重慶市永川區(qū)2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期期末考試試題【含解析】

1、重慶市永川區(qū)2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期期末考試試題（含解析）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.下列命題多面體的面數(shù)最少為4；正多面體只有5種；凸多面體是簡單多面體；一個(gè)幾何體的表面，經(jīng)過連續(xù)變形為球面的多面體就叫簡單多面體。其中正確的個(gè)數(shù)為（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)多面體的定義判斷?！驹斀狻空嗝骟w只有正四、六、八、十二、二十，所以正確。表面經(jīng)過連續(xù)變形為球面的多面體就叫簡單多面體。棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡單多面體。所以正確。故：都正確【點(diǎn)睛】根據(jù)多面體的

2、定義判斷。2.球的體積是，則此球的表面積是A. 12B. 16C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用球的體積與表面積計(jì)算公式即可得出【詳解】設(shè)球的半徑為R，則由已知得R3，解得R2故球的表面積S表4R216故選B【點(diǎn)睛】本題考查了球的體積與表面積計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題3.下列四個(gè)命題中，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）經(jīng)過球面上任意兩點(diǎn)，可以作且只可以作一個(gè)大圓；經(jīng)過球直徑三等分點(diǎn)，作垂直于該直徑的兩個(gè)平面，則這兩個(gè)平面把球面分成三部分的面積相等；球的面積是它大圓面積的四倍；球面上兩點(diǎn)的球面距離，是這兩點(diǎn)所在截面圓上，以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的劣弧的長A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】結(jié)合

3、球的有關(guān)概念:如球的大圓、球面積公式、球面距離等即可解決問題,對(duì)于球的大圓、球面積公式、球面距離等的含義的理解,是解決此題的關(guān)鍵.【詳解】對(duì)于,若兩點(diǎn)是球的一條直徑的端點(diǎn),則可以作無數(shù)個(gè)球的大圓,故錯(cuò);對(duì)于三部分的面積都是，故正確對(duì)于,球面積=,是它大圓面積的四倍, 故正確;對(duì)于,球面上兩點(diǎn)的球面距離,是這兩點(diǎn)所在大圓上以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的劣弧的長,故錯(cuò).所以錯(cuò)誤.所以C選項(xiàng)是正確的.【點(diǎn)睛】本題考查球的性質(zhì),特別是求兩點(diǎn)的球面距離,這兩個(gè)點(diǎn)肯定在球面上,做一個(gè)圓使它經(jīng)過這兩個(gè)點(diǎn),且這個(gè)圓的圓心在球心上,兩點(diǎn)的球面距離對(duì)應(yīng)的是這個(gè)圓兩點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)的較短的那個(gè)弧的距離.4.球面上有三個(gè)點(diǎn)，其中任意兩

4、點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過這3個(gè)點(diǎn)的小圓周長為，那么這個(gè)球的半徑為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【詳解】解:5.球的體積是，則此球的表面積是A. 12B. 16C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用球的體積與表面積計(jì)算公式即可得出【詳解】設(shè)球的半徑為R，則由已知得R3，解得R2故球的表面積S表4R216故選B【點(diǎn)睛】本題考查了球的體積與表面積計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題6.一個(gè)四面體各棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：正四面體擴(kuò)展為正方體，二者有相同外接球，通過正方體的對(duì)角線的長度就是外接球的直徑，求出

5、球的表面積由于正四面體擴(kuò)展為正方體，二者有相同的外接球，所以正方體的棱長為：1，所以正方體的對(duì)角線的長度就是外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為：，故選A.考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體7.64個(gè)直徑都為的球，記它們的體積之和為，表面積之和為；一個(gè)直徑為a的球，記其體積為，表面積為，則（）A. 且B. 且D. =且=【答案】C【解析】【分析】分別計(jì)算出、，再比較大小?！驹斀狻?，故=，【點(diǎn)睛】已知直徑利用公式 ,分別計(jì)算出、，再比較大小即可。8.設(shè)地球的半徑為R，在緯度為的緯線圈上有A,B兩地，若這兩地的緯線圈上的弧長為，則A,B兩地之間的球面距離為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【

