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1、競賽講座07 -面積問題和面積方法基礎知識1面積公式由于平面上的凸多邊形都可以分割成若干三角形，故在面積公式中最基本的是三角形的面積公式它形式多樣，應在不同場合下選擇最佳形式使用設，分別為角的對邊，為的高，、分別為外接圓、內切圓的半徑，則的面積有如下公式：（1）； （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）2面積定理（1）一個圖形的面積等于它的各部分面積這和；（2）兩個全等形的面積相等；（3）等底等高的三角形、平行四邊形、梯形（梯形等底應理解為兩底和相等）的面積相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四邊形、梯形的面積的比等于其所對應的高（或底）的比；（5）兩個相似三角形的面積的比等于相

2、似比的平方；（6）共邊比例定理：若和的公共邊所在直線與直線交于，則；（7）共角比例定理：在和中，若或，則3張角定理：如圖，由點出發(fā)的三條射線，設，則三點共線的充要條件是：例題分析例1梯形的對角線相交于，且，求例2在凸五邊形中，設，求此五邊形的面積例3是內一點，連結并延長與分別交于，、的面積分別為40，30，35，求的面積例4分別是的邊和上的點，且，求的面積的最大值 例5過內一點引三邊的平行線，點都在的邊上，表示六邊形的面積，表示 的面積求證：例6在直角中，是斜邊上的高，過的內心與的內心的直線分別交邊和于和，和的面積分別記為和求證：例7銳角三角形中，角等分線與三角形的外接圓交于一點，點、與此類似

3、，直線與、兩角的外角平分線將于一點，點、與此類似求證：（1）三角形的面積是六邊形的面積的二倍；（2）三角形的面積至少是三角形的四倍例8在中，將其周長三等分，且在邊上，求證：例9在銳角的邊邊上有兩點、，滿足，作，（是垂足），延長交的外接圓于點，證明四邊形與的面積相等三面積的等積變換等積變換是處理有關面積問題的重要方法之一，它的特點是利用間面積相等而進行相互轉換證（解）題例10凸六邊形內接于，且，求此六邊形的面積例11已知的三邊，現(xiàn)在上取，在延長線上截取，在上截取，求證：例12在內，且，求征：例13在的三邊上分別取點，使，連相交得三角形，已知三角形的面積為13，求三角形的面積例14為圓內接四邊形的邊的中點，于，于，于，求證：平分例15已知邊長為的，過其內心任作一直線分別交于點，求證：例16正正，求證：例17在正內任取一點，設點關于三邊的對稱點分別為，則相交于一點例18已知是正六邊形的兩條對角線，點分別內分，且使，

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