解三角形實(shí)際應(yīng)用舉例 精選文檔

1、的應(yīng)用,解三角形問題是三角學(xué)的基本問題之一,什么是三角學(xué)？三角學(xué)來自希臘文“三角形,和“測(cè)量”。最初的理解是解三角形的計(jì)算,后來，三角學(xué)才被看作包括三角函數(shù)和解三角,形兩部分內(nèi)容的一門數(shù)學(xué)分學(xué)科,解三角形的方法在度量工件、測(cè)量距離和,高度及工程建筑等生產(chǎn)實(shí)際中，有廣泛的應(yīng)用,在物理學(xué)中，有關(guān)向量的計(jì)算也要用到解三角,形的方法,我國古代很早就有測(cè)量方面的知識(shí)，公元,一世紀(jì)的周髀算經(jīng)里，已有關(guān)于平面測(cè)量,的記載，公元三世紀(jì),我國數(shù)學(xué)家劉徽在計(jì),算圓內(nèi)接正六邊形、正十二邊形的邊長(zhǎng)時(shí)，就,已經(jīng)取得了某些特殊角的正弦,學(xué)習(xí)目標(biāo),1,會(huì)運(yùn)用解三角形的理論解決簡(jiǎn)單的實(shí),際應(yīng)用問題,2,培養(yǎng)將實(shí)際問題化歸為純

2、數(shù)學(xué)問題,的能力,復(fù)習(xí),1,請(qǐng)回答下列問題,1,解斜三角形的主要理論依據(jù),是什么,2,關(guān)于解斜三角形，你掌握了,哪幾種類型,復(fù)習(xí),2,下列解,ABC,問題,分別屬于那種類型？根,據(jù)哪個(gè)定理可以先求什么元素,第,4,小題,A,變更為,A=150,o,呢,_,余弦定理先求出,A,或先求,出,B,正弦定理先求出,b,正弦定理先求出,B(60,o,或,120,o,無解,1,a,2,b,c,3,2,b,1,c,A,105o,3,A,45o,B,60o,a,10,4,a,2,b,6,A,30o,2,3,6,3,3,_,_,_,_,余弦定理先求出,a,解斜三角形理論,在實(shí)際問題中的應(yīng)用,解應(yīng)用題中的幾個(gè)角的

3、概念,1,仰角、俯角的概念,在測(cè)量時(shí)，視線與水平線,所成的角中，視線在水平線,上方的角叫仰角，在水平線,下方的角叫做俯角。如圖,2,方向角,指北或指南,方向線與目標(biāo)方向線所成,的小于,90,的水平角，叫,方向角，如圖,例,1,海上有,A,B,兩個(gè)小島相距,10,海里，從,A,島望,C,島和,B,島成,60,的視角，從,B,島望,C,島和,A,島成,75,的視角，那么,B,島和,C,島間,的距離是,A,C,B,60,75,答,6,5,海里,基本概念和公式,解：應(yīng)用正弦定理,C=45,BC/sin60,10/sin45,BC=10sin60,sin45,基本概念和公式,練習(xí),1,如圖,一艘船以,3

4、2,海里,時(shí),的速度向正北航行,在,A,處看燈塔,S,在船的北偏東,20,0,30,分鐘后航行,到,B,處,在,B,處看燈塔,S,在船的北偏,東,65,0,方向上,求燈塔,S,和,B,處的距,離,保留到,0.1,解,AB=16,由正弦定理知,BS/sin20,AB/sin45,可求,BS=7.7,海里,2,為了開鑿隧道,要測(cè)量隧道口,D,E,間的距離,為,此在山的一側(cè)選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn),C,如圖,測(cè)得,CA=482m,CB=631.5m,ACB=56,0,18,又測(cè)得,A,B,兩點(diǎn)到隧道口的距離,AD=80.12m, BE=40.24m,A,D,E,B,在一直線上,計(jì)算隧道,DE,的長(zhǎng),A,B,C,

5、D,E,基本概念和公式,由余弦定理可解,AB,長(zhǎng)。進(jìn)而求,DE,解略,析,4,計(jì)算要認(rèn)真，準(zhǔn)確計(jì)算出答案,解斜三角形理論應(yīng)用于實(shí)際問題應(yīng)注意,1,認(rèn)真分析題意，弄清已知元素和未知元素,2,要明確題目中一些名詞、術(shù)語的意義。如,視角，仰角，俯角，方位角等等,3,動(dòng)手畫出示意圖，利用幾何圖形的性質(zhì),將已知和未知集中到一個(gè)三角形中解決,B,例,2,一艘漁船在我海域,遇險(xiǎn)，且最多只能堅(jiān)持,45,分鐘，我海軍艦艇,在,A,處獲悉后，立即測(cè),出該漁船在方位角為,45,o,距離為,10,海里的,C,處，并測(cè)得漁船以,9,海里,時(shí)的速度正沿方,位角為,105,o,的方向航,行，我海軍艦艇立即以,21,海里,時(shí)

6、的速度前去,營救。求出艦艇的航向,和趕上遇險(xiǎn)漁船所需的,最短時(shí)間，能否營救成,解三角形的應(yīng)用,N,N,45,o,105,o,10,海里,A,C,解三角形的應(yīng)用,解：設(shè)所需時(shí)間為,t,小時(shí)，在點(diǎn),B,處,相遇（如圖）在,ABC,中,ACB,120,AC = 10, AB = 21t, BC,9t,12,5,3,2,2,1,t,t,舍去,由正弦定理,14,3,3,3,2,21,2,3,3,2,9,sin,sin,120,sin,CAB,CAB,BC,AB,22,14,3,3,arcsin,CAB,由余弦定理,21t,2,10,2,9t,2,2,10,9t,cos120,整理得,36t,2,9t,1

