數(shù)學(xué)思想方法同步講座第1講函數(shù)方程是一類新題

1、數(shù)學(xué)思想方法同步講坐 第1講 函數(shù)方程是一類新題在考試大綱上，是找不到“函數(shù)方程”這個(gè)考點(diǎn)的！從內(nèi)容上看，在“函數(shù)考章”中有5個(gè)考點(diǎn)：（1）映射. 函數(shù). 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.（2）反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系. （3）指數(shù)概念的擴(kuò)充. 有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì). 指數(shù)函數(shù). （4）對(duì)數(shù). 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì). 對(duì)數(shù)函數(shù). （5）函數(shù)的應(yīng)用.從題型上看，常規(guī)分類是：選擇題，填空題，解答題三類. 也不見函數(shù)方程的題型. 經(jīng)常提到的數(shù)學(xué)思想：（1）函數(shù)方程思想，（2）數(shù)形結(jié)合思想，（3）分類討論思想，（4）化歸與轉(zhuǎn)化思想等等，高考命題難道可按數(shù)學(xué)思想分類？存在決定意識(shí). 高考試題的客觀存在，決定

2、了人們?cè)谠囶}分類上認(rèn)識(shí)的深化. 【例1】 （2006年陜西卷12）為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對(duì)應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對(duì)應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時(shí),則解密得到的明文為 （ ）A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7【分析】 這是個(gè)什么問題？人們往往用“新題型”三字將其歸類，或說詳細(xì)點(diǎn)，這是一種“信息加密問題”有的還很滿足這種分類. 殊不知,這種歸類是一種“情境歸類”或“形式分類”，沒有

3、歸類到“數(shù)學(xué)內(nèi)容”或“數(shù)學(xué)思想”的實(shí)質(zhì)與高度上來.從數(shù)學(xué)的角度審視“信息加密”，這是一個(gè)從集合A（明文）到集合B（密文）的映射問題. 因?yàn)榧螦、B都是數(shù)集，所以加密問題是個(gè)“函數(shù)問題”，解密問題是對(duì)應(yīng)的“反函數(shù)問題”.【解析】本題是信息安全與密碼問題. 欲求明文a，b，c，d，需建立關(guān)于a，b，c，d的四個(gè)方程.由于收到的密文是14，9，23，28時(shí)，由加密規(guī)則可得方程組，解得，此即為解密得到的明文，故選C【點(diǎn)評(píng)】 本題在考函數(shù)，在考哪一個(gè)具體函數(shù)？本題在考方程，在考哪一個(gè)具體方程？都不“具體”，本題是在考一種數(shù)學(xué)思想.所謂“函數(shù)方程思想”，就是函數(shù)與方程的“統(tǒng)一思想” .本題中，加密是“函

4、數(shù)建?！保饷苁恰昂瘮?shù)還原”，前者是明文到密文的函數(shù)式，后者是密文到明文的方程（組）. 初看解析，這似乎是一個(gè)單一的“方程問題”.那么試問：如果沒有（背后的）函數(shù)，方程從何而來？如果把“函數(shù)問題”看作原問題，那么“方程問題”則為原問題的逆問題. 如果函數(shù)與反函數(shù)是一個(gè)問題的兩個(gè)方面，那么函數(shù)與方程這兩個(gè)方面也統(tǒng)一在同一個(gè)整體之中.【鏈接】 為了看清方程與函數(shù)的“平等地位”，我們可以從“加密函數(shù)式”中解出它的反函數(shù)式，即得“解密函數(shù)式”：（） （） 當(dāng)密文為=14，=9，=23，=28時(shí)，利用函數(shù)式（），可直接求得明文為a=6，b=4，c=1，d=7.事實(shí)上，信息安全部門在制作“密碼本”時(shí)，“加

5、密本”與“解密本”是同時(shí)“出版”的. 說明了，這里的工作是把“函數(shù)問題”與“方程問題”視作對(duì)立的、一體的.【啟示】 高考命題，為什么“逆向問題”那么多？總在要你去待定、去假設(shè)、去探求？因?yàn)槊}人考慮到， 順向考查只是一個(gè)單向，而逆向則是雙向考查. 這就是高考命題“熱中逆向問題”的原因.逆向問題雖應(yīng)從方程角度思考，但如果離開了正向的函數(shù)問題，則這個(gè)方程是盲目的、缺乏思想高度的. 正是在這一點(diǎn)上,須要研究“函數(shù)方程的互逆性和統(tǒng)一性”.【例2】 （2007年安徽21）某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加，因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目是一個(gè)

