第二章離散型隨機(jī)變量及其分布

1、第二章 離散型隨機(jī)變量及其分布2.1.1離散型隨機(jī)變量定義1：隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量（random variable )隨機(jī)變量常用字母 X , Y， 表示（隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射，隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗的結(jié)果映為實數(shù)；試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域）定義2：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量 ( discrete random variable ) .（電燈泡的壽命 X 的可能取值是任何一個非負(fù)實數(shù)，而所有非負(fù)實數(shù)不能一一列出，所以 X 不是離散型隨機(jī)變量）注意：（1）有些隨機(jī)試驗的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)量來

2、表達(dá)如投擲一枚硬幣，=0，表示正面向上，=1，表示反面向上（2）若是隨機(jī)變量，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量小結(jié) ：隨機(jī)變量離散型、隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量的概念 隨機(jī)變量是關(guān)于試驗結(jié)果的函數(shù)，即每一個試驗結(jié)果對應(yīng)著一個實數(shù)；隨機(jī)變量的線性組合=a+b(其中a、b是常數(shù))也是隨機(jī)變量2.1.2離散型隨機(jī)變量的分布列1. 分布列:設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取得值為 x1，x2，x3，取每一個值xi（i=1，2，）的概率為，則稱表x1x2xiPP1P2Pi為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱的分布列 也可，1,2，n表示的分布列2. 分布列的兩個性質(zhì)：任何隨機(jī)事件發(fā)生的概率都滿足:，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率

3、為1由此你可以得出離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì)：Pi0，i1，2，； P1+P2+=1（3）對于離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和 即 3.特殊的分布列（主要根據(jù)概率的計算方式不同來分類）（1）兩點分布列在一次實驗中，離散型隨機(jī)變量的可能取值為：0，1隨機(jī)變量 X 的分布列是01P像上面這樣的分布列稱為兩點分布列稱X服從兩點分布 ( two一point distribution)，而稱=P (X = 1）為成功概率（兩點分布又稱0一1分布由于只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗叫伯努利（ Bernoulli ) 試驗，所以還稱這種分布為伯努利分布）（2）超

4、幾何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，任取 n 件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件 X=k發(fā)生的概率為,其中，且稱分布列X01P為超幾何分布列如果隨機(jī)變量 X 的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量 X 服從超幾何分布（ hypergeometriC distribution ) . 221條件概率1.定義：設(shè)A和B為兩個事件，P(A)0，稱=為在“A已發(fā)生”的條件下，B發(fā)生的條件概率（conditional probability ). 讀作A 發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的概率2. 條件概率的性質(zhì)（1）非負(fù)性：對任意的Af. （2）如果是兩個互斥事件,則222事件的相互獨立性1相互獨立

5、事件的定義設(shè)A, B為兩個事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 則稱事件A與事件B相互獨立（mutually independent ) .事件（或）是否發(fā)生對事件（或）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件（若與是相互獨立事件，則與，與，與也相互獨立）2相互獨立事件同時發(fā)生的概率：223獨立重復(fù)實驗與二項分布1獨立重復(fù)試驗的定義：指在同樣條件下進(jìn)行的，各次之間相互獨立的一種試驗2獨立重復(fù)試驗的概率公式：一般地，在次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，那么在次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率3.離散型隨機(jī)變量的二項分布:在次獨立重復(fù)試驗中

6、這個事件恰好發(fā)生次的概率，（k0,1,2,，n，）（由于恰好是二項展開式中的各項的值）稱這樣的隨機(jī)變量服從二項分布記作B(n，p)231離散型隨機(jī)變量的均值1. 均值或數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱 為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望（均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量的概率分布中，令，則有，所以的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值 ）2. 均值或期望的一個性質(zhì):（1）（2）若B(n，p)，則np232離散型隨機(jī)變量的方差1. 方差: 對于離散型隨機(jī)變量，如果它所有可能取的值是，且取

7、這些值的概率分別是，那么,稱為隨機(jī)變量的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機(jī)變量的期望2. 標(biāo)準(zhǔn)差:的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作（隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛）3.方差的性質(zhì)：（1）；（2）若服從兩點分布，則 p(1-p)；（3）若B(n，p)，則np(1-p) 24正態(tài)分布1.總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，

8、那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線（它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積）2. 正態(tài)曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示：式中的實數(shù)、是參數(shù)， 的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線3. 正態(tài)分布一般地，如果對于任何實數(shù)，隨機(jī)變量X滿足,則稱 X 的分布為正態(tài)分布（normal distribution ) 正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作如果隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布，則記為X. （參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去佑計；是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計）4正態(tài)曲線的性質(zhì)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交 （2）曲線關(guān)于直線x=對稱 （