一次函數(shù)與三角形面積 (2)

1、. ；. 一次函數(shù)相關(guān)的面積問題一次函數(shù)相關(guān)的面積問題 思路：畫出草圖，把要求的圖形構(gòu)建出來，根據(jù)面積公式，把直線與坐標軸的交點計算 出來，把坐標轉(zhuǎn)化成線段，代入面積公式求解。 規(guī)則圖形 （公式法） 不規(guī)則圖形 （切割法） 不含參數(shù)問題 含參數(shù)問題 （用參數(shù)表示點坐標，轉(zhuǎn)化成線段） 注意：坐標的正負、線段的非負性。 求面積時，盡量使底或高中的一者確定下來（通過對圖像的觀察，確定底和高） ，然后 根據(jù)面積公式，建立等式。 1、求直線 y = -2x +4，y = 2x -4 及 y 軸圍成的三角形的面積。 2、已知正比例函數(shù) y = 2x 與一次函數(shù) y = x +2 相交于點 P，則在 x 上

2、是否存 在一點 A，使 SPOA=4?若存在，求出點有坐標；若不存在，請說明理由。 . ；. 3、如下圖，一次函數(shù)的圖像交正比例函數(shù)的圖像于 M 點，交 x 軸于點 N（- 6，0） ，已知點 M 在第二象限，其橫坐標為-4，若 SNOM=15，求正比例函數(shù) 的解析式。 N y M O x 4、如圖，直線 1 l 的解析表達式為33yx ，且 1 l 與x軸交于點D，直線 2 l 經(jīng) 過點AB，直線 1 l ， 2 l 交于點C （1）求點D的坐標； （2）求直線 2 l 的解析表達式； （3）求ADC的面積； （4）在直線 2 l 上存在異于點C的另一點P，使得 ADP與ADC的面積相等，請

3、直接寫出點P的坐標 l1 l2 x y D O 3 B C A 3 2 （4，0 ） 圖 11 . ；. 5、如圖，直線 L 的解析表達式為 y = -x +2，且與x軸、y 軸交于點 2 1 A、B，在 y 軸上有一點 C（0，4） ，動點 M 從 A 點以每秒 1 個單位的速度 沿 x 軸向左移動。 （1）求 A、B 兩點的坐標； （2）COM 的面積 S 與 M 的移動時間 t 之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）當何值時COMAOB，并求出此時 M 點的坐標。 O C M A x y B 一次函數(shù)（動態(tài)問題）一次函數(shù)（動態(tài)問題） 舉一反三：舉一反三：如圖（十二） ，直線 的解析式為，它與軸、軸分

4、別相交于l4yx xy 兩點平行于直線 的直線從原點出發(fā)，沿軸的正方形以每秒 1 個單位長AB、lmOx 度的速度運動，它與軸、軸分別相交于兩點，設(shè)運動時間為 秒（xyMN、t ） 04t （1）求兩點的坐標；（2）用含 的代數(shù)式表示的面積；AB、tMON 1 S （3）以為對角線作矩形，記和重合部分的面積為，MNOMPNMPNOAB 2 S 當時，試探究與 之2t 4 2 St 間的函數(shù)關(guān)系式； 在直線的運動過程中，當 為mt 何值時，為面積的？ 2 SOAB 5 16OMA P N y l m x B OMA P N y l m x B E P F 圖十二 . ；. 【答案】解 （1）當時

5、，；當時，； 0 x 4y 0y 4x (4 0)0 4AB，（，） （2），； 1 OMOA MNAB ONOB ， 2 1 11 22 OMONtSOM ONt， （3）當時，易知點在的外面，則點的坐標為,24t POABP()tt， 點的坐標滿足即，同理，則F 4 xt yt ， ， ( 4)F tt，(4)Ett ， ， 所以24PFPEttt(4- ) 2MPNPEFOMNPEF SSSSS ； 222 11113 242488 22222 tPE PFttttt ()() 當時，解得02t 22 2 11515 4 4 221622 Stt ， 兩個都不合題意，舍去；當時， 12

6、5052tt ，24t ，解得， 2 2 35 88 22 Stt 34 7 3 3 tt， 綜上得，當或時，為的面積的 7 3 t 3t 2 SOAB 5 16 模仿操練：模仿操練：如圖，直線與兩坐標軸分別相交于 A.B 點，點 M 是線段 AB 上4xy 任意一點（A.B 兩點除外） ，過 M 分別作 MCOA 于點 C，MDOB 于 D （1）當點 M 在 AB 上運動時，你認為四邊形 OCMD 的周長是否發(fā)生變化？并說明理由； （2）當點 M 運動到什么位置時，四邊形 OCMD 的面積有最大值？最大值是多少？ （3）當四邊形 OCMD 為正方形時，將四邊形 OCMD 沿著 x 軸的正方

