拉普拉斯定理--行列式乘法

1、一、,k,級子式,余子式,代數(shù)余子式,二、拉普拉斯,(Laplace),定理,三、行列式乘法法則,一、,k,級子式與余子式、代數(shù)余子式,定義,在一個,n,級行列式,D,中任意選定,k,行,k,列,(,k,個元素,k,?,n,),，位于這些行和列的交叉點上的,2,按照原來次序組成一個,k,級行列式,M,，稱為行列,式,D,的一個,k,級子式,；在,D,中劃去這,k,行,k,列后,余下的元素按照原來的次序組成的,n,級,行列,?,k,M,?,，稱為,k,級子式,M,的,余子式,；,式,第二章,行列式,8,拉普拉斯定理,行列式乘法法則,若,k,級子式,M,在,D,中所在的行、列指標分別是,i,1,i

2、,2,i,k,;,j,1,j,2,j,k,，則在,M,的余子式,M,?,前,后稱之為,M,的,代數(shù),加上符號,(,?,1),i,1,?,i,2,?,?,i,k,?,j,1,?,j,2,?,?,j,k,A,?,(,?,1),M,?,余子式,，記為,.,i,1,?,i,2,?,?,i,k,?,j,1,?,j,2,?,?,j,k,注：,k,級子式不是唯一的,.,（任一,n,級行列式有,C,C,個,k,級子式）,k,?,1,時，,D,中每個元素都是一個,1,級子式；,k,n,k,n,k,?,n,時，,D,本身為一個,n,級子式,第二章,行列式,8,拉普拉斯定理,行列式乘法法則,例,1,：四階行列式,1

3、,0,D,?,0,0,2,?,1,0,0,1,2,2,1,4,1,1,3,選定,1,、,3,行，,2,、,4,列的一個二級子式,M,2,4,M,?,0,1,M,的余子式和代數(shù)余子式分別為,0,2,M,?,?,0,1,A=(-1),1+3+2+4,0,2,M,?,?,0,1,第二章,行列式,8,拉普拉斯定理,行列式乘法法則,例,2,：五階行列式,a,11,a,21,D,?,a,31,a,41,a,51,中,a,12,a,22,a,32,a,42,a,52,a,13,a,23,a,33,a,43,a,53,a,14,a,24,a,34,a,44,a,54,a,15,a,25,a,35,a,45,a

4、,55,a,12,a,13,a,15,M,?,a,22,a,23,a,25,a,42,a,43,a,45,與,a,a,31,34,M,?,?,a,51,a,54,是一對互余的子式,.,第二章,行列式,8,拉普拉斯定理,行列式乘法法則,二、拉普拉斯,(Laplace),定理,引理,行列式,D,的任一子式,M,與它的代數(shù)余子式,A,的乘積中的每一項都是行列式,D,的展開式中,的一項，而且符號也一致,第二章,行列式,8,拉普拉斯定理,行列式乘法法則,Laplace,定理,設在行列式,D,中任意取,k,( ),1,?,k,?,n,?,1,行，,由這,k,行元素所組成的一切,k,級子式與它們的,代數(shù)余子

5、式的乘積和等于,D,即,若,D,中取定,k,行后，由這,k,行得到的,k,級子式,為,M,1,M,2,M,t,，它們對應的代數(shù)余子式分別為,A,1,A,2,A,t,則,.,D,?,M,1,A,1,?,M,2,A,2,?,?,M,t,A,t,.,第二章,行列式,8,拉普拉斯定理,行列式乘法法則,注：,?,M,1,A,1,?,M,2,A,2,?,k,?,1,時，,D,即為行列式,D,按某行展開；,a,11,a,1,k,0,a,kk,0,b,11,b,r,1,0,0,?,b,1,r,a,k,1,b,rr,a,11,a,1,k,b,11,a,kk,b,r,1,b,1,r,b,rr,?,M,t,A,t,

6、D,?,a,k,1,*,為行列式,D,取定前,k,行運用,Laplace,定理結果,第二章,行列式,8,拉普拉斯定理,行列式乘法法則,例,對于四階行列式,a,11,a,21,D,?,a,31,a,41,a,12,a,22,a,32,a,42,a,13,a,23,a,33,a,43,a,14,a,24,a,34,a,44,選定,2,、,3,行得子式和代數(shù)余子式分別為,a,21,a,22,M,1,?,a,31,a,32,a,13,a,14,A,1,?,a,43,a,44,a,21,a,23,M,2,?,a,31,a,33,a,12,a,14,A,2,?,?,a,42,a,44,a,21,a,24,

