第十一章連續(xù)統(tǒng)的不可數(shù)性

1、第十一章 連續(xù)統(tǒng)的不可數(shù)性19世紀的數(shù)學(xué)每一個世紀都以一種奇特的方式，顯示不同的數(shù)學(xué)重點和數(shù)學(xué)思維方向。18世紀顯然是“歐拉世紀”，因為他在學(xué)術(shù)領(lǐng)域沒有任何對手，始終居于統(tǒng)治地位，并為后代留下了珍貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。相比之下，19世紀雖然沒有一位特別出類拔萃的數(shù)學(xué)家，但卻有幸擁有許多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，他們將數(shù)學(xué)疆界推向新的令人意想不到的方向。如果說19世紀不屬于某一位數(shù)學(xué)家，那么，它確實呈現(xiàn)出幾個重要的主旋律。19世紀是抽象與廣義化的世紀，是對數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)進行深入分析的世紀，這種邏輯基礎(chǔ)曾構(gòu)成牛頓、萊布尼茲和歐拉的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)不再受“物理實在性”的局限而變得越來越獨立，而在此之前，這種“物理實在性”始

2、終明顯地將數(shù)學(xué)束縛于自然科學(xué)。這種脫離實在世界的傾向可以說是以 19世紀前 30年出現(xiàn)的非歐幾何作為其獨立宣言的。我們在第二章的后記中曾說過，當(dāng)歐幾里得的平行線公設(shè)被舍棄而代之以另一命題的時候，出現(xiàn)了一個“奇怪的新世界”。突然間，通過直線外一點，至少可以畫兩條直線與之平行；相似三角形變成了全等；而三角形的內(nèi)角和也不再等于180。然而，對于非歐幾何中所有這些似乎矛盾的性質(zhì)，沒有一個人能夠從中找出邏輯矛盾。歐金尼奧貝爾特拉米證明了非歐幾何與歐氏幾何一樣，在邏輯上是成立的。從而在這兩種幾何之間架起了一座橋梁。我們可以設(shè)想，比方說，數(shù)學(xué)家甲致力于研究歐氏幾何，而數(shù)學(xué)家乙則專攻非歐幾何。雙方的工作具有等

3、效的邏輯正確性。然而“實在的世界”卻不可能既是歐氏幾何的又是非歐幾何的；其中的一位數(shù)學(xué)家必定要付出終生的努力去探索一種并非“實在的”體系，那么，他或她是否在虛擲年華呢？19世紀，數(shù)學(xué)家越來越感到對這個問題的答案應(yīng)該是否定的。當(dāng)然，物質(zhì)世界是否如歐幾里得所述，這個問題應(yīng)留待物理學(xué)家去探討。這是一個經(jīng)驗性問題，是通過實驗與嚴格的觀測來確定的，但卻與這兩種幾何體系的邏輯發(fā)展無關(guān)。對于一個熱中非歐幾何優(yōu)美定理的數(shù)學(xué)家來說，美就足夠了。無需物理學(xué)家去告訴數(shù)學(xué)家哪一種幾何是“實在”的，因為在邏輯王國里，兩者都是正確的。所以，幾何學(xué)的這一根本問題帶有一種解放的性質(zhì)，將數(shù)學(xué)從只依賴于實驗室的實驗結(jié)果中解放出來

4、。在這個意義上，我們看到，這與當(dāng)時美術(shù)擺脫對現(xiàn)實的依賴的情形十分相似。19世紀初期，畫家的畫布還像以往一樣，僅僅充當(dāng)了一扇窗戶，人們通過這扇窗戶，可以看到有趣的人和事。當(dāng)然，畫家可以自由設(shè)定基調(diào)，選擇顏色，確定明暗，強調(diào)某一局部而弱化其他部分；但無論如何，畫家的作品就像一幅屏幕，讓大家看到瞬間靜止的事物。19世紀后半期，情況發(fā)生了明顯的變化。在一些美術(shù)大師如保羅塞尚、保羅高庚和樊尚凡高的影響下，美術(shù)作品獲得了自己的生命。畫家可以視畫布為發(fā)揮自己繪畫技能的二維戰(zhàn)場。例如，塞尚認為，可以任意將靜物蘋果與梨變形，以增強整體效果。他批評偉大的印象派畫家克勞德莫奈只有“一只眼睛”，他的意思是說，畫家的藝

