《線性代數(shù)》第6章習(xí)題解答

1、1. 2. 已知向量空間的一個基為1=（1 1 0）T，2=（1 0 1）T，3=（0 1 1 ）T，試求=（2 0 0）T在上述基下的坐標(biāo)。解. 設(shè)= ， = -1=所以 =-1=2驗證1=（1 -1 0）T，2=（2 1 3）T，3=（3 1 2 ）T為R3的一個基，并把=（5 0 7）T，=（-9 -8 -13）T用這個基線性表示。解.設(shè)=， = = -6 0所以1，2，3為R3的一個基。設(shè)=，=由=得=21+32-3 ，又有=得=31-32-23 。3.下列n階方陣的集合，關(guān)于矩陣的加法和數(shù)乘矩陣兩種運算是否構(gòu)成線性空間？（1） n階對稱矩陣全體所成之集合S；（2） n階可逆矩陣全體所

2、成之集合R；（3） 主對角線上各元素之和等于零的n階矩陣全體所成之集合T。解.（1）S構(gòu)成線性空間。因為A，B，CS，R ， A+BS， AS且滿足 1.A+B=B+A 2（A+B）+C=A+（B+C） 3 零元素為0，滿足0+A=A 4負(fù)元素為-A，使A+（-A）=0 51A=A 6（A）=（）A 7（A+B）=A+B 8（+）A=A+A （2）R不構(gòu)成線性空間，因為若AR，但0A=O不可逆，即R關(guān)于數(shù)乘法不封閉。 （3）T構(gòu)成線性空間，因為T關(guān)于加法和數(shù)乘法封閉，并且滿足8性質(zhì)。4下列集合對指定的運算是否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間？（1） 設(shè)0是n階方陣A的特征值，A對應(yīng)于0的特征向量所成之集

3、合，關(guān)于向量的加法和數(shù)乘向量兩種運算；（2） 微分方程的全體解所成之集合，關(guān)于函數(shù)相加和數(shù)乘函數(shù)兩種運算；（3） 微分方程的全體解所成之集合，關(guān)于函數(shù)相加和數(shù)乘函數(shù)兩種運算；（4） R3中與向量（0，0，1）T不平行的全體向量所成之集合，關(guān)于R3中向量的線性運算。解. （1）不構(gòu)成線性空間，因為此集合不含零向量；（2）構(gòu)成線性空間，由齊次線性微分方程解的性質(zhì)得證；（3）不構(gòu)成線性空間，由非齊次線性微分方程解的性質(zhì)得證； （4）不構(gòu)成線性空間，關(guān)于向量的加法和數(shù)乘向量兩種運算不封閉。5檢驗以下集合對于所給的運算是否是實數(shù)域R上的線性空間。令S=（a，b）|a，bR，對于運算： （a，b）（c，d

4、）=（a+c，b+d+ac） k（a，b）=（ka，kb+） 解。顯然集合S對于上述兩種運算是封閉的，并且加法運算顯然滿足交換律，結(jié)合律，零元素為（0，0），對于任意元素（a，b）的負(fù)元素為（-a，-b+a2）。對于數(shù)乘的4條運算規(guī)律易驗證也成立。所以S構(gòu)成一個線性空間。6求實數(shù)域R上的全體2階對稱（反對稱，上三角，下三角）矩陣所成的線性空間的一個基和維數(shù)。解.全體2階對稱矩陣的線性空間的一組基為 ， 其維數(shù)為3；全體2階反對稱矩陣的線性空間的一組基為 其維數(shù)為1；全體2階上三角矩陣的線性空間的一組基為 ， 其維數(shù)為3；全體2階下三角矩陣的線性空間的一組基為 ， 其維數(shù)為3。7設(shè)A=，求線性空

5、間S（B）=BM33|AB=0的一個基和維數(shù)。解.設(shè)B=（bij）則AB=0時，B=，所以S的一個基為，其維數(shù)為3。8 在R3中，求向量=（3，7，1）T關(guān)于基1=（1，3，5）T，2=（6，3，2）T，3=（3，1，0）T的坐標(biāo)解.設(shè)=，=所以 = 。9在所有實對稱二階方陣所成的線性空間S2中，求它的一個基，并寫出矩陣 關(guān)于這個基的坐標(biāo)。解.S2的一個基為，則矩陣在這個基的坐標(biāo)為（3，-2。1）T 。10已知四維線性空間中的兩個基為1，2，3，4，和1，2，3，4，且 1=1+ 2 +4 1=21+2+33+4 1=1+ 2 1= 2-3-4求4關(guān)于基1，2，3，4的坐標(biāo)。解.由已知（123