6、公差為的等差數(shù)列與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利這就是說，如果固定年利率為，那么，在第年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?，以Tn表示到第年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額（）寫出Tn與的遞推關(guān)系式；（）求證：，其中是一個(gè)等比數(shù)列，是一個(gè)等差數(shù)列【分析】Tn與都是數(shù)的集合，找它們的關(guān)系就是找函數(shù)關(guān)系，因此本題是一個(gè)求函數(shù)式的問題.函數(shù)式是一個(gè)等式，求等式就是“布列方程”，因此求函數(shù)式是一個(gè)列方程的過程. 【解析】 第年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額 = 上年末儲(chǔ)備金總額的（1+r）倍 + 當(dāng)年交納的儲(chǔ)備金用符號(hào)表示就是：這就是所求的Tn與的遞推關(guān)系式【點(diǎn)評(píng)】

7、本題是用“布列方程求函數(shù)式”的典型. 第一步，用Tn 1作“未知數(shù)”；第二步，用含未知數(shù)Tn 1的代數(shù)式來表示其他“未知量”：Tn 1(1+r)+an；第三步，用列代數(shù)式時(shí)沒有用過的等量關(guān)系組織等式：. 這個(gè)等式就是所求的方程，即本題所求的函數(shù)式. 【分析】的意思是，數(shù)列Tn可寫成數(shù)列An與數(shù)列An的和. 為此可考慮先求出數(shù)列Tn的通項(xiàng)公式.【解析】 由遞推式T1=a1，Tn= Tn 1(1+r)+an得關(guān)于T1，T2，Tn的n元方程組：消T1，得T2= a1 (1+r)+a2；消T2，得T3= a1 (1+r)2+a2 (1+r)+a3；消Tn 1，得Tn= a1 (1+r)n 1 +a2

8、(1+r) n 2 +an 1 (1+r)+an.【插話】T1，T2，Tn 1 已全部消去，Tn已經(jīng)求出. 以下只是一個(gè)對(duì)Tn表達(dá)式化簡(jiǎn)的問題. 仍可按“函數(shù)方程問題”來處理.【續(xù)解】 將上面Tn的表達(dá)式看作方程，將方程兩邊同乘以(1+r)得新方程，兩方程聯(lián)立 （2）（1）得rTn = a1(1+r)n+(a2+a1) (1+r)n 1 +(an a n 1 )(1+r) an= a1(1+r)n+ d(1+r)n 1+(1+r)n 2 +(1+r) an即如果記，則其中是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列【點(diǎn)評(píng)】本題的第（）問是布列方程的問題，第（）問是方程組求解的問

9、題.把函數(shù)式Tn= Tn 1(1+r)+an看作含T1、T2、Tn的n方程組，并用消元法從中解出Tn，是函數(shù)與方程的精彩轉(zhuǎn)換.【小結(jié)】 本題的知識(shí)載體是“特殊的”數(shù)列內(nèi)容：等差數(shù)列與等比數(shù)列、由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式等等. 本題的思想則是“普遍的”函數(shù)方程思想. 本題以函數(shù)設(shè)問，用方程作答，函數(shù)與方程的視角隨機(jī)換位，按其所需. 【例3】（2007年重慶卷第22題）如圖1，（）（求得）橢圓的方程.（）在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)，使，證明圖1為定值，并求此定值.【說明】 心里有什么，眼里就看到什么！對(duì)于本題心里有函數(shù)的人，首先看到了函數(shù)：|FP1|、|FP2|、|FP3|都是角=xFP1的函數(shù).