7、向移動，設(shè)平移 的距離為，正方形 OCMD 與AOB 重疊部分的面積為 S試求 S 與的)40 aa（a 函數(shù)關(guān)系式并畫出該函數(shù)的圖象 . ；. E DB C A Q P 6、在中，ABC 現(xiàn)有兩個動點,4,5,DBCCD3cm,CRtACcm BCcm點在上，且以 P、Q 分別從點 A 和點 B 同時出發(fā)，其中點 P 以 1cm/s 的速度，沿 AC 向終點 C 移動； 點 Q 以 1.25cm/s 的速度沿 BC 向終點 C 移動。過點 P 作 PEBC 交 AD 于點 E，連結(jié) EQ。設(shè)動點運動時間為 x 秒。 （1）用含 x 的代數(shù)式表示 AE、DE 的長度； （2）當點 Q 在 BD

8、（不包括點 B、D）上移動時，設(shè)的面積為，求與EDQ 2 ()y cmy 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；xx （3）當為何值時，為直角三角形。xEDQ . ；. 7、如圖 1，在平面直角坐標系中，已知點，點在正半軸上，且(0 4 3)A ，Bx 動點在線段上從點向點以每秒個單位的速度運動，設(shè)運30ABO PABAB3 動時間為 秒在軸上取兩點作等邊txMN，PMN （1）求直線的解析式；AB （2）求等邊的邊長（用 的代數(shù)式表示） ，并求出當?shù)冗叺捻旤c運PMNtPMNM 動到與原點重合時 的值；Ot （3）如果取的中點，以為邊在內(nèi)部作如圖 2 所示的矩形，OBDODRtAOBODCE

9、點在線段上設(shè)等邊和矩形重疊部分的面積為，請求出當CABPMNODCES 秒時與 的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值02tStS （圖 1） y AP MONBx （圖 2） y A C ODB x E . ；. 8、兩塊完全相同的直角三角板 ABC 和 DEF 如圖 1 所示放置，點 C、F 重合，且 BC、DF 在一條直線上，其中 AC=DF=4，BC=EF=3固定 RtABC 不動，讓 Rt DEF 沿 CB 向左平移，直到點 F 和點 B 重合為止設(shè) FC=x，兩個三角形重疊陰影 部分的面積為 y （1）如圖 2，求當 x=時，y 的值是多少？ 2 1 （2）如圖 3，當點 E 移動到 AB

10、上時，求 x、y 的值； （3）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； . ；. 9、 （重慶課改卷）如圖 1 所示，一張三角形紙片 ABC，ACB=90,AC=8,BC=6.沿斜邊 AB 的中線 CD 把這張紙片剪成和兩個三角形（如圖 2 所示）.將紙 11 AC D 22 BC D 片沿直線（AB）方向平移（點始終在同一直線上） ，當點 11 AC D 2 D B 12 ,A D D B 于點 B 重合時，停止平移.在平移過程中，與交于點 E,與 1 D 11 C D 2 BC 1 AC 分別交于點 F、P. 222 C DBC、 （1）當平移到如圖 3 所示的位置時，猜想圖中的與的數(shù)量關(guān)系，

11、并 11 AC D 1 D E 2 D F 證明你的猜想； （2）設(shè)平移距離為，與重疊部分面積為，請寫出與的 21 D Dx 11 AC D 22 BC Dyyx 函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍； （3）對于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的的值；使得重疊部分的面積等于原面xABC 積的？若不存在，請說明理由. 1 4 C BDA 圖 1 P E F AD1B C1 D2 C2 圖 3 C2 D2 C1 BD1A 圖 2 . ；. A CQB P 10、已知：如圖，ABC 是邊長 3cm 的等邊三角形，動點 P、Q 同時從 A、B 兩點出發(fā)，分別沿 AB、BC 方向勻速移 動，它們的速度都是 1c

12、m/s，當點 P 到達點 B 時，P、Q 兩 點停止運動設(shè)點 P 的運動時間為 t（s） ，解答下列問題： （1）當 t 為何值時，PBQ 是直角三角形? （2）設(shè)四邊形 APQC 的面積為 y（cm2） ，求 y 與 t 的 關(guān)系式；是否存在某一時刻 t，使四邊形 APQC 的面積是ABC 面積的三分之二？如果 存在，求出相應(yīng)的 t 值；不存在，說明理由； . ；. 三角形面積與函數(shù)解析式的幾種題型 一、利用面積求解析式一、利用面積求解析式 1、直線與坐標軸圍成的三角形的面積是 9,則=_.bxy 2b （分類討論） 2、已知直線 y=x+3 的圖象與 x 軸、y 軸分別交于 A、B 兩點，

13、直線經(jīng)過原點，與線段 AB 交于點 C，把,AOB 的面積分為 2：l 兩部分，求直線名的解析式 3、如圖,已知直線 PA：與軸交于 A,與軸交于 Q,另一條直線)0( nnxyxy 軸交于 B,與直線 PA 交于 Pxnmmxy與)(2 求: (1)A,B,Q,P 四點的坐標(用或表示)mn (2)若 AB=2,且S四邊形PQOB=,求兩個函數(shù)的解析式. 6 5 . ；. 4、已知直線與軸、軸分別交于點和點，另一條直線2xyxyAB 經(jīng)過點，且把分成兩部分bkxy)0(k)0 , 1 (CAOB （1）若被分成的兩部分面積相等，則和的值A(chǔ)OBkb （2）若被分成的兩部分面積比為 1：5，則和

