高三數(shù)學一輪復習必備精品15：算法的含義、程序框圖

1、.第15講 算法的含義、程序框圖備注：【高三數(shù)學一輪復習必備精品共42講 全部免費 歡迎下載】一【課標要求】1通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如，二元一次方程組求解等問題），體會算法的思想，了解算法的含義；2通過模仿、操作、探索，經歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程。在具體問題的解決過程中（如，三元一次方程組求解等問題），理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、循環(huán)二【命題走向】算法是高中數(shù)學課程中的新內容，本章的重點是算法的概念和算法的三種邏輯結構。預測2010年高考對本章的考察是：以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值在5分左右，考察的熱點是算法的概念三【要點精講】1算法的概念（1

2、）算法的定義：廣義的算法是指完成某項工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機的使用說明書是操作洗衣機的算法，菜譜是做菜的算法等等。在數(shù)學中，現(xiàn)代意義的算法是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序和步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成（2）算法的特征：確定性：算法的每一步都應當做到準確無誤、“不重不漏”?！安恢亍笔侵覆皇强捎锌蔁o的、甚至無用的步驟，“不漏” 是指缺少哪一步都無法完成任務。邏輯性：算法從開始的“第一步”直到“最后一步”之間做到環(huán)環(huán)相扣。分工明確，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù)。有窮性：算法要有明確的開始和結束，當?shù)竭_終止步驟時

3、所要解決的問題必須有明確的結果，也就是說必須在有限步內完成任務，不能無限制的持續(xù)進行。（3）算法的描述：自然語言、程序框圖、程序語言2程序框圖（1）程序框圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形；（2）構成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能起止框表示一個算法的起始和結束，是任何算法程序框圖不可缺少的。輸入、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計算。算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等，它們分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內。判斷框判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或“Y”；不成

4、立時在出口處標明則標明“否”或“N”。流程線算法進行的前進方向以及先后順序循環(huán)框用來表達算法中重復操作以及運算連結點連接另一頁或另一部分的框圖注釋框幫助編者或閱讀者理解框圖（3）程序框圖的構成一個程序框圖包括以下幾部分：實現(xiàn)不同算法功能的相對應的程序框；帶箭頭的流程線；程序框內必要的說明文字3幾種重要的結構（1）順序結構順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的。它是由若干個依次執(zhí)行的步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。AB示意圖輸入nflag=1見示意圖和實例： 順序結構在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)

5、行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。pABYN（2）條件結構如下面圖示中虛線框內是一個條件結構，此結構中含有一個判斷框，算法執(zhí)行到此判斷給定的條件P是否成立，選擇不同的執(zhí)行框（A框、B框）。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能既執(zhí)行A框又執(zhí)行B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。A框或B框中可以有一個是空的，即不執(zhí)行任何操作見示意圖（3）循環(huán)結構在一些算法中要求重復執(zhí)行同一操作的結構稱為循環(huán)結構。即從算法某處開始，按照一定條件重復執(zhí)行某一處理過程。重復執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體。循環(huán)結構有兩種形式：當型循環(huán)結構和

6、直到型循環(huán)結構。當型循環(huán)結構，如左下圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，返回來再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，返回來再執(zhí)行A框，如此反復執(zhí)行A框，直到某一次返回來判斷條件P不成立時為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖。A成立不成立P當型循環(huán)結構 直到型循環(huán)結構成立不成立PA直到型循環(huán)結構，如右下圖所示，它的功能是先執(zhí)行重復執(zhí)行的A框，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則返回來繼續(xù)執(zhí)行A框，再判斷條件P是否成立。以次重復操作，直到某一次給定的判斷條件P時成立為止，此時不再返回來執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構。繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖見示意圖四