10、心里有方程的人，首先看到了方程：|FP1|cos= x c ( x是點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)).心里既有函數(shù)又有方程的人，不僅同時(shí)看到了本題中函數(shù)與方程，而且還看到了函數(shù)與方程的關(guān)系.【解析】設(shè)（自變量）xFP1=，于是有 xFP2 =，xFP3 =.設(shè)|FP1| = r1，由圖2可得|FM| = r1cos，由e = 得 |P1Q| = 2r，于是有（方程）：r1cos+2r1 = 12 3 = 9，從而有（函數(shù)）：r =，繼而有（方程）：圖2同理有 于是有（函數(shù)方程的統(tǒng)一體）：=【小結(jié)】所謂“函數(shù)方程的普遍性”是指，當(dāng)知識(shí)載體如本題的橢圓載體一旦更換（成了例1的信息加密、例2的數(shù)列推遞）之后，只要還

11、是關(guān)于數(shù)集與數(shù)集、變量與變量間的“關(guān)系問題”，無不是函數(shù)方程的領(lǐng)域. 顯然，函數(shù)方程所涉及的不是一個(gè)具體的知識(shí)內(nèi)容，而是一種有指導(dǎo)性、帶全局性的數(shù)學(xué)思想. 因此，高考中的“函數(shù)方程考題”是跨考點(diǎn)、跨板塊、跨題型的、考查數(shù)學(xué)思想的深層試題.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1. 已知，（a、b、cR），則有（ ）(A) (B) (C) (D) ，2. 二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 （用數(shù)字作答）.3. 已知銳角三角形ABC中，sin(A+B)=,sin(A-B)=.()求tanA=2tanB;()設(shè)AB=3，求AB邊上的高.對(duì)應(yīng)答案1. 解析 法一：依題設(shè)有 a5bc0是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)實(shí)根；0 故選(B)法二：去分

12、母，移項(xiàng)，兩邊平方得：10ac25ac20ac， 故選(B)點(diǎn)評(píng) 解法一通過簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點(diǎn)，運(yùn)用方程的思想使問題得到解決；解法二轉(zhuǎn)化為b2是a、c的函數(shù)，運(yùn)用重要不等式，思路清晰，水到渠成.2. 本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式和冪運(yùn)算.解題的切入點(diǎn)是正確寫出通項(xiàng)公式，并正確化簡(jiǎn).根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr+1=C得Tr+1=C=C =CC=(-1)rC要使Tr+1為常數(shù)項(xiàng)，只需(-1)rC中x的指數(shù)為0，即=0，解得r=4,代回通項(xiàng)公式，得常數(shù)項(xiàng)為 （-1）4C在解答過程中正確運(yùn)用二項(xiàng)展開式得通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵，而通過方程=0得出r=4，則可得到常數(shù)項(xiàng)在展開式中的位置，進(jìn)

13、而求出常數(shù)項(xiàng).3. 分析 本題是一個(gè)三角函數(shù)的證明與計(jì)算問題.分析題目后發(fā)現(xiàn),已知條件比較復(fù)雜,因此首要的任務(wù)是變換已知條件,使之出現(xiàn)含有sinA,cosA,sinB,cosB的解析式.解析 由已知兩個(gè)等式,得sinAcosB+cosAsinB=,sinAcosB-cosAsinB=.研究這兩個(gè)等式發(fā)現(xiàn),左側(cè)的兩個(gè)解析式只相差一個(gè)符號(hào).實(shí)際上,可把sinAcosB看成一個(gè)未知數(shù),把cosAsinB看成另一個(gè)未知數(shù),于是上面兩式是關(guān)于這兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程組,解這個(gè)方程組便可求出sinAcosB=到此便可以完成第()問的證明,將上兩式左右兩邊分別相除,便可得到tanAcotB=2,即tanA=2tanB.在第()問中,可畫出圖形幫助我們進(jìn)行研究,如右圖,從圖中并借助已知條件不難發(fā)現(xiàn),應(yīng)該先求出tanA和tanB的值.由sin(A+B)=及A+B,可求得tan(A+B)=-,展開后得為求出tanA和tanB的值,還應(yīng)再有一個(gè)關(guān)于tanA、tanB的方程，這個(gè)方程正是第（）問所證的結(jié)論：tanA=2tanB.解由這兩個(gè)方程組成的方程組，求得下面再解直角三角形，求CD就容易了.由AB=3可解得CD