6、4）=（1234），知（1234）=（1234） =（1234）所以4=（1234）=（1234）=即4在基1234的坐標(biāo)為 。11已知R3中的兩個基為1=（1，1，1）T，2=（0，1，1）T，3=（0，0，1）T；1=（1。0。1）T，2=（1，1，0）T，3（0，1，1）T，求向量=21+ 42關(guān)于基1，2，3的坐標(biāo)。 解.已知（123）=（123），（123）=（123） 則=（123）=（123） =（123）=（123） =（123） 。12在R4中取兩個基，一個為標(biāo)準(zhǔn)基1，2，3，4，另一個為1=（2，1，-1，1）T，2=（0，3，1，0）T，3=（5，3，2，1）T，4=（6

7、，6，1，3）T。（1） 求由基1，2，3，4到基1，2，3，4的過渡矩陣；（2） 求向量=（x1，x2，x3，x4）T關(guān)于基1，2，3，4的坐標(biāo)（3） 求在這兩個基下有相坐標(biāo)的向量；解.（1）（1234）=(1234)所以由基1，2，3，4到基1，2，3，4的過渡矩陣為。（2）向量=（x1，x2，x3，x4）T關(guān)于基1，2，3，4的坐標(biāo)為=。（4） =（1234）=(1234) =，即 =得在這兩個基下有相坐標(biāo)的向量為（1，1，1，-1）T 。13設(shè)N是齊次線性方程組 =的解空間，求解空間的維數(shù)和它的一個基。解: 所以解空間的維數(shù)為1，它的一個基為（-3，1，2，1）。14.在線性空間R3x

8、中（1） 證明 1+x，1+x2，x+x3，x3是R3x的一個基；（2） 求由基1，x，x2，x3到基1+x，1+x2，x+x3，x3的過渡矩陣；（3） 求3+2x+x2關(guān)于基1+x，1+x2，x+x3，x3的坐標(biāo)。解.（1）已知R3x的維數(shù)為4。并且1+x，1+x2，x+x3，x3線性無關(guān)，因為若有實數(shù)k1，k2，k3，k4使 k1（1+x）+k2（1+x2）+k3（x+x3）+k4 x3=0即 （k1+k2）+（k1+k3）x+k2x2+（k3+k4）x3=0則必有k1=k2=k3=k4=0 。所以1+x，1+x2，x+x3，x3是R3x的一個基；（2）（1+x，1+x2，x+x3，x3）

9、=（1，x，x2，x3）由基1，x，x2，x3到基1+x，1+x2，x+x3，x3的過渡矩陣為(3)3+2x+x2=（1，x，x2，x3）=（1+x，1+x2，x+x3，x3） =（1+x，1+x2，x+x3，x3）=（1+x，1+x2，x+x3，x3）所以3+2x+x2關(guān)于基1+x，1+x2，x+x3，x3的坐標(biāo)為（2，1，0，0）T 。15Rn中分量滿足下列條件的全體向量是否組成Rn的子空間？（1） x1+x2+xn=0；（2） x1+x2+xn=1；（3） x1=0 。 解:（1）記V1=x=（x1，xn），x1，xnR，滿足x1+xn=0，=（a1，an），=（b1，bn ）則（a1+

10、bB）+（an+bN）=0 即+V1a1+an=0 即V1亦即 V1對向量加法和向量數(shù)乘法封閉。所以V1是Rn的子空間， （2）記V2=x=（x1，xn），x1，xnR，滿足x1+xn=1，=（a1，an），=（b1，bn ）則（a1+bB）+（an+bN）=2 即+V2亦即 V1對向量加法不封閉。所以V2不是Rn的子空間。 （3）記V3=x=（x1，xn），x1，xnR，滿足x1=0，可以證明V3對向量加法和向量數(shù)乘法封閉。所以V3是Rn的子空間。16設(shè)AMn （1）證明：與A可交換的n階方陣的全體組成Mn的一個子空間，記此子空間為C（A）；（2）給定對角矩陣A=，求C（A）的維數(shù)和一組基。

