無窮級數(shù)的定義,性質和及斂散性判別.ppt

1、第十一章 無窮級數(shù),從18世紀以來，無窮級數(shù)就被認為是微積分的一個不可缺少的部分，是高等數(shù)學的重要內容，同時也是有力的數(shù)學工具，在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質等方面有巨大作用，在自然科學和工程技術領域有著廣泛的應用,本章主要內容包括常數(shù)項級數(shù)和兩類重要的函數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)和三角級數(shù)，主要圍繞三個問題展開討論：級數(shù)的收斂性判定問題，把已知函數(shù)表示成級數(shù)問題，級數(shù)求和問題。,重點,級數(shù)的斂散性，常數(shù)項級數(shù)審斂法，冪級數(shù)的收斂域，函數(shù)的冪級數(shù)展開式，函數(shù)的Fourier 展開式；,難點,常數(shù)項級數(shù)審斂法，函數(shù)展開成冪級數(shù)的直接法和間接法， Fourier 展開，級數(shù)求和；,基本要求,掌握級數(shù)斂散性概念和性質

2、,掌握正項級數(shù)的比較審斂法、檢比法、檢根法,掌握交錯級數(shù)的Leibniz審斂法,掌握絕對收斂和條件收斂概念,掌握冪級數(shù)及主要性質，會求收斂半徑和收斂區(qū)間，會求簡單的冪級數(shù)的和函數(shù),熟記五個基本初等函數(shù)的 Taylor 級數(shù)展開式及其收斂半徑,掌握 Fourier 級數(shù)概念，會熟練地求出各種形式的Fourier 系數(shù),掌握奇、偶函數(shù)的 Fourier 級數(shù)的特點及如何將函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù),一、問題的提出,1. 計算圓的面積,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,二、級數(shù)的概念,1. 級數(shù)的定義:,一般項,(常數(shù)項)無窮級數(shù),級數(shù)的部分和,部分和數(shù)列,2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散:,

3、余項,無窮級數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.,做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對 稱的產生邊長為原邊長的1/3的小正三角形如此 類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到 了面積有限而周長無限的圖形“Koch雪花”,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,第 次分叉：,周長為,面積為,于是有,雪花的面積存在極限（收斂）,結論：雪花的周長是無界的，而面積有界,解,收斂,發(fā)散,發(fā)散,發(fā)散,綜上,解,三、基本性質,結論: 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), 斂散性不變.,結論: 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.,證明,類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性.,證明,注意,收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,收斂,發(fā)散,若記,則加括號后級數(shù)成為,的部分和記為,則,由數(shù)列和子數(shù)列的關系知,存在，,必定存在,存在,未必存在,四、收斂的必要條件,級數(shù)收斂的必要條件:,證明,注意,1.如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;,發(fā)散,2.必要條件不充分.,討論,2項,2項,4項,8項,項,由性質4推論,調和級數(shù)發(fā)散.,由定積分的幾何意義,這塊面積顯然大于定積分,就是圖中 n 個矩形的面積之和,即,故調和級數(shù)發(fā)散,調和級數(shù)的部分和,五、小結,常數(shù)項級數(shù)的基本概念,基本審斂法,思考