中考數(shù)學(xué)猜想性習(xí)題的解題策略

1、中考數(shù)學(xué)猜想性習(xí)題的解題策略 上海市平樂中學(xué) 莊士忠 初中數(shù)學(xué)新教材，有許多新的教學(xué)理念和思維方法，而猜想法就是其中一個(gè)突出亮點(diǎn)，它滲透在許多新的數(shù)學(xué)體例之中，猜想是對研究的問題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等，依據(jù)已有的材料和知識作出符合一定的推測性想象的思維方法?，F(xiàn)在結(jié)合一些具體例子，就如何解決猜想新題型的若干策略予以歸納總結(jié)。一、探索性猜想是指依據(jù)已有的知識和結(jié)果，經(jīng)嘗試探索而獲得對于待解決問題向結(jié)果靠近的方向性猜想。例1 過等腰ABC底邊BC和BC延長線上一點(diǎn)P向兩條腰做垂線段PE、PF，CM為AB腰上的高，如圖1與圖2，通過測量并計(jì)算PE、PF的和與差，再與CM比較大小

2、。（1）觀察和與差的變化情況，能得出什么結(jié)論？（2）當(dāng)P在直線BC上移動(dòng)其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？分析與點(diǎn)評：通過學(xué)生親手實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)和與差都與腰上的高相等，再讓學(xué)生多次嘗試，由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，再探索出它們的結(jié)論是一致的。這樣，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嘗試、觀察、猜想，再進(jìn)行變換創(chuàng)新，激發(fā)學(xué)生的探索熱情和創(chuàng)造思維。對應(yīng)訓(xùn)練 ： 任意畫一個(gè)四邊形ABCD，各邊中點(diǎn)為E、F、G、H，連接EF、CH、HE，如圖3（1）分別量出EF、FG、GH、HE的長，你發(fā)現(xiàn)什么？（2）分別量出1，2，3，4的度數(shù)，你又發(fā)現(xiàn)什么？（再畫幾個(gè)四邊形試試，你能得到什么猜想？）二、歸納性猜想是指運(yùn)用不完全歸納法對研究的問題個(gè)例、特例

3、進(jìn)行觀察、分析，從中得到有關(guān)命題的形式、結(jié)論或方法的猜想。例2 計(jì)算3的正整數(shù)次冪：歸納各計(jì)算結(jié)果中的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，可得的個(gè)位數(shù)字為多少？分析與點(diǎn)評：通過計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)3的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)字有每4次一個(gè)循環(huán)的規(guī)律，并且，因此的個(gè)位數(shù)字為7。本例以舊引新，從具體到抽象，從單一到開放，使學(xué)生在體驗(yàn)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中理解和掌握猜想的數(shù)學(xué)思想。對應(yīng)訓(xùn)練 觀察等式并填空：_想一想，等式左邊各項(xiàng)冪的底數(shù)與右邊冪的底數(shù)有什么關(guān)系？猜一猜，可以引出什么規(guī)律，并按此規(guī)律計(jì)算：_三、類比性猜想是指運(yùn)用類比方法，通過比較兩個(gè)問題的共同性，得出新命題或新方法的猜想。例3 在計(jì)算的值時(shí)，可設(shè)則得2S=310

4、11試?yán)蒙鲜龇椒ㄇ蟮闹挡⑶笠话愕氐闹捣治雠c點(diǎn)評：從計(jì)算結(jié)果中不難發(fā)現(xiàn)，所求得的和等于數(shù)列中末項(xiàng)與首項(xiàng)的差的一半，因此，需求的結(jié)果分別為和。本例運(yùn)用類比方法，能激發(fā)學(xué)生參與研究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的興趣。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開拓新領(lǐng)域和創(chuàng)造新分支的重要方法。對應(yīng)訓(xùn)練 計(jì)算77789999+33336666解：原式=77789999+99992222=9999（7778+2222）=999910000=仿照上面的方法計(jì)算：（1）9999922222+3333333334（2）20022001四、試驗(yàn)性猜想是指用試驗(yàn)法研究問題，每次試驗(yàn)都能給人們提供一種信息，進(jìn)而得

5、出相應(yīng)的猜想。例4 已知試猜想確定（n為正整數(shù)）的個(gè)位數(shù)字。分析與點(diǎn)評：顯然x0，故有，特殊地當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)n=3時(shí)，據(jù)此，可作猜想：對于任意正整數(shù)n，的個(gè)位數(shù)字可能都是7。試驗(yàn)法體現(xiàn)了從特殊到一般，再從一般到特殊的重要數(shù)學(xué)思想，這有利于學(xué)生養(yǎng)成從特殊事例引發(fā)一般規(guī)律的思想方法。對應(yīng)訓(xùn)練 已知：abc0且a+b+c=0，則代數(shù)式的值是定值，還是不定值？如果是定值請求出。（2004年第二十一屆全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題改編）提示：特取符合條件的值如a=1，b=1，c=2代入試驗(yàn)，即可猜想它是定值且為2。五、構(gòu)造性猜想是指依據(jù)數(shù)學(xué)問題的相似“模式”，利用模型構(gòu)造法作出相應(yīng)數(shù)學(xué)規(guī)律或方法的猜想。例5 觀察下列等式你能發(fā)現(xiàn)上述展開式有什么規(guī)律？能寫出的展開式嗎？分析與點(diǎn)評：如果只靠想象，很難發(fā)現(xiàn)展開式各項(xiàng)之間存在什么規(guī)律，但是通過將展開式的系數(shù)構(gòu)造成一個(gè)模型，如圖4，就不難發(fā)現(xiàn)它們的系數(shù)有內(nèi)在聯(lián)系，即從2起每個(gè)數(shù)都為它上面兩數(shù)之和，因此就不難寫出的展開式了。本例通過巧妙構(gòu)造模型，喚起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和興趣，繼而探索數(shù)學(xué)的奧秘，同時(shí)也使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的對稱美、諧和美。解題中應(yīng)用模型思想有利于培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生整體處理和創(chuàng)造性處理問題的能力。對應(yīng)訓(xùn)練 通過構(gòu)造一個(gè)模型并利用模型特征性計(jì)算下式：提示：把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為的長方形，再把其中