷達(dá)研制和生產(chǎn)過程的可靠性。由此可求出穩(wěn)定的概率向量：設(shè)S（）（x1，x2），則有根據(jù)矩陣乘法規(guī)則可得到下列聯(lián)立方程組：求解得：x10.49，x20.51。S（）（0.49，0.51）。也就是說，該雷達(dá)由于可靠性決定了它的每次開機(jī)狀態(tài)平均正常狀態(tài)（k1）的概率為0.49，不正常狀態(tài)（k2）的概率為0.51。示例中給出的初始概率向量為S（0）（1，0）這一特殊情況，若其向量概率值是介于01之間值時(shí)，初始概率向量將決定統(tǒng)計(jì)過程的最小次數(shù)，因?yàn)镾（0）決定了馬爾柯夫過程中達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài)的速度。如示例中S（n）的n階次值分別為：S（3）（0.46317，0.53683）S（

8、4）（0.，0.）S（5）（0.，0.）S（6）（0.，0.）S（7）（0.，0.）S（8）（0.，0.）最小次數(shù)n取5或6即可。從以上示例可以看出，對(duì)于武器裝備在論證、研制和生產(chǎn)中形成的可靠性、維修性因素和那些臨時(shí)替代裝備等，具有性能等方面的重復(fù)性，其轉(zhuǎn)移概率是基本固定的一類風(fēng)險(xiǎn)，應(yīng)用該方法十分有效。而對(duì)于需求類風(fēng)險(xiǎn)和絕大多數(shù)風(fēng)險(xiǎn)來說，轉(zhuǎn)移概率并不固定，只是在不同時(shí)期具有一定的階段固定性，我們可以找分階段地運(yùn)用此方法進(jìn)行分析。這對(duì)于研究長遠(yuǎn)發(fā)展戰(zhàn)略、規(guī)劃、計(jì)劃等預(yù)測過程中，帶有階段性轉(zhuǎn)移概率特征的風(fēng)險(xiǎn)是非常有用的。馬爾柯夫轉(zhuǎn)移矩陣法基本思路：通過具體歷史數(shù)據(jù)的收集，找出過去人事變動(dòng)的規(guī)律，由

9、此推測未來的人事變動(dòng)趨勢(shì)。它的典型步驟如下：(1)根據(jù)組織的歷史資料，計(jì)算出每一類的每一員工流向另一類或另一級(jí)別的平均概率；(2)根據(jù)每一類員工的每一級(jí)別流向其他類或級(jí)別的概率，建立一個(gè)人員變動(dòng)矩陣表；(3)根據(jù)組織年底的種類人數(shù)和步驟(2)中人員變動(dòng)矩陣表預(yù)測第二年組織可供給的人數(shù)。對(duì)事件的全面預(yù)測，不僅要能夠指出事件發(fā)生的各種可能結(jié)果，而且還必須給出每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率。馬爾可夫（Markov）預(yù)測法，就是一種預(yù)測事件發(fā)生的概率的方法。它是基于馬爾可夫鏈，根據(jù)事件的目前狀況預(yù)測其將來各個(gè)時(shí)刻（或時(shí)期）變動(dòng)狀況的一種預(yù)測方法。馬爾可夫預(yù)測法是對(duì)地理、天氣、市場、進(jìn)行預(yù)測的基本方法，它是地理預(yù)

10、測中常用的重要方法之一。對(duì)隨機(jī)模擬方法與運(yùn)用這門課的感想和建議雖然我是學(xué)生物的，數(shù)學(xué)是硬傷，這門課有挺多內(nèi)容我都聽不懂，但我覺得隨機(jī)模擬方法與運(yùn)用這門選修課是我修過最有用并有趣的選修課，肖老師講得深入淺出，講課過程經(jīng)常聯(lián)系生活中的例子，讓我感到隨機(jī)模擬在現(xiàn)實(shí)生活中無處不在，并體會(huì)到數(shù)學(xué)的無窮魅力。隨機(jī)模擬方法，也稱為蒙特卡羅（Monte Carlo）方法。它的基本思想是：為了求解數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)以及生產(chǎn)管理等方面的問題，首先建立一個(gè)概率模型或隨機(jī)過程，使它的參數(shù)等于問題的解；然后通過對(duì)模型或過程的觀察或抽樣試驗(yàn)來計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，最后給出所求解的近似值。這個(gè)術(shù)語是二戰(zhàn)時(shí)期美國物理學(xué)家Metropolis執(zhí)行曼哈頓計(jì)劃的過程中提出來的，隨著高容量和高速度的計(jì)算機(jī)的普及，該方法得到了廣泛的應(yīng)用，并產(chǎn)生了極大的社會(huì)效益。建議：我覺得這門課程應(yīng)該減低一下難度，因?yàn)閷?duì)于非理工科的學(xué)生來說還是有挺大的難度的，我覺得肖老師可以講得慢一點(diǎn)，講得詳細(xì)一點(diǎn)，可以減少講課的內(nèi)容，但