第6章MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

1、第6章 MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)沒有大膽的猜測(cè)，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。 牛頓MATLAB是Matrix Laboratory的縮寫，是一個(gè)集數(shù)值計(jì)算、圖形處理、符號(hào)運(yùn)算、文字處理、數(shù)學(xué)建模、實(shí)時(shí)控制、動(dòng)態(tài)仿真和信號(hào)處理等功能為一體的數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件，而且該系統(tǒng)的基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是矩陣，又具有數(shù)量巨大的內(nèi)部函數(shù)庫和多個(gè)工具箱，使得該系統(tǒng)迅速普及到個(gè)領(lǐng)域，尤其在大學(xué)校園里，許多學(xué)生借助它來學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)和計(jì)算方法等課程，并用它做數(shù)值計(jì)算和圖形處理等工作。下面介紹它的基本功能，并用它做與線性代數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。在正確完成安裝MATLAB軟件之后，直接雙擊系統(tǒng)桌面上的MATLAB圖標(biāo)，啟動(dòng)MATLAB，進(jìn)入MATLA

2、B默認(rèn)的用戶主界面，界面有3個(gè)主要的窗口：命令窗口（Commend Window），當(dāng)前目錄窗口（Current Directory），工作間管理窗口（Workspace）。如圖6.1所示。圖6.1命令窗口是和MATLAB編譯器連接的主要窗口，“”為運(yùn)算提示符，表示MTALAB處于準(zhǔn)備狀態(tài)，當(dāng)在提示符后輸入一段正確的運(yùn)算式時(shí)，只需按Enter鍵，命令窗口中就會(huì)直接顯示運(yùn)算結(jié)果。如圖6.2所示。圖6.2數(shù)據(jù)的默認(rèn)格式為五位有效數(shù)字，可用format命令改變輸出格式。Help是獲取幫助的命令，在它之后應(yīng)該跟一個(gè)主題詞。例如，help format，系統(tǒng)就會(huì)對(duì)format的用法提供說明，因此它對(duì)初學(xué)

3、者是非常有用的。當(dāng)需要編寫比較復(fù)雜的程序時(shí)，就需要用到M文件，而只需要將所有命令按順序放到一個(gè)擴(kuò)展名.m的文本文件下，每次運(yùn)行只需輸入該M文件的文件名即可。下面介紹MATLAB程序設(shè)計(jì)中常用的程序控制語句和命令。順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的程序結(jié)構(gòu)，在編寫程序后，系統(tǒng)將按照程序的物理位置順序執(zhí)行。選擇語句。在編寫程序時(shí)，往往需要根據(jù)一定的條件來執(zhí)行不同的語句，此時(shí)，需要使用分支語句來控制程序的進(jìn)程，通常使用if-else-end結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)這種控制。if-else-end結(jié)構(gòu)是：if 表達(dá)式 執(zhí)行語句1 else 執(zhí)行語句2end此時(shí)，如果表達(dá)式為真，則系統(tǒng)執(zhí)行語句1；如果表達(dá)式為假，則系統(tǒng)執(zhí)行語句2.例

4、如比較a和b的大小，其中a=40，b=10.程序設(shè)計(jì)：cleara=40;b=10;if aa)elsedisp(ab)end運(yùn)行結(jié)果：ab分支語句。另外，MATLAB語句中還提供了switch-case-otherwise-end分支語句，其使用格式如下：switch 開關(guān)語句 case 條件語句 執(zhí)行語句 ，.，執(zhí)行語句 case （條件語句1，條件語句2，條件語句3，） 執(zhí)行語句 ，.，執(zhí)行語句.otherwise 執(zhí)行語句 ，.，執(zhí)行語句 end在上面的分支語句中，當(dāng)某個(gè)條件語句的內(nèi)容與開關(guān)語句的內(nèi)容相匹配時(shí)，系統(tǒng)將執(zhí)行其后的語句，如果所有的條件語句與與開關(guān)條件都不相符合時(shí)，系統(tǒng)將執(zhí)行

5、otherwise后的語句。循環(huán)語句。當(dāng)遇到許多有規(guī)律的重復(fù)運(yùn)算時(shí)，可以方便地使用以下兩種循環(huán)語句。for循環(huán)基本格式是： for i= 表達(dá)式， 執(zhí)行語句，執(zhí)行語句 end上述結(jié)構(gòu)是對(duì)循環(huán)次數(shù)的控制。例 求1+2+ +100的值。程序設(shè)計(jì)： sum=0; for i=1:100 Sum=sum+i; end sum sum= 5050for循環(huán)可以重復(fù)使用，即可以多次嵌套。while循環(huán)的判斷控制可以是邏輯判斷語句，因此，它的循環(huán)次數(shù)可以是一個(gè)不定數(shù)，這樣就賦予了它較for循環(huán)更廣泛的用途。其使用格式如下：while 表達(dá)式 執(zhí)行語句 ，.，執(zhí)行語句End 常用指令。終止命令break語句一