7、【典例解析】題型1：算法概念例1下列說法正確的是（ ）A算法就是某個問題的解題過程；B算法執(zhí)行后可以產生不同的結果；C解決某一個具體問題算法不同結果不同；D算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以為很大，否則無法實施。解析：答案為選項B；選項B，例如：判斷一個整數(shù)是否為偶數(shù)，結果為“是偶數(shù)”和“不是偶數(shù)”兩種；選項A ，算法不能等同于解法；選項C，解決某一個具體問題算法不同結果應該相同，否則算法構造的有問題；選項D，算法可以為很多次，但不可以無限次。點評：算法一般是機械的，有時需要進行大量的重復計算。只要按部就班去做，總能算出結果。通常把算法過程稱為“數(shù)學機械化”。數(shù)學機械化的最大優(yōu)點是它可以借助計算機來完成

8、；實際上處理任何問題都需要算法。如：中國象棋有中國象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則；而國際象棋有國際象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則；再比如申請出國有一系列的先后手續(xù)，購買物品也有相關的手續(xù)。例2下列語句中是算法的個數(shù)為（ ）從濟南到巴黎：先從濟南坐火車到北京，再坐飛機到巴黎；統(tǒng)籌法中“燒水泡茶”的故事；測量某棵樹的高度，判斷其是否是大樹；已知三角形的一部分邊長和角，借助正余弦定理求得剩余的邊角，再利用三角形的面積公式求出該三角形的面積A1 B2 C3 D4解析：正確選項為C，中我們對“樹的大小”沒有明確的標準，無法完成任務，不是有效的算法構造。中，勾畫了從濟南到巴黎的行程安排，完成了任務；中

9、，節(jié)約時間，燒水泡茶完成了任務；中，純數(shù)學問題，借助正、余弦定理解三角形，進而求出三角形的面積。點評：算法過程要做到能一步一步的執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作，必須確切，不能含混不清，且在有限步后的必須得到問題的結果題型2：經典算法例3一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量就會吃羚羊。該人如何將動物轉移過河？請設計算法？解析：任何動物同船不用考慮動物的爭斗但需考慮承載的數(shù)量，還應考慮到兩岸的動物都得保證狼的數(shù)量要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構造過程中盡可能保證船里面有狼，這樣才能使得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)勢，具體算法如下：算法步

10、驟：第一步：人帶兩只狼過河，并自己返回；第二步：人帶一只狼過河，自己返回；第三步：人帶兩只羚羊過河，并帶兩只狼返回；第四步：人帶一只羊過河，自己返回；第五步：人帶兩只狼過河點評：算法是解決某一類問題的精確描述，有些問題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當?shù)?。這就要求我們在寫算法時應精練、簡練、清晰地表達，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體現(xiàn)思維的嚴密性和完整性。本題型解決問題的算法中某些步驟重復進行多次才能解決，在現(xiàn)實生活中，很多較復雜的問題經常遇到這樣的問題，設計算法的時候，如果能夠合適地利用某些步驟的重復，不但可以使得問題變得簡單，而且可以提高工作效率。例4這是中國古代的一個著名算法案例：一群小

11、兔一群雞，兩群合到一群里，要數(shù)腿48，要數(shù)腦袋17，多少小兔多少雞？解析：求解雞兔的問題簡單直觀，卻包含著深刻的算法思想。應用解二元一次方程組的方法來求解雞兔同籠問題第一步：設有小雞x只，小兔y只，則有第二步：將方程組中的第一個方程兩變乘2加到第二個方程中去，得到，得到y(tǒng)=7；第三步：將y=7代入（1）得x=10。點評：解決這些問題的基本思想并不復雜，很清晰，但敘述起來很煩瑣，有的步驟非常多，有的計算量很大，有時候完全依靠人力完成這些工作很困難。但是這些恰恰是計算機的長處，它能不厭其煩的枯燥的、重復的、繁瑣的工作。但算法也有優(yōu)劣，我們要追求高效。題型3：順序結構例5寫出通過尺軌作圖確定線段AB