6、分析】根據(jù)緯線圈上的弧長為求出A,B兩地間的徑度差，即可得出答案。【詳解】設(shè)球心為O，緯度為的緯線圈的圓心為O，則OAO=,OA=OAcosOAO=Rcos,設(shè)A,B兩地間的徑度差的弧度數(shù)為，則Rcos=,=,即A,B兩地是O的一條直徑的兩端點(diǎn)，AOB=,A,B兩地之間的球面距離為答案：D【點(diǎn)睛】本題涉及到了地理相關(guān)的經(jīng)緯度概念。學(xué)生需理解其基本概念，將題干所述信息轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)求解。9.一根細(xì)金屬絲下端掛著一個(gè)半徑為1cm的金屬球，將它浸沒底面半徑為2cm的圓柱形容器內(nèi)的水中，現(xiàn)將金屬絲向上提升，當(dāng)金屬球被拉出水面時(shí)，容器內(nèi)的水面下降了（）A. cmB. cmC. cmD. cm【答案】

7、D【解析】【分析】利用等體積法求水面下降高度。【詳解】球的體積等于水下降的體積即，答案：D【點(diǎn)睛】利用等體積法求水面下降高度。10.地球半徑為R,北緯45圈上A,B兩點(diǎn)分別在東徑130和西徑140,并且北緯45圈小圓的圓心為O,則在四面體O-ABO中，直角三角形有（）A. 0個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【答案】C【解析】【分析】畫圖標(biāo)注其位置，即可得出答案?！驹斀狻咳鐖D所示： ，即有3個(gè)直角三角形?！军c(diǎn)睛】本題涉及到了地理相關(guān)的經(jīng)緯度概念。學(xué)生需理解其基本概念，將題干所述信息轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)求解。11.定義1分的地球球心角所對(duì)的地球大圓弧長為1海里在北緯45圈上有甲、乙兩地，甲地位于東經(jīng)

8、120，乙位于西經(jīng)150，則甲乙兩地在球面上的最短距離為（）A. 5400海里B. 2700海里C. 4800海里D. 3600海里【答案】D【解析】【分析】求出甲乙兩地的球心角，根據(jù)比例關(guān)系即可得出答案?！驹斀狻康厍虮砻嫔蠌募椎兀ū本?5東經(jīng)120）到乙地（北緯45西經(jīng)150），乙兩地對(duì)應(yīng)的AB的緯圓半徑是 ,經(jīng)度差緯90，所以AB=R,球心角為60，最短距離為【點(diǎn)睛】求出甲乙兩地的球心角，根據(jù)比例關(guān)系即可得出答案。12.甲球與某立方體的各個(gè)面都相切，乙球與這個(gè)立方體的各條棱都相切，丙球過這個(gè)立方體的所有頂點(diǎn)，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為（）A. 123B. 1C. 1D. 123【答

9、案】A【解析】【分析】設(shè)立方體為以2為邊長的正方體，分別求出甲乙丙的半徑，即可得出答案?！驹斀狻吭O(shè)立方體為以2為邊長的正方體，則 ，所以【點(diǎn)睛】設(shè)立方體為以2為邊長的正方體，分別求出甲乙丙的半徑，即可得出答案。二、填空題：本大題滿分16分，每小題4分，各題只要求直接寫出結(jié)果13.兩個(gè)半徑為1的鐵球，熔化成一個(gè)球，這個(gè)球的半徑是_【答案】【解析】【分析】等體積法【詳解】 【點(diǎn)睛】等體積法14.球的半徑為8，經(jīng)過球面上一點(diǎn)作一個(gè)平面，使它與經(jīng)過這點(diǎn)的半徑成45角，則這個(gè)平面截球的截面面積為_.【答案】【解析】分析】先求出截面圓的半徑，再算截面面積?！驹斀狻拷孛鎴A半徑為 ，截面面積為 ?！军c(diǎn)睛】先求