6、般用在循環(huán)控制中，通過if使用語句。當(dāng)if語句滿足一定條件時(shí)，break語句將被調(diào)用，系統(tǒng)將在循環(huán)尚未結(jié)束時(shí)跳出當(dāng)前循環(huán)。繼續(xù)命令continue一般也用在循環(huán)控制中，通過if使用語句。當(dāng)if語句滿足一定條件時(shí)，continue語句將被調(diào)用，系統(tǒng)將不再執(zhí)行相關(guān)的執(zhí)行語句，并不會(huì)跳出當(dāng)前循環(huán)。等待用戶反應(yīng)命令pause用于使程序暫時(shí)終止運(yùn)行，等待用戶按任意鍵后繼續(xù)運(yùn)行。該語句適合于在調(diào)試程序時(shí)需要查看中間結(jié)果的情況。除了在程序設(shè)計(jì)中需要經(jīng)常用到上述命令外，還有一些常用命令在其他操作中也經(jīng)常使用，比如clr可以清除工作窗口，type可以顯示文件內(nèi)容，quit可以退出MATLAB等。6.1 矩陣的輸

7、入與特殊矩陣的生成6.1.1 矩陣的輸入 MATLAB是以矩陣為基本變量單元的，因此矩陣的輸入非常方便。輸入時(shí)，矩陣的元素用方括號(hào)括起來，行內(nèi)元素用逗號(hào)分隔或空格分隔，各行之間用分號(hào)分隔或直接按回車鍵。例 6.1 輸入矩陣A=。解 在命令窗口中輸入 A=1 1 2；-1 0 3；4 -5 6 A= 6.1.2 矩陣的結(jié)構(gòu)操作 輸入矩陣后，可以對(duì)矩陣進(jìn)行的主要操作包括矩陣的擴(kuò)充，矩陣元素的提取和變換，矩陣元素的部分刪除等。下面對(duì)其作簡(jiǎn)單介紹。1.矩陣的擴(kuò)充例如，用下述命令可以在上述矩陣A下面再加上一個(gè)行向量：A（4，：）=1 3 2A= 下述命令可以在上述矩陣A下面再加上一個(gè)列向量： A（：，4

8、）=-1 0 3 2 A= 2矩陣元素的提取和變換可以用下述命令提取上述矩陣A的第3行第1列的元素： A（3,1）ans= 4可以用下述命令提取上述矩陣A的第1行第3列的元素： A（：，1，3） ans= 可以用下述命令提取矩陣的上三角和下三角部分及對(duì)角線元素：triu（A）提取矩陣A的上三角部分；tril（A）提取矩陣A的下三角部分；diag（A）提取矩陣A的對(duì)角線元素。可以用下列命令對(duì)矩陣進(jìn)行翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)：fliplr（A）矩陣A左右翻轉(zhuǎn)；flipud（A）矩陣A上下翻轉(zhuǎn)；rot90（A）矩陣A整體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。3矩陣元素的刪除可以用下述命令刪除上述矩陣A的第2行的元素：A（2，：）=

9、ans= 6.1.3 特殊矩陣的生成某些特殊矩陣可以直接調(diào)用相應(yīng)的函數(shù)得到，例如：zeros(m,n)生成一個(gè)m行n列的零矩陣；ones（m，n）生成一個(gè)m行n列元素都是1的矩陣；eye（n）生成一個(gè)n階的單位矩陣；rand（m，n）生成一個(gè)m行n列的隨機(jī)矩陣；vander（V）生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范德蒙德矩陣；magic（n）生成一個(gè)n階魔方矩陣；hilb（n）生成一個(gè)n階希爾伯特矩陣；invhilb（n）求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。例 6.2 隨機(jī)生成一個(gè)67的矩陣。解 rand（6,7） ans= 例 6.3 生成一個(gè)以向量（1,2,3,5）為基礎(chǔ)向量的范德蒙德矩陣。解 vande

