第九章質點動力學的基本方程

1、第九章 質點動力學的基本方程典型例題例1物塊和的質量分別為和，用彈簧連接如圖.（a）所示已知物塊沿鉛直方向按運動，其中和均為常數(shù)；物塊靜放在水平固定面上如果不計摩擦和彈簧質量，試求水平支承面對物塊的動反力解本例是已知運動求力的典型題因為物塊沿鉛直方向作平動，可把物塊看為質點分別取物塊和為研究對象，其受力分析和運動分析如圖.（b）和（c）所示，圖中的和表示彈簧力，是支承面對的動反力根據(jù)質點動力學基本方程，對和分別有（）（）將以上兩式投影到軸，得（）（）其中，且（）式（）（）聯(lián)立求解，最后得水平支承面對物塊的動反力（a）討論在動力學中，因為動反力靜反力附加反力由式（a）可知，本例動反力中的靜反力為

2、；附加反力為，它的大小和方向都將隨著時間而不斷變化這是動力學問題與靜力學問題的重要區(qū)別之一由于物體運動狀態(tài)變化，有加速度出現(xiàn)，動反力也會相應變化讀者不能以靜力學的觀點來處理動力學問題由式（a）知，當時，得力的最大值如果，當時，得力的最小值如果，物塊會脫離水平支承面，這時，而不是在畫物塊的受力圖.（c）時，不能把物塊的重力畫在上另外，彈簧力的大小不等于物塊對水平面的動壓力因此，本例可以用來估算機器對地面沿鉛直方向的動壓力這個動壓力由最小值到最大值往復變化，將引起振動例小球由高度處以水平速度拋出，入圖.（a）所示空氣阻力可視為與速度的一次方成正比，即，其中為小球的質量，為常系數(shù)，求小球的運動方程和

3、軌跡解本例是已知力和運動的初始條件求運動的問題取小球為研究對象，由于小球的初速度與其重力共面，故小球在與初速度共面的鉛直面內作平面曲線運動，小球在任意位置的受力分析和運動分析如圖（b）所示因目前還不知小球的軌跡，故宜建立直角坐標形式的運動微分方程，取平面直角坐標系如圖（b）所示小球的運動微分方程為（）（）將和分別代入式（）和式（），分離變量后得（）（）由題給出的初始條件為時，有，（）首先對式（）進行定積分故由此可得小球在空中任意位置時沿軸方向的速度為（）同理，對式（）進行定積分故由此可得小球在空中任意位置時沿軸方向的速度為（）為了求小球的運動方程，分別對式（）和式（）分離變量后再進行定積分，最后得小球在空中的運動方程（a）由式（a）消去時間，可得小球的軌跡為（b）討論從式（）和式（）知，空氣阻力在軸和上的投影分別表示為和，其中和都是具有正負值的代數(shù)量由圖.（b）可知，為正值，而為負值可見為負值，而為正值由式（）可知，與的正負號相反，故小球在水平方向作減速，同時沿水平方向的空氣阻力也逐漸減小由式（）可知，當時，小球在鉛垂向下方向作加速運動，使小球在鉛垂方向上的分速度由零逐漸增大與此同時，沿鉛垂方向的阻力也隨同增大，使小球沿鉛垂方向的分加速度逐漸變小當與重力大小相等時，小球沿鉛垂方向的分加速度等于零由式（）可知，當時，可得但本例的高度是有限值，故不可能達到值小