2012-5-4-6.2-正規(guī),正則,T3,T4空間.ppt

1、定義 6.1.1 X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g, 如果對(duì)于X中任意兩個(gè)不同的點(diǎn)中必有一個(gè)點(diǎn)有一個(gè)開(kāi)鄰域不包含另 一點(diǎn),則稱(chēng)拓?fù)淇臻gX 是一個(gè)T0空間,x,y,U,V,T0 空 間,定理6.1.1 拓?fù)淇臻gX是一個(gè)T0空間當(dāng)且僅當(dāng)若xy,則,定義6.1.2 X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g,若X中任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)都有一個(gè)開(kāi)鄰域不包含另一點(diǎn)，則稱(chēng)拓?fù)淇臻gX是一個(gè)T1空間,x,y,U,V,T1 空 間,定理6.1.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，則下列條件等價(jià)： （1）X是一個(gè)T1空間； （2）X中每一個(gè)單點(diǎn)集都是閉集; （3）X中每一個(gè)有限子集都是閉集,Next th,定理6.1.3 設(shè)X是一個(gè)T1空間,則點(diǎn) 是X的子集A的一

2、個(gè)凝聚點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x的每一個(gè)鄰域U中都含有A中的無(wú)限多個(gè)點(diǎn)， 即 是一個(gè)無(wú)限集,定理6.1.4 設(shè)X是一個(gè)T1空間,則X中的一個(gè)由有限個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的序列xi收斂于點(diǎn)x當(dāng)且僅當(dāng)存在N0使得xi=x對(duì)于任意iN成立,定義6.1.3 X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g,若X中任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)都各自有一個(gè)開(kāi)鄰域使得這兩個(gè)開(kāi)鄰域互不相交，則稱(chēng)X是一個(gè)Hausdorff空間，或T2空間,x,y,U,V,T2 空 間,例6.1.1 非Hausdorff的T1空間的例子,定理6.1.5 Hausdorff空間中的任何一個(gè)收斂序列只有一個(gè)極限點(diǎn),6.2 正則，正規(guī)，T3 ,T4空間,定義6.2.1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g， . 若 ，

3、則稱(chēng)U是集合A的一個(gè)鄰域. 特別的，若U還是一個(gè)開(kāi)集（閉集），則稱(chēng)U是A的一個(gè)開(kāi)（閉）鄰域,換言之,繼續(xù),也可以換一個(gè)說(shuō)法,若存在一個(gè)開(kāi)集V滿(mǎn)足: 則稱(chēng)U是A的一個(gè)鄰域,定義6.2.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇?間，若X中的任何一個(gè)點(diǎn)x和任何 一 個(gè)不包含x的閉集A都各有一個(gè) 開(kāi)鄰域U,V，使 得 ， 則稱(chēng)X是一個(gè),x,A,U,V,定理6.2.1 是一個(gè)拓?fù)淇臻g,則 是一個(gè)正則空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任 何點(diǎn) 和 的任意一個(gè)鄰域U,存在一個(gè) 的開(kāi)鄰域V使得,x,U,V,充分性 對(duì)任意的xX和不包含x的任意閉集A,則 是x的一個(gè)開(kāi)鄰域, 故有x的開(kāi)鄰域U 使得 , 令 ,則有 ,所以V是A的一個(gè)開(kāi)鄰域,并且有

4、,這說(shuō)明X是一個(gè)正則空間,圖,繼續(xù),x,A,U,定義6.2.3 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,若X中任意兩個(gè)互不相交的閉集A、B都各有一個(gè)開(kāi)鄰域U、V，滿(mǎn)足 則稱(chēng)拓?fù)淇臻gX 是一個(gè)正規(guī)空間,A,B,U,V,定理6.2.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.則X是一個(gè)正規(guī)空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任何一個(gè)閉集 和A的任何一個(gè)開(kāi)鄰域U，存在A的一個(gè)開(kāi)鄰域V，使得,正則且正規(guī)的空間 但非T0,T1,T2空間的例子,設(shè)X1,2,3 , T,T2空間但非正則、 非正規(guī)空間的例子,記 T 為實(shí)數(shù)空間的通常拓?fù)?設(shè) , 則T1是R的一個(gè)拓?fù)?繼續(xù),繼續(xù),R,T1)是一個(gè)Hausdorff空間; (R,T1)不是一個(gè)正則空間; (R,T1)不是一個(gè)正規(guī)空間,繼續(xù),證明,1) K是T1中的閉集; (2) 0和K在T1中沒(méi)有互不相交的 開(kāi)鄰域,因而(R,T1)不是正則空間; (3) 0也是T1中的閉集,由(2)知(R,T1) 也不是正規(guī)空間,返回,易知它是正規(guī)空間； 但它不是正則空間，這是因?yàn)樵谕負(fù)淇臻g中1和2，3，沒(méi)有它們各自的開(kāi)鄰域互不相交,定義6.2.4 正則的T1空間稱(chēng)為T(mén)3空間,正規(guī)的T1空間稱(chēng)為T(mén)4空間. 注: 定理6.2.3 每一個(gè)度量空間都是T4空間,證明:易知度量空間是Hausdorff空間，因而是T1