14、的值A(chǔ)OBkb 5、已知一次函數(shù)的圖象與 y 軸、x 軸分別交于點 A、B，直線經(jīng) 3 3 2 yx ykxb 過 OA 上的三分之一點 D，且交 x 軸的負半軸于點 C，如果，求直線 AOBDOC SS 的解析式y(tǒng)kxb . ；. 二、利用解析式求面積二、利用解析式求面積 1、直線過點 A（1，5）和點且平行于直線，O 為坐標原bkxy)5,(mBxy 點，求的面積.AOB 2、 如圖，所示，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點，與軸交于bkxyABxC 求：（1）一次函數(shù)的解析式； （2）的面積AOC 3、已知:直線與直線,它們的交點 C 的坐標是_,設(shè)兩直線42 xy3 xy 與軸分別交于 A,B,

15、則 SABC=_,設(shè)兩直線與軸交于 P,Q,則xy SPCQ=_. 4、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(2,-1),則這兩個函數(shù)的4 11 xkyxky 22 圖象與軸圍成的三角形面積是_.x 5、已知，直線 y=2x+3 與直線 y=-2x-1. (1)求兩直線交點 C 的坐標; (2)求ABC 的面積. (3)在直線 BC 上能否找到點 P,使得SAPC=6，若能，請求出點 P 的坐標，若不能請說 . ；. 明理由。 6、如圖，直線 y-x+4 與 y 軸交于點 A，與直線 yx+交于點 B，且直線 3 4 5 4 5 4 yx+與 x 軸交于點 C，求ABC 的面積。 5 4 5 4

16、B A CO 7、已知直線 ykxb 經(jīng)過點A（0，6） ，且平行于直線 2yx . （1）求該函數(shù)的解析式，并畫出它的圖象； （2）如果這條直線經(jīng)過點P（m，2） ，求m的值； （3）若O為坐標原點，求直線OP解析式； （4）求直線 ykxb 和直線 OP 與坐標軸所圍成的圖形的面積。 3、關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系 1、已知點 A（x，y）在第一象限內(nèi)，且 x+y=10，點 B（4，0） ，OAB 的面積為 S. （1）求 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出 x 的取值范圍，并畫出函數(shù)的圖像； （2）OAB 的面積為 6 時，求 A 點的坐標； . ；. A F E o y x

17、2、如圖，直線與 x 軸、y 軸分別交于點 E、F，點 E 的坐標為（-8，0） ，點6ykx A 的坐標為（-6，0） 。 （1）求的值；k （2）若點 P（，）是第二象限內(nèi)的直線上的一個動點，在點 P 的運動過程中，試寫xy 出OPA 的面積 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x 的取值范圍； （3）探究：當點 P 運動到什么位置時，OPA 的面積為，并說明理由。 27 8 4、如圖(1),在矩形 ABCD 中,AB=10cm,BC=8cm,點 P 從 A 出發(fā), 沿 ABCD 路線運動, 到 D 停止;點 Q 從 D 出發(fā),沿 DCBA 路線運動,到 A 停止. 若點 P、點 Q

18、同時出發(fā), 點 P 的速度為 1cm/s,點 Q 的速度為 2cm/s,as 時點 P、點 Q 同時改變速度,點 P 的速度 變?yōu)?bcm/s,點 Q 的速度變?yōu)?dcm/s .圖(2)是點 P 出發(fā) x 秒后APD 的面積 S1(cm2)與 x(s)的函數(shù)關(guān)系圖象;圖(3)是點 Q 出發(fā) x 秒后AQD 的面積 S2(cm2)與 x(s)的函數(shù)關(guān) 系圖象. (1)參照圖(2),求 a、b 及圖(2)中 c 的值; (2)求 d 的值; (3)設(shè)點 P 離開點 A 的路程為 y1(cm),點 Q 到 A 還需走的路程為 y2(cm), 請分別寫出動 點 P、Q 改變速度后 y1、y2與出發(fā)后的運動時間 x(s)的函數(shù)關(guān)系式,并求出 P、Q 相遇時 x 的值; (4)當點 Q 出發(fā)_s 時,點 P、點 Q 在運動路線上相距的路程為 25cm. . ；. 4 2 -2 -4 -55 Q P O A (1) P Q C BA D x(秒) (2) 20 8 40 c a O S1(cm2) x(秒) (3) 22 40 O S2(cm2) 8如圖，直線l1過A（0，2） ，B（2，0）兩點，直線l2： ymxb 過點（1，0） ，且 把 AOB 分成兩部分，其中靠近原點的那部分是