5、術(shù)不僅僅限于記錄眼睛所看到的事物?？傊佬g(shù)宣告了從視覺現(xiàn)實中的獨立，同時，數(shù)學(xué)也顯示出其脫離物質(zhì)世界的傾向。這種并行的情況很有趣，以塞尚、高庚和凡高為代表的繪畫，連同以高斯、鮑耶和羅巴切夫斯基為代表的數(shù)學(xué)，其哲學(xué)內(nèi)涵意義深遠，影響持久，至今不衰。當(dāng)然，我們也必須看到，這些發(fā)展并非得到了人們的一致認可。20世紀末，任何一個到美術(shù)館參觀的人，隨時都能聽到種種議論，人們對視覺藝術(shù)的現(xiàn)狀，對在大幅畫布上毫無意義地胡亂涂抹，對那些自稱并不反映現(xiàn)實的作品（這些作品常常爭議很大，而又十分昂貴）頗有微詞。藝術(shù)家的贊助人則常常抱怨當(dāng)代藝術(shù)家的解放走得太遠了。他們渴望看到他們所熟悉的肖像畫和令人賞心悅目的風(fēng)景畫

6、。在這一方面，數(shù)學(xué)與美術(shù)也十分相似。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)界中也有一種對當(dāng)今數(shù)學(xué)狀況不滿的情緒。20世紀的數(shù)學(xué)家不但偏好非歐幾何革命所帶來的思想解放，而且還推動數(shù)學(xué)越來越遠地脫離與實在世界的聯(lián)系，直到把他們的邏輯結(jié)構(gòu)變得抽象而神秘，以致使物理學(xué)家和工程師都如墮煙海，不知其所云。在許多人看來，這種趨勢已把數(shù)學(xué)變成了一種毫無意義的符號游戲。數(shù)學(xué)史家莫里斯克蘭對這種傾向提出了最暢言無忌的批評，他寫道：“隨著深奧晦澀的原理被系統(tǒng)地闡述，已遠離了最初的應(yīng)用領(lǐng)域，而專注于抽象的形式。通過引入上百個分支概念，數(shù)學(xué)雨后春筍般地擴張為瑣細而龐雜的一個個小門類，它們相互之間很少聯(lián)系，且與最初的應(yīng)用領(lǐng)域很少關(guān)聯(lián)?！笨颂m認為，數(shù)

7、學(xué)在其爭取獨立于物理學(xué)的來之不易的自由的過程中，走得太遠了，以致成為枯燥而任意的純粹形式主義體系。對他的嚴厲批評，數(shù)學(xué)界確應(yīng)認真考慮。作為對克蘭批評的回答，令人感興趣的是，數(shù)學(xué)理論無論有多么抽象，卻常常出人意料地應(yīng)用于非常確實的實際問題。甚至將數(shù)學(xué)與實在斷然分開的革命的非歐幾何，也可以在現(xiàn)代物理書籍中找到它的足跡，現(xiàn)代相對論宇宙學(xué)就在很大程度上依據(jù)非歐幾何建立了宇宙的模型。當(dāng)然，19世紀的數(shù)學(xué)家是不可能預(yù)見到這種應(yīng)用的，他們對于非歐幾何，只是為了研究而研究；如今，非歐幾何已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一部分，并成為物理學(xué)家的必要工具。數(shù)學(xué)有時會在最不可思議的地方出現(xiàn)。論爭還在繼續(xù)。最后，歷史學(xué)家可能會看到，

