第03講Schrodinger方程的建立

1、第03講 薛定諤方程的建立 一、量子力學(xué)的基本假定量子力學(xué)的基本假定：1）運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和波函數(shù)的關(guān)系假定：在量子力學(xué)中，體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由波函數(shù)描述，波函數(shù)滿足連續(xù)、單值、平方可積，它的物理意義就是波恩提出的“統(tǒng)計(jì)解釋”。和經(jīng)典力學(xué)類似，也應(yīng)該建立一個(gè)決定隨時(shí)間t變化的方程式。當(dāng)微觀粒子在某一時(shí)刻的狀態(tài)為已知時(shí)，以后時(shí)刻粒子所處的狀態(tài)也要由一個(gè)方程來決定。2）關(guān)于力學(xué)量和線性厄米算符的關(guān)系：微觀體系的每一個(gè)可以觀察的物理量（如：動(dòng)量、能量、角動(dòng)量、坐標(biāo)、時(shí)間等）在量子力學(xué)中都對應(yīng)一個(gè)線性厄米算符。3）關(guān)于力學(xué)量測量的假定：對狀態(tài)的微觀體系的力學(xué)量F進(jìn)行測量時(shí)候，可能出現(xiàn)兩種情況：每一次測量的結(jié)果均得

2、到同一確定的值，則認(rèn)為此微觀體系處于該力學(xué)量的本征狀態(tài)，該狀態(tài)所對應(yīng)的波函數(shù)是力學(xué)量算符的本征函數(shù)。如果每一次測量的結(jié)果得到不同的值，則認(rèn)為此微觀體系不處于該力學(xué)量的本征狀態(tài)。那么，在該狀態(tài)下，力學(xué)量沒有確定值，只有平均值。平均值的計(jì)算方法：在經(jīng)典力學(xué)中，體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間的變化服從牛頓方程。牛頓方程是關(guān)于時(shí)間t的二階全微分方程，方程的系數(shù)通常只含有運(yùn)動(dòng)本身相關(guān)的物理量質(zhì)量m，一但初始條件給出，方程將會(huì)唯一決定以后任何時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。從物理上看，這個(gè)方程必須滿足： 由于波函數(shù)是滿足線性疊加原理的，而態(tài)的疊加原理對任何時(shí)間都成立，因此描述波函數(shù)隨時(shí)間變化的方程必須是線性方程； 方程的系數(shù)不含有

3、粒子特定性質(zhì)的有關(guān)量，如動(dòng)量p,空間位置r等，通常只含有，如質(zhì)量m，普朗克常數(shù)等物理量h。 因?yàn)槭堑暮瘮?shù)，因此必然是關(guān)于的一個(gè)微分方程，通常是關(guān)于不高于二階的偏微分方程。一但初始條件和邊界條件確定之后，方程能夠確定以后任何一個(gè)時(shí)刻的波函數(shù)。二階偏微分方程的解，通常是存在和唯一的。 經(jīng)典力學(xué)是量子力學(xué)的極限形，因此這個(gè)方程必須滿足對應(yīng)原理：式當(dāng)時(shí)方程為牛頓方程. 對于自由粒子這一特殊情況，方程的解是平面波。二、 自由粒子的平面波方程（波函數(shù)）如下， ，利用自由粒子的能量和動(dòng)量的關(guān)系式：， 是粒子的質(zhì)量。可得： 它滿足前面的條件。動(dòng)量算符的演化： 為粒子質(zhì)量，則動(dòng)量算符利用自由粒子的能量公式： 有

4、 所以能量算符： 三、 量子力學(xué)的算符：算符是指作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)。設(shè)某種運(yùn)算把函數(shù)變?yōu)椋梅?hào)表示為，則把這種運(yùn)算符號(hào)稱為算符。例如： 就是大家熟悉的微分算符。應(yīng)當(dāng)怎樣理解算符和他所表示的力學(xué)量之間的關(guān)系呢？（1）是兩算符，對于函數(shù)的滿足線性關(guān)系：稱為線性算符。（2）厄米算符如果算符作用于一個(gè)函數(shù)時(shí)，結(jié)果等于函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)，即：，則稱為算符的本征值，為屬于本征值的本征函數(shù)，方程稱之為算符的本征方程。如果算符表示力學(xué)量F，那么當(dāng)體系處于的本征態(tài)時(shí)，力學(xué)量F有定值，這個(gè)值就是在態(tài)中的本征值。我們知道，所有力學(xué)量的的數(shù)值都是實(shí)數(shù)。既然表示力學(xué)量的算符的本征值是這個(gè)力學(xué)量的可

5、能值，因而表示力學(xué)量的算符，他的本征值必須是實(shí)數(shù)。下面要介紹的厄米算符就具有這個(gè)性質(zhì)，因而力學(xué)量中表示力學(xué)量的算符都是厄米算符。即對所有滿足： 稱為厄米算符。其特性如下：1.厄米算符特征值為實(shí)數(shù)。以表示的本征值；表示所屬的本征函數(shù)，則。2.不同特征值的特征向量正交（3）力學(xué)量的兩種表達(dá)形式： 應(yīng)當(dāng)怎樣理解算符和他所表示的力學(xué)量之間的關(guān)系呢？每個(gè)力學(xué)量和一個(gè)算符對應(yīng)。 經(jīng)典表達(dá)； 算符的形式。時(shí)間t, t坐標(biāo)： 動(dòng)量： 動(dòng)能： 角動(dòng)量：總的角動(dòng)量：算子 : 總能量：H=T(動(dòng)能)+V(勢能) 多粒子總能量： 體系的能量和哈密頓算符相對應(yīng)，我們知道，哈密頓算符是在哈密頓函數(shù)中將動(dòng)量換為動(dòng)量算符而得

6、到的。這反映了經(jīng)典力學(xué)中的力學(xué)量的經(jīng)典表達(dá)式得出量子力學(xué)中表示該力學(xué)量的算符規(guī)則。如果力學(xué)量在經(jīng)典力學(xué)中的表達(dá)式是，則對應(yīng)在量子力學(xué)中的算符為。在經(jīng)典力學(xué)中動(dòng)量對原點(diǎn)的位置矢量，繞原點(diǎn)的角動(dòng)量是：，因而量子力學(xué)中的角動(dòng)量算符是：四、薛定諤方程的建立 利用量子力學(xué)中的能量關(guān)系式來建立Schrodinger方程。設(shè)粒子在力場中的勢能為，這時(shí)粒子的能量和動(dòng)量的關(guān)系式是：兩邊乘上，便得到所滿足的微分方程這個(gè)方程就稱為Schrodinger波動(dòng)方程，簡稱薛定諤方程，也稱為波動(dòng)方程。需要說明的是這個(gè)方程不是用數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)出來的，是從描寫自由粒子的平面波的表達(dá)式出發(fā)利用其復(fù)數(shù)表達(dá)形式，而得出的結(jié)論的。但顯然不是方程的解。薛定諤方程的正確性是有各種情況下方程得出的結(jié)論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較來驗(yàn)證的。薛定諤方程很容易推廣到多粒子的情況，我們設(shè)有n個(gè)粒子，設(shè)表示這n個(gè)粒子的坐標(biāo)，那么描述體系狀態(tài)的波函數(shù)就是的函數(shù)