7、0 = 0,解得,航向?yàn)楸?45,o,22,o,67,o,時(shí)間,40,分鐘能營救成功,例,2,一艘漁船在我海域,遇險(xiǎn)，且最多只能堅(jiān)持,45,分鐘，我海軍艦艇,在,A,處獲悉后，立即測(cè),出該漁船在方位角為,45,o,距離為,10,海里的,C,處，并測(cè)得漁船以,9,海里,時(shí)的速度正沿方,位角為,105,o,的方向航,行，我海軍艦艇立即以,21,海里,時(shí)的速度前去,營救。求出艦艇的航向,和趕上遇險(xiǎn)漁船所需的,最短時(shí)間，能否營救成,120,解三角形的應(yīng)用,練習(xí),1,我艦在敵島,A,南,50,西相距,12,海里,B,處,發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北,10,西的方向以,10,海里,時(shí)的,速度航行，我艦要用,2,小時(shí)

8、追上敵艦，則需要的,速度大小為,A,南,50,B,10,C,分析,2,小時(shí)敵艦航行距離,AC=20,由,AB=12,BAC=120,余弦定理可解我艦航行距離,BC,略,解三角形的應(yīng)用,實(shí)地測(cè)量舉例,想一想,如何測(cè)定河兩岸兩點(diǎn),A,B,間的距離,A,B,解三角形的應(yīng)用,實(shí)地測(cè)量舉例,想一想,如何測(cè)定河兩岸兩點(diǎn),A,B,間的距離,A,B,C,解三角形的應(yīng)用,實(shí)地測(cè)量舉例,想一想,如何測(cè)定河兩岸兩點(diǎn),A,B,間的距離,A,B,C,A,B,C,a,簡(jiǎn)解：由正弦定理可,得,AB/sin,BC/sinA,a/sin(,a,例,1,設(shè),A,B,兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離,測(cè)量者在,A,的同測(cè)，在所

9、在的河岸邊選定一點(diǎn),C,測(cè)出,AC,的距離是,55cm,BAC,51,o,ACB,75,o,求,A,B,兩點(diǎn)間的距離（精確到,0.1m,分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形,B,AC,C,AB,sin,sin,解三角形的應(yīng)用,實(shí)地測(cè)量舉例,例,3,如何測(cè)定河對(duì)岸兩點(diǎn),A,B,間的距離？如圖在河這邊取一點(diǎn),構(gòu)造三角形,ABC,能否求出,AB,為什么,A,B,C,解三角形的應(yīng)用,實(shí)地測(cè)量舉例,例,3,為了測(cè)定河對(duì)岸兩點(diǎn),A,B,間的距離，在岸邊選定,1,公里長(zhǎng),的基線,CD,并測(cè)得,ACD,90,o,BCD,60,o,BDC,75,o,ADC,30,o,求,A,B,兩點(diǎn)的距離,A,B,C,D

10、,A,B,C,D,分析：在四邊形,ABCD,中欲求,AB,長(zhǎng)，只能去解三,角形，與,AB,聯(lián)系的三角形有,ABC,和,ABD,利,用其一可求,AB,ACD,90,o,BCD,60,o,BDC,75,o,ADC,30,o,略解,Rt,ACD,中,AD=1/cos30,o,BCD,中,1/sin45=BD/sin60,可求,BD,由余弦定理在,ABD,中可求,AB,913,0,6,30,AB,練習(xí),1,海中有島,A,已知,A,島周圍,8,海里內(nèi)有,暗礁，今有一貨輪由西向東航行，望見,A,島,在北,75,東，航行,20,海里后，見此島在北,30,東，如貨輪不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，問有無,觸礁危險(xiǎn),2,A

11、,B,C,M,北,北,2,20,解法一,在,ABC,中,ACB=120,BAC=45,由正弦,定理得,45,si,n,120,si,n,BC,AB,A,B,C,M,北,北,2,20,無觸礁危險(xiǎn),3,20,由,BC=20,可求,AB,得,AM,8.978,2,6,5,2,15,0,15,sin,AB,解法二,在,Rt,ABM,中,AM/BM=tan15,在,Rt,ACM,中,AM/CM=tan60,BM= AM/ tan15,CM= AM/ tan60,2,由,BC=BM-CM=20,可解出,AM,8.978,6,5,2,15,A,B,C,M,北,北,2,20,無觸礁危險(xiǎn),1,審題（分析題意，弄

12、清已知和所求,根據(jù)提意，畫出示意圖,2,建模（將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形,的數(shù)學(xué)問題,3,求模（正確運(yùn)用正、余弦定理求解,4,還原,小結(jié)：求解三角形應(yīng)用題的一般步驟,如圖，要測(cè)底部不能到達(dá)的煙囪的,高,AB,從與煙囪底部在同一水平直,線上的,C,D,兩處，測(cè)得煙囪的仰角,分別是,35,12和,49,28,CD,間的距離是,11.12m,已知測(cè)角儀器,高,1.52m,求煙囪的高,2,1,35,0,8,2,49,0,m,12,11,m,52,1,試,試,看,m,12,11,2,1,35,0,8,2,49,0,m,52,1,B,1,A,A,1,C,1,D,D,C,2,1,35,0,8,2,49,0,m,52,1,m,12,11,B,A,1,求,2,1,35,0,1,1,1,1,D,B,C,D,B,C,已,知,中,在,B,1,A,A,1,C,1,D,D,C,2,1,35,0,8,2,49,0,m,52,1,m,12,11,B,A,1,求,解,2