10、出截面圓的半徑，再算截面面積。15.如圖，一個(gè)底面半徑為的圓柱形量杯中裝有適量的水，若放入一個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高,則_【答案】【解析】試題分析：由題可知，小球的體積等于水面上升的的體積，因此有，化簡可得，；考點(diǎn)：簡單幾何體的體積公式16.湖結(jié)冰時(shí)，一個(gè)球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一個(gè)直徑為24cm,深為8cm的空穴，則該球的半徑為 .【答案】13cm【解析】【詳解】設(shè)球半徑為R，則，解得，故答案為13.三、解答題：本大題滿分74分17.在有陽光時(shí)，一根長為3米的旗軒垂直于水平地面，它的影長為米，同時(shí)將一個(gè)半徑為3米的球放在這塊水平地面上，如圖所示，求球的陰影部分

11、的面積(結(jié)果用無理數(shù)表示)【答案】6(米2)【解析】分析】先求出射影角，再由射影比例求球的陰影部分的面積?！驹斀狻拷猓河深}意知，光線與地面成60角，設(shè)球的陰影部分面積為S，垂直于光線的大圓面積為S，則Scos30S,并且S9，所以S6(米2)【點(diǎn)睛】先求出射影角，再由射影比例求球的陰影部分的面積。18.把四個(gè)半徑為R的小球放在桌面上，使下層三個(gè)，上層一個(gè)，兩兩相切，求上層小球最高處離桌面的距離【答案】(2+)R【解析】【分析】四個(gè)小球兩兩相切，其四個(gè)球心構(gòu)成正四面體。【詳解】解：將四個(gè)球心兩兩連結(jié)，構(gòu)成一個(gè)棱長為2R的正四面體設(shè)底面正三角形的中心為H,則故上層小球最高處離桌面的距離為【點(diǎn)睛】四

12、個(gè)小球兩兩相切，其四個(gè)球心構(gòu)成正四面體。19.A、B、C是球O表面上三點(diǎn)，AB=6，ACB=30，點(diǎn)O到ABC所在截面的距離為5，求球O的表面積【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求出ABC截面圓的半徑，再由距離求出球的半徑，再求出其表面積?！驹斀狻吭?中 【點(diǎn)睛】根據(jù)正弦定理求出ABC截面圓的半徑，再由距離求出球的半徑，再求出其表面積。20.如果球、正方體與等邊圓柱（底面直徑與母線相等）的體積相等，求它們的表面積的大小關(guān)系【答案】【解析】【分析】分別用體積表示其面積，再比較大小。【詳解】解：設(shè)球的半徑為R、正方體的棱長為a,等邊圓柱的底面半徑為r,且它們的體積都為V,則:V=,【點(diǎn)睛】分別用

13、體積表示其面積，再比較大小。21.球O的半徑為R,ABC在球面上，A與B,A與C的球面距離都為，B與C的球面距離為，求球O在二面角B-OA-C內(nèi)的部分的體積【答案】【解析】分析】先求出二面角B-AO-C的平面角，再根據(jù)比例關(guān)系求出球O在二面角B-OA-C內(nèi)的部分的體積?！驹斀狻拷猓篈與B,A與C的球面距離都為，BOC為二面角B-AO-C的平面角，又B與C的球面距離為，BOC=，球O夾在二面角B-AO-C的體積是球的六分之一即為【點(diǎn)睛】先求出二面角B-AO-C的平面角，再根據(jù)比例關(guān)系求出球O在二面角B-OA-C內(nèi)的部分的體積。22.同底的兩個(gè)正三棱錐內(nèi)接于半徑為R的球，它們的側(cè)面與底面所成的角分別為求：（1）側(cè)面積的比；（2）體積的比；（3）角的最大值【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】分別計(jì)算出其側(cè)面積，再計(jì)算比值。分別計(jì)算出其側(cè)體積，再計(jì)算比值。根據(jù)在 單調(diào)遞增