12、一個5等分點的算法。解析：我們借助于平行線定理，把位置的比例關系變成已知的比例關系，只要按照規(guī)則一步一步去做就能完成任務算法分析： 第一步：從已知線段的左端點A出發(fā)，任意作一條與AB不平行的射線AP；第二步：在射線上任取一個不同于端點A的點C，得到線段AC；第三步：在射線上延AC的方向截取線段CE=AC；第四步：在射線上延AC的方向截取線段EF=AC；第五步：在射線上延AC的方向截取線段FG=AC；第六步：在射線上延AC的方向截取線段GD=AC，那么線段AD=5AB；第七步：連接DB；第八步：過C作BD的平行線，交線段AB于M，這樣點M就是線段AB的一個5等分點。開始從A點出發(fā)作一條與AB不平

13、行射線AC在射線上任取一個不同于端點A的點C，取AC為單位線段，再在AC上順次取點E、F、G、D，滿足CE=EF=FG=GD=AC連結BD過點C作BD的平行線交AB于點M，點M即為5等分點結束程序框圖：點評：這個算法步驟具有一般性，對于任意自然數(shù)n，都可以按照這個算法的思想，設計出確定線段的n等分點的步驟，解決問題。例6有關專家建議，在未來幾年內，中國的通貨膨脹率保持在3%左右，這將對我國經濟的穩(wěn)定有利無害。所謂通貨膨脹率為3%，指的是每年消費品的價格增長率為3%。在這種情況下，某種品牌的鋼琴2004年的價格是10 000元，請用流程圖描述這種鋼琴今后四年的價格變化情況，并輸出四年后的價格解析

14、：用P表示鋼琴的價格，不難看出如下算法步驟：2005年P=10000（1+3%）=10300；2006年P=10300（1+3%）=10609；2007年P=10609（1+3%）=10927.27；2008年P=10927.27（1+3%）=11255.09；因此，價格的變化情況表為：年份20042005200620072008鋼琴的價格10000103001060910927.2711255.09程序框圖為：開始P=10000P=100001.03=10300P=103001.03=10609P=106091.03=10927.27P=10927.271.03=11255.09結束輸出P點

15、評：順序結構只須嚴格按照傳統(tǒng)的解決數(shù)學問題的解題思路，將問題解決掉。最后將解題步驟 “細化”就可以?！凹毣敝傅氖菍懗鏊惴ú襟E、畫出程序框圖題型4：條件結構例7設計算法判斷一元二次方程是否有實數(shù)根，并畫出相應的程序框圖。解析：算法步驟如下： 第一步：輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c；第二步：計算的值；第三步：判斷0是否成立。若0成立，輸出“方程有實根”；否則輸出“方程無實根”。結束算法。相應的程序框圖如下：YN結 束開始輸入a,b,c0？輸出無實根輸出有實根=b24ac點評：根據(jù)一元二次方程的意義，需要計算判別式的值。再分成兩種情況處理：（1）當0時，一元二次方程有實數(shù)根；（2）當0時，一元

16、二次方程無實數(shù)根。該問題實際上是一個分類討論問題，根據(jù)一元二次方程系數(shù)的不同情況，最后結果就不同。因而當給出一個一元二次方程時，必須先確定判別式的值，然后再用判別式的值的取值情況確定方程是否有解。該例僅用順序結構是辦不到的，要對判別式的值進行判斷，需要用到條件結構(2009年廣東卷文)某籃球隊6名主力隊員在最近三場比賽中投進的三分球個數(shù)如下表所示： 隊員i123456三分球個數(shù)下圖（右）是統(tǒng)計該6名隊員在最近三場比賽中投進的三分球總數(shù)的程序框圖，則圖中判斷框應填 ，輸出的s= (注：框圖中的賦值符號“=”也可以寫成“”或“：=”) 【解析】順為是統(tǒng)計該6名隊員在最近三場比賽中投進的三分球總數(shù)的

