第二章行列式習(xí)題解答

1、第二章 行列式習(xí)題解答 1.決定以下9級(jí)排列的逆序數(shù)，從而決定它們的奇偶性：1）；解：，偶排列；2）；解：，偶排列；3）；解：，偶排列. 2.選擇與使1）成偶排列；解：與一個(gè)為3，另一個(gè)為8，而是奇排列，由對(duì)換的性質(zhì)因此有； 2）成奇排列.解：與一個(gè)為3，另一個(gè)為6，而是奇排列，因此有. 3.寫(xiě)出把排列變成排列的那些對(duì)換. 解：4.決定排列的逆序數(shù)，并討論它的奇偶性.解：1與其他數(shù)構(gòu)成個(gè)逆序，2與其他數(shù)構(gòu)成個(gè)逆序,與其他數(shù)構(gòu)成2個(gè)逆序，與構(gòu)成1個(gè)逆序，故.當(dāng)或（為正整數(shù)）時(shí)，排列為偶排列；當(dāng)或（為正整數(shù)）時(shí)，排列為奇排列. 5.如果排列的逆序數(shù)為，排列的逆序數(shù)是多少？解：中任意兩個(gè)數(shù)碼與必在而

2、且僅在兩個(gè)排列或中之一構(gòu)成逆序，個(gè)數(shù)碼中任取兩個(gè)的不同取法有個(gè)，因此兩個(gè)排列的逆序總數(shù)為，所以排列的逆序數(shù)為.6.在6級(jí)行列式中，這兩項(xiàng)應(yīng)帶有什么符號(hào)？解：，因此項(xiàng)帶正號(hào)；，因此項(xiàng)帶正號(hào). 7.寫(xiě)出四級(jí)行列式中所有帶有負(fù)號(hào)并且包含因子的項(xiàng).解：因?yàn)?，因此所求的?xiàng)為. 8.按定義計(jì)算行列式： 1）； 2）； 3）.解：1）該行列式含有的非零項(xiàng)只有，帶的符號(hào)為，值為，因此原行列式等于. 2）該行列式含有的非零項(xiàng)只有，帶的符號(hào)為，值為，因此原行列式等于. 3）該行列式含有的非零項(xiàng)只有，帶的符號(hào)為，值為，因此原行列式等于. 9.由行列式定義證明：.證明：行列式的一般項(xiàng)為，列指標(biāo)只能在1,2,3,4,5

3、中取不同值，故中至少有一個(gè)要取3,4,5中之一，而從而每一項(xiàng)中至少包含一個(gè)零因子，故每一項(xiàng)的值均為零，因此行列式的值為零. 10.由行列式定義計(jì)算中與的系數(shù)，并說(shuō)明理由.解：行列式元素中出現(xiàn)的次數(shù)都是1次的，因此含項(xiàng)每一行都要取含的,因此含項(xiàng)僅有，其系數(shù)為2，符號(hào)為正，的系數(shù)為2.類(lèi)似的含項(xiàng)僅有，其系數(shù)為1，符號(hào)為負(fù)，的系數(shù)為. 11.由，證明：奇偶排列各半.證明：行列式每一項(xiàng)的絕對(duì)值為1，行列式的值為零，說(shuō)明帶正號(hào)項(xiàng)的個(gè)數(shù)等于帶負(fù)號(hào)項(xiàng)的個(gè)數(shù).由定義，當(dāng)項(xiàng)的行指標(biāo)按自然順序排列時(shí)，項(xiàng)的符號(hào)由列指標(biāo)排列的奇偶性所確定，奇排列時(shí)帶負(fù)號(hào)，偶排列帶正號(hào).因此奇偶排列各半.12.設(shè)，其中為互不相同的數(shù).

4、1）由行列式定義，說(shuō)明是一個(gè)次多項(xiàng)式；2）由行列式性質(zhì)，求的根.解：1）在行列式中只有第一行含有，出現(xiàn)最高次數(shù)為次，由為互不相同的數(shù)可得其系數(shù)不為零，因此是一個(gè)次多項(xiàng)式；2）用分別代，均出現(xiàn)了兩行相同，因此行列式為0.即為的全部根. 13.計(jì)算下面的行列式： 1）； 2）； 3）； 4）； 5）； 6）. 解：1）該行列式中每行元素的和為1000的倍數(shù)，第2列與第三列相差100，因此可以先把第2列和第3列分別加到第1列，然后第2列減去第3列后可得. 3） 4）.5）顯然當(dāng)或時(shí)均有兩行元素相同，因此行列式為0.當(dāng)時(shí)6）. 14.證明：證明： 15.算出下列行列式的全部代數(shù)余子式：1)； 2）.解

5、：1）.2） 16.計(jì)算下面的行列式 1） 17.計(jì)算下列級(jí)行列式：1）； 2）3）；4）； 5）.解 1）按第一列展開(kāi)得 也可以按定義計(jì)算，非零項(xiàng)只有兩項(xiàng)及值分別為和，符號(hào)分別為和，因此原行列式=2） 解：當(dāng)時(shí)，行列式等于；當(dāng)時(shí)原行列式；當(dāng)時(shí)，從第二列起，每一列減去第一列得：原行列式=3）解：從第二列起，每一列都加到第一列然后提取因子得4）解：從第二行起每一行減去第一行，然后交換1,2兩行后化為三角形得：.也可以除第2行外，每一行都減去第2行，然后化為三角形計(jì)算. 5) 解：從第2列起每一列都加到第1列，然后按第一列展開(kāi)得到：. 18.證明： 1） 證明：從第2列起，每一列的倍加到第一列即可

6、得：2.證明：當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立，當(dāng)時(shí)，第一行的加到第二行，然后第二行的加到第三行，依次類(lèi)推可得：證法二：按最后一列展開(kāi)即可得.證法三：按第一行展開(kāi)再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明.證法四：從最后一行起，每一行乘以加到上一行，然后按第一行展開(kāi)可得：3）解:原行列式按第一行展開(kāi)得:.因此有,即是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列.因此有.類(lèi)似有.當(dāng)時(shí),解得.證法二：按第一行展開(kāi)找到遞推關(guān)系，再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法加以證明.4）證明：對(duì)行列式的級(jí)數(shù)用第二數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，因此結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)級(jí)數(shù)小于時(shí)結(jié)論成立，對(duì)級(jí)行列式按最后一行展開(kāi)得：由數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)論成立. 注意：因?yàn)橹鲗?duì)角線上第一個(gè)元素為，其它主對(duì)角線上元素為，本行列式按第一行展開(kāi)得到的低級(jí)數(shù)行列式與原行列式形式不同，無(wú)法得到與之間的遞推關(guān)系，而按最后一行可得到遞推關(guān)系. 5） 證明：從第二行起，每一行減去第一行先化為爪形行列式，再三角化 19.用克拉默法則解下列線性方程組： 1）2）3）4） 解：1）系數(shù)行列式故方程組的解為：2.故方程組的解為：3）故方程組的解為：4）,20.設(shè)是數(shù)域中互不相同的數(shù)，是數(shù)域中任一組給定的數(shù)，用克拉默法則證明：存在唯一數(shù)域上的多項(xiàng)式使 證明：設(shè)，由得：把它看成關(guān)于的線性方程組，其系數(shù)行列式為一范德蒙德行列式，由互不相同可得系數(shù)行列式不為0，由克拉默法則，方程組解唯一，即滿足的多