第5章Matlab符號運算

1、1,第5章 MATLAB符號運算, matlab 不僅具有數(shù)值運算功能，還開發(fā)了在matlab環(huán)境下實現(xiàn)符號計算的工具包Symbolic Math Toolbox,主講：劉忠偉,2/60,符號計算的特點：,一、運算以推理解析的方式進行，因此不受計算誤差積累問題困擾； 二、符號計算，或給出完全正確的封閉解，或給出任意精度的數(shù)值解（當封閉解不存在時）； 三、符號計算指令的調(diào)用比較簡單，經(jīng)典教科書公式相近； 四、計算所需時間較長，有時難以忍受。,3/60,符號運算的功能,符號表達式、符號矩陣的創(chuàng)建 符號線性代數(shù) 因式分解、展開和簡化 符號代數(shù)方程求解 符號微積分 符號微分方程,4/60,一、符號運算

2、的基本操作,什么是符號運算 與數(shù)值運算的區(qū)別 數(shù)值運算中必須先對變量賦值，然后才能參與運算。 符號運算無須事先對獨立變量賦值，運算結果以標準的符號形式表達。,5/60,2. 符號常量,sym(A)或 sym(A，flag) flag為可選參數(shù)，有r、d、e、f r用有理數(shù)格式表達符號量（如分式，指數(shù)式，開方式） 默認形式 d十進制數(shù)格式（32位） 將數(shù)值量轉換成符號量,6/60,f1=sym(log(2) f1 = log(2) %符 號常量 f2=sym(3*4-2)/5+1) %表達式形式的符 %號常量 f2 = (3*4-2)/5+1,7/60,3、符號變量,（1）使用函數(shù)sym() 格

3、式 sym(x)等 舉例： (2)使用命令syms 格式 syms arg1 arg2 舉例：syms a b c (可以定義多個符號變量，中間用空隔分隔變量）,8/60,4、符號表達式,符號表達式：由符號對象參與運算的表達式 syms x y z r s x2+2*x+1,9/60,5、符號矩陣,符號矩陣的元素可以是符號常量、符號變量和符號表達式。 可用函數(shù)sym直接創(chuàng)建,10/60,符號矩陣的創(chuàng)建 數(shù)值矩陣A=1,2;3,4 A=a,b;c,d 不識別 用matlab函數(shù)sym創(chuàng)建矩陣（symbolic 的縮寫) 命令格式：A=sym( ) 符號矩陣內(nèi)容同數(shù)值矩陣 需用sym指令定義 需用

4、 標識,11/60,例如：A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) A = a, 2*b 3*a, 0 這就完成了一個符號矩陣的創(chuàng)建。 注意：符號矩陣的每一行的兩端都有方括號，這是與 matlab數(shù)值矩陣的一個重要區(qū)別。,12/60,將數(shù)值矩陣轉化為符號矩陣 函數(shù)調(diào)用格式：sym(A) A=1/3,2.5;1/0.7,2/5 A = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000 sym(A) ans = 1/3, 5/2 10/7, 2/5,符號矩陣與數(shù)值矩陣的轉換,13/60,將符號矩陣轉化為數(shù)值矩陣 函數(shù)調(diào)用格式： numeric(A) A = 1/3, 5/2 10

5、/7, 2/5 numeric(A) ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000,14/60,用函數(shù)size( )可得到符號矩陣的大小,注：函數(shù)返回數(shù)值或向量，而不是符號表達式。,A=sin(1) cos(2);s=size(A)s= 1 2,15/60,二、符號運算,加 減 乘 除,16/60,例1：f= 2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; syms x f=2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; h=f+g h = 3*x2+4*x-12 例2：f=cos(x);g= sin(2*x); syms x f=cos(x);g=sin(2*x); f/g

6、+f*g ans = cos(x)/sin(x)+cos(x)*sin(x),17/60, syms a b c d e f g h; A=a b;c d;B=e f;g h; A+B ans = a+e, b+f c+g, d+h,18/60,A*B A/B A.*B,syms a b c d e f g h; A=a b;c d;B=e f;g h; C1=A.*B C1 = a*e, b*f c*g, d*h,19/60,syms a b c d e f g h; A=a b;c d;B=e f;g h; C2=A*B C2 = a*e+b*g, a*f+b*h c*e+d*g, c*f

7、+d*h,20/60, syms x fx gx; fx=3*x5-x4+2*x3+x2+3; gx=1/3*x3+x2-3*x-1; fx*gx ans = (3*x5-x4+2*x3+x2+3)*(1/3*x3+x2-3*x-1),21/60,fx/gx ans = (3*x5-x4+2*x3+x2+3)/(1/3*x3+x2-3*x-1),22/60,三、獨立變量與表達式化簡,findsym 查找符號表達式中或矩陣中哪一個變量是獨立變量。,23/60,三、獨立變量與表達式化簡,【例】對獨立自由符號變量的自動辨認。 syms a b x X Y;k=sym(3);z=sym(c*sqrt(