8、今天的數(shù)學(xué)雖然已遠遠地脫離了實在世界的桎梏，但令人難以置信的是，數(shù)學(xué)總能在其他學(xué)科的研究與發(fā)展中承擔(dān)不可替代的角色。數(shù)學(xué)的抽象化將永遠是19世紀留給人類的一筆財富。除了非歐幾何的產(chǎn)生所提出的這些問題以外，另一個主要論爭是關(guān)于微積分的邏輯基礎(chǔ)。我們可以回想一下，微積分是17世紀末由牛頓和萊布尼茲奠定基礎(chǔ)，而后在18世紀由李昂納德歐拉進一步完善的。然而，這些先驅(qū)者及其同時代的數(shù)學(xué)天才，都未能對微積分的基礎(chǔ)給予充分注意。這些數(shù)學(xué)家如履薄冰，基礎(chǔ)上的裂痕隨時可能招致滅頂之災(zāi)。長期以來，人們始終感到，微積分有其問題。問題存在于對“無窮大”和“無窮小”概念的使用上，在牛頓的流數(shù)術(shù)和萊布尼茲的微積分中，這是

9、必不可少的。微積分的一個核心思想是“極限”。無論微分，還是積分（還不要說級數(shù)收斂性和函數(shù)連續(xù)性的問題），都以這種或那種形式依據(jù)于這一概念?！皹O限”一詞很有啟發(fā)性，并有很強的直感。我們常常說，“我們的耐性或耐力到了極限”。然而，如果我們要從邏輯上準確地說明這一概念，就立刻出現(xiàn)了困難。牛頓曾對此作過嘗試。他的流數(shù)概念要求他必須觀察兩個量的比，并確定當(dāng)這兩個量同時趨向于零時，它們的比將會怎樣。用現(xiàn)代術(shù)語來說，他講的正是兩個無窮小量的比例極限，但他使用了一個更具特色的詞“最后比”。對于牛頓來說，所謂兩個正在消失的量的最后比“應(yīng)當(dāng)理解為，既不是在兩個量消失之前，也不是在它們消失之后，而是正當(dāng)它們消失時的

10、瞬間比?！碑?dāng)然，作為數(shù)學(xué)定義，這沒有什么意義。我們可能贊同牛頓關(guān)于不應(yīng)將極限概念基于兩個量消失之前的比這一觀點，但他所說兩個量消失之后的比又是什么意思呢？牛頓考慮的似乎是當(dāng)分子和分母剛好同時成為零時其說的邏輯困境。那么，萊布尼茲如何走出這一泥淖呢？他同樣需要闡明極限過程中發(fā)生的變化，但他傾向于通過對“無窮小量”的討論來探索這一問題。萊布尼茲所謂的無窮小量盡管不是零，但卻小于任意有限量。他的無窮小量，猶如化學(xué)中的原子一樣，是不可再分的數(shù)學(xué)單元，是最接近于零的量。但與此相關(guān)的哲學(xué)問題顯然使萊布尼茲感到困惑，他不得不作出如下晦澀的說明：“當(dāng)我們談及無窮小量（即在我們的知識中是最小的），它可以被看作是

11、無限小如果有人想理解這些（無窮小），可以想象它們是最終的東西這就足夠了如此假設(shè)是充分的即使認為這樣的東西是不可能的，也完全可以利用它們作為計算的手段，就像代數(shù)中用虛根有極大好處一樣?！痹谶@里，除了萊布尼茲對復(fù)數(shù)的偏見以外，還可以看到他關(guān)于數(shù)學(xué)的令人莫名其妙的陳述。顯然，概念的含糊不清（特別是構(gòu)成微積分基礎(chǔ)的概念）使萊布尼茲猶豫不定。當(dāng)數(shù)學(xué)家們正因微積分遺留的邏輯基礎(chǔ)問題而深感不安時，又受到來自上帝的仆人喬治貝克萊大主教（16851753年）的強有力的攻擊。貝克萊大主教在他刻薄的文章精神分析學(xué)家或神學(xué)家致不信教的數(shù)學(xué)家中嘲弄那些批評神學(xué)基礎(chǔ)是一種虛幻信仰的數(shù)學(xué)家，攻擊他們所信奉的微積分，其邏輯基