17、程序框圖，所圖中判斷框應填，輸出的s=.答案 ,例8（1）設計算法，求的解，并畫出流程圖。解析：對于方程來講，應該分情況討論方程的解我們要對一次項系數(shù)a和常數(shù)項b的取值情況進行分類，分類如下：（1）當a0時，方程有唯一的實數(shù)解是；（2）當a=0，b=0時，全體實數(shù)都是方程的解；（3）當a=0，b0時，方程無解聯(lián)想數(shù)學中的分類討論的處理方式?？傻萌缦滤惴ú襟E：第一步：判斷a是否不為零。若成立，輸出結果“解為”；第二步：判斷a=0，b=0是否同時成立。若成立，輸出結果“解集為R”；第三步：判斷a=0，b0是否同時成立。若成立，輸出結果“方程無解”，結束。程序框圖：Ya0?a=0,b=0?a=0,b

18、0?開始輸出解為輸出解集為R輸出方程無解結束YNNN輸入a，bY（2）。設計算法，找出輸入的三個不相等實數(shù)a、b、c中的最大值，并畫出流程圖。解析：算法步驟：第一步：輸入a，b，c的值；第二步：判斷ab是否成立，若成立，則執(zhí)行第三步；否則執(zhí)行第四步；第三步：判斷ac是否成立，若成立，則輸出a，并結束；否則輸出c，并結束；第四步：判斷bc是否成立，若成立，則輸出b，并結束；否則輸出c，并結束。程序框圖：開始a b?輸出a結束Na c?Y輸出cb c?輸出b輸出cYYNN輸入a,b,c點評：條件結構嵌套與條件結構疊加的區(qū)別是：（1）條件結構疊加，程序執(zhí)行時需依次對“條件1”、“條件2”、“條件3”

19、都進行判斷只有遇到能滿足的條件才執(zhí)行該條件對應的操作（2）條件結構的嵌套中，“條件2”是“條件1”的一個分支，“條件3”是“條件2”的一個分支，依此類推，這些條件中很多在算法執(zhí)行過程中根據(jù)所處的分支位置不同可能不被執(zhí)行。（3）條件結構嵌套所涉及的“條件2”、“條件3”是在前面的所有條件依次一個一個的滿足“分支條件成立”的情況下才能執(zhí)行的此操作，是多個條件同時成立的疊加和復合。題型5：循環(huán)結構例9設計一個算法，求的值，并劃出程序框圖。解析：算法步驟：第一步：sum=0；第二步：i=0；第三步：sum=sum+2i；第四步：i=i+1；第五步：判斷i是否大于49，若成立，則輸出sum，結束；否則返

20、回第三步重新執(zhí)行。結 束開始i49？輸出sumsum=0,i=0sum=sum+2ii=i+1NY程序框圖：點評：1如果算法問題里涉及的運算進行了許多次重復的操作，且先后參與運算的數(shù)之間有相同的規(guī)律，就可引入變量循環(huán)參與運算（我們稱之為循環(huán)變量），應用于循環(huán)結構。在循環(huán)結構中，要注意根據(jù)條件設計合理的計數(shù)變量、累加和累乘變量及其個數(shù)等，特別要求條件的表述要恰當、精確2累加變量的值初始值一般取成0，而累乘變量的初始值一般取成1。例10相傳古代的印度國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他需要什么。發(fā)明者說：陛下，在國際象棋的第一個格子里面放1粒麥子，在第二個格子里面放2粒麥子，第三個格子放4粒麥子，以后

21、每個格子中的麥粒數(shù)都是他前一個格子中麥粒數(shù)的二倍，依此類推（國際象棋棋盤共有64個格子）。請將這些麥子賞給我，我將感激不盡。國王想這還不容易，就讓人扛了一袋小麥，但不到一會兒就沒了，最后一算結果，全印度一年生產的糧食也不夠。國王很奇怪，小小的“棋盤”，不足100個格子，如此計算怎么能放這么多麥子？試用程序框圖表示一下算法過程。解析：將實際問題轉化為數(shù)學模型，該問題就是來求的和結 束開始i64？輸出sumsum=0,i=0sum=sum+2ii=i+1NY點評：對于開放探究問題，我們可以建立數(shù)學模型（上面的題目要與等比數(shù)列的定義、性質和公式聯(lián)系起來）和過程模型來分析好算法，通過設計算法以及語言的描述選擇一些成熟的辦法進行處理。像上面