奧數(shù)競賽講座07-面積問題和面積方法

1、競賽講座07 -面積問題和面積方法基礎(chǔ)知識1面積公式由于平面上的凸多邊形都可以分割成若干三角形，故在面積公式中最基本的是三角形的面積公式它形式多樣，應(yīng)在不同場合下選擇最佳形式使用設(shè)，分別為角的對邊，為的高，、分別為外接圓、內(nèi)切圓的半徑，則的面積有如下公式：（1）； （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）2面積定理（1）一個圖形的面積等于它的各部分面積這和；（2）兩個全等形的面積相等；（3）等底等高的三角形、平行四邊形、梯形（梯形等底應(yīng)理解為兩底和相等）的面積相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四邊形、梯形的面積的比等于其所對應(yīng)的高（或底）的比；（5）兩個相似三角形的面積的比等于相

2、似比的平方；（6）共邊比例定理：若和的公共邊所在直線與直線交于，則；（7）共角比例定理：在和中，若或，則3張角定理：如圖，由點出發(fā)的三條射線，設(shè)，則三點共線的充要條件是：例題分析例1梯形的對角線相交于，且，求例2在凸五邊形中，設(shè)，求此五邊形的面積例3是內(nèi)一點，連結(jié)并延長與分別交于，、的面積分別為40，30，35，求的面積例4分別是的邊和上的點，且，求的面積的最大值 例5過內(nèi)一點引三邊的平行線，點都在的邊上，表示六邊形的面積，表示 的面積求證：例6在直角中，是斜邊上的高，過的內(nèi)心與的內(nèi)心的直線分別交邊和于和，和的面積分別記為和求證：例7銳角三角形中，角等分線與三角形的外接圓交于一點，點、與此類似

3、，直線與、兩角的外角平分線將于一點，點、與此類似求證：（1）三角形的面積是六邊形的面積的二倍；（2）三角形的面積至少是三角形的四倍例8在中，將其周長三等分，且在邊上，求證：例9在銳角的邊邊上有兩點、，滿足，作，（是垂足），延長交的外接圓于點，證明四邊形與的面積相等三面積的等積變換等積變換是處理有關(guān)面積問題的重要方法之一，它的特點是利用間面積相等而進行相互轉(zhuǎn)換證（解）題例10凸六邊形內(nèi)接于，且，求此六邊形的面積例11已知的三邊，現(xiàn)在上取，在延長線上截取，在上截取，求證：例12在內(nèi)，且，求征：例13在的三邊上分別取點，使，連相交得三角形，已知三角形的面積為13，求三角形的面積例14為圓內(nèi)接四邊形的邊的中點，于，于，于，求證：平分例15已知邊長為的，過其內(nèi)心任作一直線分別交于點，求證：例16正正，求證：例17在正內(nèi)任取一點，設(shè)點關(guān)于三邊的對稱點分別為，則相交于一點例18已知是正六邊形的兩條對角線，點分別內(nèi)分，且使，