12、礎(chǔ)同樣十分脆弱。貝克萊采取以子之矛陷子之盾的策略：“可以說，所有這些（來自數(shù)學(xué)的）觀點都是那些對宗教過于苛求的人設(shè)想和信奉的，他們自稱只相信親眼所見那么如果他們能消化二階或三階流數(shù)和微分，就不會因為某一神學(xué)觀點而反胃?！比绻f這些挖苦還不夠刻薄的話，貝克萊又發(fā)出了更加無情的嘲笑：“所謂流數(shù)是什么？數(shù)學(xué)家們說，是瞬時增量的速度。那么，這些瞬時增量又是什么？它們既不是有限量，也不是無窮小量，然而又不是虛無。我們難道稱它們?yōu)橄Я康挠撵`嗎？”這真糟透了，微積分的基礎(chǔ)居然成了“消失量的幽靈”?？梢韵胂螅瑢τ跀?shù)以百計的數(shù)學(xué)家們來說，貝克萊的冷嘲熱諷會使他們多么焦躁不安。數(shù)學(xué)界逐漸認識到，他們必須正視這一

13、令人頭痛的問題?？v觀18世紀，數(shù)學(xué)家們對微積分在實際應(yīng)用上的巨大成功過于樂觀，以致阻礙了對其基礎(chǔ)理論的研究。但是數(shù)學(xué)界內(nèi)部日益增多的關(guān)注及外界貝克萊的傲慢無禮，已使他們別無選擇。這個問題已經(jīng)迫在眉睫，不能不解決了。這樣，我們看到一個又一個才華橫溢的數(shù)學(xué)家開始探討這一基礎(chǔ)理論。建立嚴格的“極限”理論是一個困難的漫長的過程，因為這一概念的內(nèi)涵非常深奧，需要精確的推理和對實數(shù)系性質(zhì)的深刻理解，這絕非易事。但數(shù)學(xué)家們對這個問題的研究已逐漸有所突破。1821年，法國數(shù)學(xué)家奧古斯坦-路易柯西（17891857年）提出了如下定義：當(dāng)一個變量逐次取的值無限趨近一個定值時，如果最終使變量的值與該定值的差要多小就

14、有多小，那么，這一定值就稱為所有其他值的極限。我們看到，柯西的定義避免了使用像“無窮小”樣含糊不清的詞，他沒有將自己束縛于確定變量達到極限時的瞬間會如何如何。因而，這里也就不會出現(xiàn)消失量的幽靈。相反，他只是說，如果我們能夠使變量的值與某一定值的差要多小就有多小，那么，這一定值就是該變量的極限。這就是所謂“極限回避”，柯西的定義繞開了關(guān)于達到極限的瞬間會發(fā)生什么這一哲學(xué)上的障礙。在柯西看來，最后瞬間的結(jié)局是完全不相干的，重要的是我們已經(jīng)盡可能地澄清了極限這一概念，這才是我們所需要的?？挛鞯亩x產(chǎn)生了深遠的影響，以這一定義為基石，他繼續(xù)闡明了微積分的許多重要概念。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過漫長的道路，進一步完善

15、了基于這一極限定義的微積分，有力地反擊了貝克萊大主教的“關(guān)心”。然而，柯西的陳述尚有一些不足之處。首先，他講到，一個變量“趨近”某一極限，僅憑幻想就提出了一個關(guān)于運動的不明確的概念；如果我們必須依靠直覺來闡述關(guān)于點的移動和相互接近的概念，那么，我們僅僅依賴直覺提出“極限”概念難道就會更好些嗎？其次，柯西使用的“無限”這一措詞看起來也有點兒不確定；其意義需要進一步明確。最后，柯西的定義完全是文字敘述，有必要代之以簡潔、明確、清晰的數(shù)學(xué)符號。于是，便出現(xiàn)了德國數(shù)學(xué)家卡爾維爾斯特拉斯（18151897年）及其追隨者。他們使用一種讀來有些拗口的方法，即“微積分的算術(shù)化”，支撐起微積分的基礎(chǔ)。維爾斯特拉