8、delta)+y*sin(theta); EXPR=a*z*X+(b*x2+k)*Y; findsym(EXPR) ans = X, Y, a, b, c, delta, theta, x, y findsym(EXPR,1) ans = x findsym(EXPR,2) ans = x,y,24/60,【例】findsym確定自由變量是對整個矩陣進行的。 syms a b t u v x y;A=a+b*x,sin(t)+u;x*exp(-t),log(y)+v findsym(A,1) A = a+b*x, sin(t)+u x*exp(-t), log(y)+v ans = x,25/

9、60,合并同類項collect 多項式展開expand 因式分解factor 不定化簡simple 通分numden 書寫格式美化pretty,表 達 式 化 簡,26/60,【例】按不同的方式合并同冪項。 EXPR=sym(x2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t); expr1=collect(EXPR) expr2=collect(EXPR,exp(-t) expr1 = x3+2*exp(-t)*x2+(1+exp(-t)2)*x+exp(-t) expr2 = x*exp(-t)2+(2*x2+1)*exp(-t)+(x2+1)*x,合并同類項collect,27/60,多

10、項式展開（expand）,【例】 syms x y a b c t E1=expand(x-2)*(x-4)*(y-t) E1 = x2*y-x2*t-6*x*y+6*x*t+8*y-8*t,28/60,【例】factor指令的使用 syms a x; f1=x4-5*x3+5*x2+5*x-6; factor(f1) ans = (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1) f2=x2-a2;factor(f2) ans = (x-a)*(x+a),29/60,【例】符號表達式的化簡,MATLAB提供的對符號表達式化簡的函數(shù)有： simplify(s)：應用函數(shù)規(guī)則對s進行化簡。 simp

11、le(s)：調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達式進行綜合化簡，并顯示化簡過程。,30/60,diff(f) 對缺省變量求微分 diff(f,v) 對指定變量v求微分 diff(f,v,n) 對指定變量v求n階微分 int(f) 對f表達式的缺省變量求積分 int(f,v) 對f表達式的v變量求積分 int(f,v,a,b) 對f表達式的v變量在（a,b) 區(qū)間求定積分,四. 符號微積分與積分變換,31/60,四. 符號微積分與積分變換,1 符號極限 limit函數(shù)的調(diào)用格式為： (1) limit(f,x,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。即計算當變量x趨近于常數(shù)a時，f(x)函數(shù)的極限值。 (

12、2) limit(f,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。由于沒有指定符號函數(shù)f(x)的自變量，則使用該格式時，符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認自變量，即變量x趨近于a。,32/60,四. 符號微積分與積分變換,(3) limit(f)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認變量；沒有指定變量的目標值時，系統(tǒng)默認變量趨近于0，即a=0的情況。 (4) limit(f,x,a,right)：求符號函數(shù)f的極限值。right表示變量x從右邊趨近于a。 (5) limit(f,x,a,left)：求符號函數(shù)f的極限值。left表

13、示變量x從左邊趨近于a。,33/60,四. 符號微積分與積分變換,2 符號微分（導數(shù)） diff函數(shù)用于對符號表達式求導數(shù)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為： diff(s)：沒有指定變量和導數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s求一階導數(shù)。 diff(s,v)：以v為自變量，對符號表達式s求一階導數(shù)。 diff(s,n)：按findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s求n階導數(shù)，n為正整數(shù)。 diff(s,v,n)：以v為自變量，對符號表達式s求n階導數(shù)。,34/60, s1=sym(6*x3-4*x2+b*x-5); s2=sym(sin(a); diff(s1) ans

14、= 18*x2-8*x+b diff(s2) ans = cos(a) diff(s1,b) ans = X diff(s1,2) ans = 36*x-8,35/60,四. 符號微積分與積分變換,3 符號積分 符號積分由函數(shù)int來實現(xiàn)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為： int(s)：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對被積函數(shù)或符號表達式s求不定積分。 int(s,v)：以v為自變量，對被積函數(shù)或符號表達式s求不定積分。 int(s,v,a,b)：求定積分運算。a,b分別表示定積分的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分。a和b可以是兩個具體的數(shù)，也可

15、以是一個符號表達式，還可以是無窮(inf)。當函數(shù)f關于變量x在閉區(qū)間a,b上可積時，函數(shù)返回一個定積分結果。當a,b中有一個是inf時，函數(shù)返回一個廣義積分。當a,b中有一個符號表達式時，函數(shù)返回一個符號函數(shù)。,36/60,例.計算二重不定積分, syms x y F=int(int(x*exp(-x*y),x),y) F = 1/y*exp(-x*y),37/60,4.符號代數(shù)方程求解,matlab符號運算能夠解一般的線性方程、非線性方程及一般的代數(shù)方程、代數(shù)方程組。當方程組不存在符號解時，又無其他自由參數(shù)，則給出數(shù)值解。 命令格式： solve(f) 求一個方程的解 Solve(f1,f2, fn) 求n個方程的解,38/60,例1. f = ax2+bx+c 求解 f=sym(a*x2+b*x+c); solve(f) 對缺省變量x求解 ans = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2),計算機 格式,一般格式,39/60,例. 符號方程cos(x)=sin(x) 求解 f1=solve(cos(x)=sin(x), f1 = 1/4*pi,