圖形在數(shù)學(xué)中的作用

1、圖形在數(shù)學(xué)中的作用 姓 名：羅艾專業(yè)班級(jí)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 09級(jí)本科2班 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)教師：樊藝 中文摘要：數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，“數(shù)”與“形”是事物的兩個(gè)方面，華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)事難入微.”這就說明“數(shù)”與“形”有著十分密切的聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，使數(shù)量關(guān)系的精細(xì)刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起.充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易，化繁為簡，從而解決問題.在數(shù)形結(jié)合的使用過程中，由“形” 到 “數(shù)” 的轉(zhuǎn)化，往往是比較明顯，而由“數(shù)”到 “形” 的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識(shí)，因此

2、，數(shù)形結(jié)合的思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到 “形” 的轉(zhuǎn)化.于是在這里就由“數(shù)”到 “形” 的轉(zhuǎn)化（即圖形在數(shù)學(xué)中的作用）這一方面加以學(xué)習(xí)研究。圖形常用于解方程、解不等式、求函數(shù)值域、解復(fù)數(shù)和三角問題中，還有就是幫助記憶數(shù)學(xué)知識(shí)。充分發(fā)揮形的形象性、直觀性、數(shù)的深刻性、精確性，彌補(bǔ)形的表面性，數(shù)的抽象性，從而起到優(yōu)化解題途徑的作用。 英文摘要： 關(guān) 鍵 詞：圖形 記憶 形象 直觀 簡化 目錄圖形。1 圖形與數(shù)的關(guān)系。3圖形對(duì)于數(shù)學(xué)記憶的作用。5圖形對(duì)于數(shù)學(xué)理解的作用。7幾種用圖形解數(shù)學(xué)的例子。9正文（含引言研究設(shè)計(jì)方法、內(nèi)容、結(jié)果分析、討論等） 圖形不僅是幾何題目的對(duì)象，而且對(duì)任何一開始跟幾何

3、沒什么關(guān)系的題目，圖形也是一個(gè)重要的幫手。那么我們下面兩個(gè)很好的理由來考慮圖形在解題中的作用。 1、如果我們的題目是一道幾何題，我們就必須考慮一個(gè)圖形。這個(gè)圖形也許存在我們的想象中，也許畫在紙上。在某些情況下，想象一下這個(gè)圖而不把它畫出來也許更令我們稱心，但是如果我們必須一個(gè)接一個(gè)地研究各方面的細(xì)節(jié)，那么此時(shí)可取的做法就是畫一張圖。如果有很多細(xì)節(jié)，我們不可能想象所有的細(xì)節(jié)，但它們卻能一起畫在紙上。在我們想象中描繪出來的一個(gè)細(xì)節(jié)可能會(huì)被遺忘，但畫在紙上的細(xì)節(jié)會(huì)保存下來，而且當(dāng)我們?cè)诳催@個(gè)圖時(shí)，它使我們想起以前的見解，在回憶以前的考慮時(shí)，它會(huì)省去我們很多麻煩。 數(shù)形結(jié)合思想 由于新教材新大綱把常見

4、的數(shù)學(xué)思想納入基礎(chǔ)知識(shí)的范疇，通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查反映考生對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的理解和掌握的程度。數(shù)形結(jié)合的思想重點(diǎn)考查以形釋數(shù)，同時(shí)考查以數(shù)解形，題型會(huì)滲透到解答題，題量會(huì)加大數(shù)形結(jié)合常用于解方程、解不等式、求函數(shù)值域、解復(fù)數(shù)和三角問題中，充分發(fā)揮形的形象性、直觀性、數(shù)的深刻性、精確性，彌補(bǔ)形的表面性，數(shù)的抽象性，從而起到優(yōu)化解題途徑的作用。 例題1關(guān)于x的方程2x23x2k0在(1, 1)內(nèi)有一個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是什么？ 分析：原方程變形為2x23x=2k后可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x23x。和函數(shù)y=2k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 解：作出函數(shù)y=2x23x的圖像后，用y=2k去截拋物線，隨著k的變化，易知

5、2k或12k5時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn) k=或kx1. 分析：令y，則y2(x3) (y0), 它表示拋物線的上半支令yx1表示一條直線作出圖象求解 解：作出拋物線y2(x3) (y0),以及直線yx1 解方程組得x=2或x=1（舍去）, 由右圖可知：當(dāng)x2時(shí)不等式x1成立，所以原不等式的解集為x| x2. 點(diǎn)撥解疑：一般地，形如(亦可)等不等式皆可用數(shù)形結(jié)合求解，更一般地可作出圖象的函數(shù)或方程都可試用此法如32等 例題5求 m=2x+的值域分析：設(shè)=y，即4x2+9y236（y0）,則求值域問題轉(zhuǎn)化為求直線2x+ym的縱截距的范圍問題解：設(shè)=y，即4x2+9y236（y0）又令2x+y=m, 則由得

6、40x236mx+9m236=0, 令=(36m)2160(9m236)=0, 得m=2, 直線y=2x+m過A點(diǎn)時(shí)，x=3, y=0, m=6取得最小值； 當(dāng)直線與橢圓上半部分相切時(shí)，m取得最大值2 由，m的取值范圍為6, 2, 值域?yàn)?，2 例題6AB為平面上的兩定點(diǎn)，C為平面上位于直線AB同側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為邊，在ABC外側(cè)作正方形CADF、CBEG，求證：無論C點(diǎn)取在直線AB同側(cè)的任何位置，DE的中點(diǎn)M的位置不變 分析：由于D、E隨著C的變化而變化，但M為定點(diǎn)，故用幾何方法不易說清變換思維角度，如以C點(diǎn)坐標(biāo)為參量，證得M點(diǎn)坐標(biāo)不隨其變化而變化即可獲證證明：以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)

7、原點(diǎn),直線AB為實(shí)軸，建立復(fù)平面. 設(shè)A、B、C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為a，a，x+yi其中a、x、yR則 =ZCZA=(x+a)+yi, =i=y+(x+a)i=, =(a+y)+(a+x)i, D點(diǎn)的坐標(biāo)是(y+a), a+x),同理E點(diǎn)的坐標(biāo)為(y+a, ax), 據(jù)中點(diǎn)公式, DE中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，a），它是與AB長度有關(guān)，而與C點(diǎn)位置無關(guān)的點(diǎn)，即為定點(diǎn) 點(diǎn)撥解疑：這是用數(shù)解形的一例，可見它形象而直觀，但不夠深刻、精確，而數(shù)卻精確細(xì)致，但它不夠直觀，故常以數(shù)量形，以形輔數(shù)，數(shù)形結(jié)合 例題7設(shè)A、B、C、D是一條有向線段上的四點(diǎn)，且=0，求證：=. 分析：由于A、B、CD順序不定，若用幾何方法分類不便，故用解析法，又A、B、C、D共線，所以只需數(shù)軸即可證明：以四點(diǎn)所在直線為數(shù)軸，設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)依次為0, b、c、d, =0, =0, b(c+d)=2cd, =,又=，等式成立. 例題8函數(shù)y=f(x)的圖像為圓心在原點(diǎn)的兩段圓弧，試解不等式f(x)f(x)十x 分析一：由圖像可得出函數(shù)關(guān)系式，由形看數(shù)解法一：由題意及圖像，有，（1） 當(dāng)0f(x)+x得+x, 解得0x;（2） 當(dāng)