11、證:（1）. ，則BA=AB，DA=AD。于是: （B+D）A=BA+DA=AB+AD=A（B+D） （B）A=(BA)=(AB)=A(B)即B+D，BC（A），所以C（A）是一個子空間。解（2）.設(shè)B=（bij），由AB=BA，得bij=0，ij，i，j=1，2，n。所以C（A）的維數(shù)為n，一組基為Eii，i = 1,2,n 。17在R4中，求由向量組 1=（1，1，0，0）T，2=（1，0，1，0）T，3=（0，0，0，1）T，所生成的子空間的一個基和維數(shù)。解.因為1，2，3線性無關(guān)，所以L（123）的維數(shù)為3，一個基為123。18.求由下列向量12所生成的子空間與由1，2生成的子空間的交

12、與和的維數(shù)和一個基。（1）1=（1，2，1，0）T，2=（-1，1，1，1）T， 1=（2，-1，0，1）T，2=（1，-1，3，7）T， （2）1=（1，1，0，0）T，2=（1，0，1，1）T， 1=（0，0，1，1）T，2=（0，1，1，0）T 。 解（1） （1212）= 所以L（12）+L（12）=L（1212）的維數(shù)為3，一個基為:121 。因為 dim L（12）=dim L（12）=2，由維數(shù)定理知 dim L（12）L（12）=1又因為 1-42-31+2=0，得:1-42=31-2L（12）L（12），所以L（12）L（12）的一個基為1-42=（5，-2，-3，-4）T

13、。（2）（1212）= 所以L（12）+L（12）=L（1212）的維數(shù)為4，一個基為:1212。因為 dim L（12）=dim L（12）=2，由維數(shù)定理知 dim L（12）L（12）=0所以L（12）L（12）是零子空間。19設(shè)V1與V2分別是齊次線性方程組x1+x2+xn=0與x1=x2=xn的解空間，證明Rn=V1V2。證.V1的一個基為，V2的一個基為，所以V1V2的一個基為1，2，n-1，n。故Rn=V1V2 。20設(shè)V是n維線性空間，V1與V2是V的兩個子空間，并且dim（V1+V2）=dim（V1V2）+1 。證明（V1V2）也是V的子空間。證.由已知條件及維數(shù)定理知V1和

14、V2中有一個是零子空間，不妨設(shè)V1為零子空間，則（V1V2）=V2，顯然也是V的子空間。21下列變換中哪些是線性變換？(1) 在Mn中，對每個AMn，規(guī)定T（A）=PAQ。其中P，Q是兩個固定的n階方陣：(2) 在R3中，規(guī)定T（x1，x2，x3）T）=（x12，x1+x2，x3）T；(3) 在R2中，規(guī)定T（x1，x2）T）=（x2，-x1）T；(4) 在Ca，b中，規(guī)定T（f（x）=。解（1）任意A，BMn，任意R，有T（A+B）=P（A+B）Q=PAQ+PBQ=T（A）+T（B），T（A）=P（A）Q=PAQ=T(A),所以T是線性變換；（2）設(shè)X=（x1，x2，x3）T，Y=（y1，y

15、2，y3）T， T（X+Y）=（x1+y2）2，x1+y1+ x2+y2，x3+y3）T而 T（X）+T（Y）=（x12+y12，x1+ x2+ y1+y2，x3+y3）T，顯然T（X+Y） T（X）+T（Y），所以T不是線性變換；（3）設(shè)X=（x1，x2）T，Y=（y1，y2）T，則T（X+Y）=（x2+ y2，-x1-y1）T=（x2，-x1）T+（y2，-y1）T=T（X）+T（Y），T（X）=（x2，-x1）T=（x2，-x1）T=T（X）所以T是線性變換；（4） f（x），g（x）Ca，b，則T（f+g）=T（f）+T（g），T（f）=T（f）所以T是線性變換 。22說明xoy平面上