10、r（1；2；3；5） ans= 習(xí) 題1輸入矩陣A= ，并提取矩陣A的第3列和第2行元素。2生成一個(gè)1012階的隨機(jī)矩陣，并提取該矩陣的上三角部分。3生成一個(gè)5階單位陣、6階全1矩陣，4階魔方陣。4求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。5對(duì)矩陣A= 進(jìn)行左右、上下和90度旋轉(zhuǎn)。6.2 矩陣的運(yùn)算6.2.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算如果已經(jīng)輸入矩陣A和B，則可由下述命令對(duì)其進(jìn)行運(yùn)算：的轉(zhuǎn)置；A+B加法；k*A數(shù)k乘A；A*B乘法；inv（A）A的逆陣；AxA的x次方；ABB；A/BB 。例 6.4 設(shè)A= ，B= ，求、A+B、AB、B。解 程序設(shè)計(jì)結(jié)果如下： A=1 2 -1；0 1 2；-3 6 4 A= B

11、=-1 0 1；0 2 2；3 5 1 B= ans= A+B ans= A*B ans= A2 ans= inv（A）*B ans= 6.2.2 矩陣的特征參數(shù)運(yùn)算在進(jìn)行科學(xué)運(yùn)算時(shí)，常常要用到矩陣的特征參數(shù)，如矩陣的行列式、秩、跡、條件書數(shù)等，在MATLAB可以用下述命令輕松地進(jìn)行這些運(yùn)算。det（A）A的行列式；rank（A）A的秩；trace（A）A的跡；cond（A）A的條件數(shù)；size（A）輸出A的行數(shù)和列數(shù)。例 6.5 求向量組，的秩。解 程序運(yùn)行結(jié)果如下： A= rank(A) ans= 3故可知向量組的秩為3。例 6.6 判斷向量組=，=，=，=是否線性相關(guān)？解 由，所組成的矩

12、陣A= ，只需求出A的秩或者A的行列式，即可判斷其線性相關(guān)性，因此，在MATLAB命令窗口下，鍵入： A= 1 1 2 3；1 -1 0 1；2 1 3 5；3 1 3 4； rank（A） ans= 3即r（A）=34，故，線性相關(guān)。例 6.7 計(jì)算D=。解 程序運(yùn)行結(jié)果如下： A=1 2 3；4 5 6；7 8 9； D=det（A）； ans= 0即D=0。例 6.8 計(jì)算。解 程序運(yùn)行結(jié)果如下： syms x y A=1+x 1 1 1；1 1+x 1 1；1 1 1+x 1；1 1 1 1+x； det（A） ans= 2*x*y2+2*x2*y+x2*y2習(xí) 題1、設(shè)A=，B=，求

13、、。2、求向量組，的秩。3、計(jì)算。4、計(jì)算。5、判斷向量組：=，=，=，=，=的線性相關(guān)性。6.3 線性方程組的求解在MATLAB中，求解線性方程組的方法有很多，本實(shí)驗(yàn)將介紹兩個(gè)命令來直接求解。rref（A）A的最簡(jiǎn)行階梯形矩陣；linesolve（A，y，options）求解Ax=y；null（A，r）求齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系。例 6.9 將矩陣A=化為最簡(jiǎn)行階梯形矩陣。解 程序運(yùn)行結(jié)果： A=7 1 -1 10 1；4 8 -2 4 3；12 1 -1 5； rref（A） ans= 例 6.10 求齊次方程組的基礎(chǔ)解系及全部解。解 該方程組的矩陣表示形式為X=0。則在MATLAB命

14、令窗口下，鍵入： A=1 2 -1 -2；2 -1 -1 1；3 1 -2 -1； null（A，r） ans= 即兩個(gè)基礎(chǔ)解系分別為=，=。故原方程通解為（，為任意常數(shù)）。例 6.11 求解線性方程組。解 程序結(jié)果如下： B=1 3 -2 4 1 7；2 6 0 5 2 5；4 11 8 0 5 3；1 3 2 1 1 -2 rref（B） B = 1 3 -2 4 1 7 2 6 0 5 2 5 4 11 8 0 5 3 1 3 2 1 1 -2 ans = 1.0000 0 0 -9.5000 4.0000 35.5000 0 1.0000 0 4.0000 -1.0000 -11.00

15、00 0 0 1.0000 -0.7500 0 -2.2500 0 0 0 0 0 0所以原方程組等價(jià)于方程組 故方程組的通解為： ，其中， 例 6.12 求齊次線性方程組的全部解。該方程組的矩陣表達(dá)形式=則在MATLAB命令窗口下，鍵入：解 方法 1 y1=3*x1+4*x2+2*x3+x4=5; y2=6*x1+8*x2+5*x3+2*x4=8; y3=9*x1+12*x2+7*x3+3*x4=13; x1,x2,x3,x4=solve(y1,y2,y3,y3) x1 = x1x2 =x2x3 =-2x4 =-3*x1-4*x2+9則原方程組的解為（其中，為任意常數(shù)）。 方法 2 format rat A=3 4 2 1;6 8 5