7、M,3,?,a,31,a,34,a,12,a,13,A,3,?,a,41,a,43,第二章,行列式,8,拉普拉斯定理,行列式乘法法則,a,11,a,21,D,?,a,31,a,41,a,12,a,22,a,32,a,42,a,13,a,23,a,33,a,43,a,14,a,24,a,34,a,44,a,22,a,23,M,4,?,a,32,a,33,a,11,a,14,A,4,?,a,41,a,44,a,22,a,24,M,5,?,a,32,a,34,a,11,a,13,A,5,?,?,a,41,a,43,a,23,a,24,M,6,?,a,33,a,34,a,11,a,12,A,6,?,a

8、,41,a,42,D,?,M,1,A,1,?,M,2,A,2,?,M,3,A,3,?,M,4,A,4,?,M,5,A,5,?,M,6,A,6,a,23,a,24,a,11,a,12,M,6,A,6,?,?,?,a,23,a,34,?,a,24,a,33,?,?,a,11,a,42,?,a,12,a,41,?,a,33,a,34,a,41,a,42,?,a,23,a,34,a,11,a,42,?,a,23,a,34,a,12,a,41,?,a,24,a,33,a,11,a,42,?,a,24,a,33,a,12,a,41,第二章,行列式,8,拉普拉斯定理,行列式乘法法則,1,0,D,?,例,3,

9、：計算行列式,1,0,2,?,1,0,1,1,2,1,3,4,1,3,1,解：選定一二行得六個子式,1,2,M,1,?,?,?,2,1,0,1,4,M,3,?,?,?,1,1,3,2,4,M,5,?,?,6,0,3,1,1,M,2,?,?,0,1,1,2,1,M,4,?,?,2,0,1,1,4,M,6,?,?,?,1,1,3,第二章,行列式,8,拉普拉斯定理,行列式乘法法則,它們的代數(shù)余子式為,A,1,?,(,?,1),1,?,3,?,1,?,2,0,?,1,?,0,A,?,(,?,1),1,?,3,?,2,?,4,?,1,1,?,?,2,2,1,1,0,1,?,1,2,?,5,A,?,(,?

10、,1),1,?,3,?,1,?,2,0,1,?,0,4,1,3,0,1,0,2,?,0,A,?,(,?,1),1,?,3,?,1,?,2,0,?,1,?,0,.,6,0,3,0,1,A,3,?,(,?,1),A,5,?,(,?,1),1,?,3,?,2,?,3,4,?,1,?,1,?,3,D,?,(,?,2),?,1,?,0,?,(,?,2),?,(,?,1),?,5,?,2,?,0,?,6,?,0,?,(,?,1),?,0,?,?,7,第二章,行列式,8,拉普拉斯定理,行列式乘法法則,三、行列式乘法法則,設有兩個,n,級行列式,a,11,a,12,a,1,n,b,11,b,12,a,21,a

11、,22,a,2,n,b,21,b,22,D,1,?,D,2,?,b,1,n,b,2,n,b,nn,a,n,1,a,n,2,則,D,1,D,2,?,a,nn,c,1,n,c,2,n,b,n,1,b,n,2,c,11,c,12,c,21,c,22,c,n,1,c,n,2,c,nn,n,其中,c,ij,?,a,i,1,b,1,j,?,a,i,2,b,2,j,?,?,a,in,b,nj,?,?,a,ik,b,kj,i,j,?,1,2,n,k,?,1,第二章,行列式,8,拉普拉斯定理,行列式乘法法則,證：,作一個,2,n,級的行列式,a,11,a,n,1,D,?,?,1,a,1,n,0,a,nn,0,b,11,?,1,b,n,1,0,0,b,1,n,b,nn,由拉普拉斯定理,D,?,a,11,a,n,1,a,1,n,b,11,a,nn,b,n,1,b,1,n,b,nn,?,a,ij,b,ij,第二章,行列式,8,拉普拉斯定理,行列式乘法法則,c,11,?,a,11,b,11,?,a,