16、變換T=A的幾何意義，其中（1）A=； （2）A=；（3）A=； （4）A=；解（1）T=A=此變換關(guān)于y軸對稱；（2）投影到y(tǒng)軸上；（3）關(guān)于直線y=x對稱；（4）順時針方向旋轉(zhuǎn)90 。23在R3中，定義T（x，y，z）T）=（x+y，x-y，z）T，（1） 求T在標(biāo)準(zhǔn)基123下的矩陣；（2） 求T在基1=（1，0，0）T，2=（1，1，0）T，3=（1，1，1）T下的矩陣。解（1）T（123）=（123）; (2) (123)=（123）則T(123)=（123）=(123) =(123) =(123)24在Pnx中，定義T（P（x）=，求T在下列兩個基下的矩陣。（1）1，x，x2，xn；

17、（2）1，x-x0，。解（1）T（1，x，x2，xn）=（1，x，x2，xn）（2）T（1，x-x0，）25設(shè)線性變換T在基123下的矩陣為A=，求T在123下的矩陣，其中 。解 T(123)=( 123), (123) =( 123),T (123) =T( 123)= ( 123) = (123) = (123) =(123) .26.在二階實對稱方陣所組成的空間S2中，取一個基 A1=，A2=，A3=，對任一AS2，定義T（A）=A，證明T是S2中的線性變換，并求T在基 A1，A2，A3下的矩陣。解.顯然T（A）S2，由習(xí)題21（1）知T是S2中的線性變換。T（A1）=， T（A2）=，

18、 T（A3）=，所以T（A1，A2，A3）=（A1，A2，A3）。27在二階方陣所組成的線性空間M2中，取一個基 E1=，E2=，E3=，E4=，對任一AM2，定義T（A）=A，（1） 證明T是M2中的一個線性變換； （2）求T在基 E1，E2，E3，E4下的矩陣；（3）求經(jīng)變換T后矩陣的象。 解（1）顯然T（A）M2，并且T（A+B）=T（A）+T（B），T（A）=T（A），所以T是M2中的一個線性變換；（2） T（E1，E2，E3，E4）=（E1，E2，E3，E4）；（3） T=28在M2中，定義T（A）=A*，其中A*是A的伴隨矩陣。證明T是M2的一個線性變換。試自選M2的一個基，并求T

19、在這個基下的矩陣。證 記A=，B=，A+B=則T（A+B）=A*+B*=+ = A*+B*=T（A）+T（B）T（A）=（A）*=（A*）=T（A），所以T是M2中的一個線性變換；取M2的一個基為 E1=，E2=，E3=，E4=，則T（E1，E2，E3，E4）=（E1*，E2*，E3*，E4*）=（E1，E2，E3，E4）29函數(shù)集合V3=，對于函數(shù)的線性運算構(gòu)成二維線性空間，在V3中取一個基1=x2ex，2=xex，3=ex，求微分變換D在這個基下的矩陣。解.D1=x2ex+2xex， D2=xex+ex， D3=ex，則 D（123）=（123）。30設(shè)W是線性空間V的子空間，證明若W與V

20、的維數(shù)相等，則W=V。證.設(shè)dimW=n，W的基為1，2，n，因為WV，且dimV=dimW=n，則1，2，n也是V的一個基，它們有共同的基，則W=V 。31設(shè)V是n維線性空間，W是V的一個子空間，1，2，r是W的一個基。證明V中存在向量r+1，n，使1，r，r+1，n成為V的一個基。證.若rn，1，2，r是W的一個基，則必有一個向量r+1V， 但不能由1，2，r線性表示，否則與dimV=n矛盾。可以證明1，r，r+1線性無關(guān)。依次類推，可在V中尋找到r+2，n使1，r，r+1，n線性無關(guān)。由此將W的基1，r擴張到V的一個基1，r，r+1，n，命題得證。32設(shè)V是一個線性空間，M，N是V的一個

21、子空間，且V=MN。對任一V，有唯一分解式=1+2（1M，2N），定義T（）=1。（1） 證明T是一個線性變換，稱為對子空間M關(guān)于直和V=MN的投影變換。（2） 記T2=T（T），證明投影變換具有等冪性，即T2=T 。（3） 證明投影變換T在V中任一基下的矩陣也具有等冪性。證（1）對任意，V，任意R，有唯一分解式=1+2，=1+2（1，1M，2，2N），且+=（1+1）+（2+2），（1+1M ，2+2N），則 T（+）=1+1= T（）+ T（） T（）=1=T（）所以T是一個線性變換。（2） 設(shè)=1+2 （1M，2N），注意到1=1+0（1M，0N），則 T（）=1，而 T2=T（T）=T（1）=T