16、斯學(xué)派的語言是“當(dāng)x趨近于a時，函數(shù)f(x)以L為極限”，可以嚴格地表述為：對于任意給定的0，總存在著一個0，所以，如果0xa，那么，f(x)L能夠成立。不必全面理解這一定義，我們就可以清楚地看出，這個定義與柯西的定義明顯不同。維爾斯特拉斯的定義幾乎全部使用了數(shù)學(xué)符號，而且無一處暗示某一量向其他一些量的移動?？傊?，這是一個極限的靜態(tài)定義。另外，維爾斯特拉斯的定義與前面所引牛頓和萊布尼茲的含糊不清、幾乎引人發(fā)笑的陳述相比，大相徑庭。維爾斯特拉斯邏輯嚴謹?shù)亩x雖然缺乏其前輩的某些趣味和魅力，但在數(shù)學(xué)上卻是無懈可擊的。在此基礎(chǔ)上建立起的微積分大廈一直矗立至今?？低信c無窮的挑戰(zhàn)科學(xué)中常常會出現(xiàn)這種情況

17、，一個問題的解決打開了解決另一個問題的大門。隨著越來越少地依賴直覺構(gòu)造概念而越來越多地依靠維爾斯特拉斯數(shù)學(xué)中的和，數(shù)學(xué)家們開始從更高的視角嚴格地審查微積分。他們得到了一些非常奇特和令人不安的發(fā)現(xiàn)。例如，考慮有理數(shù)與無理數(shù)兩者之間的區(qū)別。有理數(shù)全都可以寫成分數(shù)的形式，可以表示為整數(shù)的比。如果把有理數(shù)化為小數(shù)，則很容易確定：循環(huán)小數(shù)，而是無限不循環(huán)小數(shù)。我們可以說，不論有理數(shù)，還是無理數(shù)，在實數(shù)軸上是處處稠密的，即：在任意兩個有理數(shù)之間，分布著無窮多個無理數(shù)；反之亦然，在任何兩個無理數(shù)之間也分布著無窮多個有理數(shù)。自然而然，我們會放心地推斷，實數(shù)軸上一定均勻地分布著兩個基本相等的巨大的有理數(shù)族與無理

18、數(shù)族。然而，19世紀，隨著時間的推移，越來越多的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)表明，與上述認識相反，這兩個數(shù)族并不相等。這些發(fā)現(xiàn)一般需要非常高深的技巧和精妙的推理。例如，要證明函數(shù)在每一個無理點連續(xù)（直覺上不間斷），并在每一個有理點不連續(xù)（間斷），就必須證明在每一個有理點不存在連續(xù)的函數(shù)，而在每一個無理點不存在不連續(xù)的函數(shù)。這里有一個明顯的指標，即在有理數(shù)族與無理數(shù)族之間不存在對稱或平衡。這就表明，從某種根本意義上說，有理數(shù)與無理數(shù)是不可交換的數(shù)族，但當(dāng)時的數(shù)學(xué)家對這兩個數(shù)族的根本性質(zhì)，尚不十分明了。因而，對實數(shù)系性質(zhì)的深刻理解就促成了我們本章將要討論的定理的產(chǎn)生。雖然柯西、維爾斯特拉斯及其同事們成功地用“極限”概

19、念建立了微積分大廈，但數(shù)學(xué)家們越來越清楚地認識到，最重要、最基本的問題是將微積分最終置于集合的嚴格基礎(chǔ)之上。探索這個問題，并單槍匹馬地創(chuàng)立了奇妙的集合論的是一位時而被人惡意中傷，又曾一度精神崩潰的天才，他的名字叫喬治費迪南德路德維希菲利普康托?？低?845年出生于俄國，但他12歲的時候，隨家移居到德國。宗教是康托家庭的重要組成部分?？低械母赣H原是猶太教徒，后來皈依了新教，而他的母親則生來就是羅馬天主教徒。由于家庭中這種混合的宗教信仰，所以，毫不奇怪，小喬治對神學(xué)產(chǎn)生了一種終生的興趣，特別是那些與無窮性質(zhì)有關(guān)的神學(xué)問題對成年康托的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了很大的影響。并且，康托的家庭還顯示了明顯的藝術(shù)素質(zhì)。在康

20、托家庭中，音樂受到特別的尊崇?？低杏袔讉€親戚在大交響樂團演奏。喬治本人是一個很不錯的素描畫家，他留給后人一些很能表現(xiàn)他天才的鉛筆畫?？傊?，我們可以說康托具備了“藝術(shù)家”的天性。這位敏感的年輕人特別擅長數(shù)學(xué)，1867年，他在柏林大學(xué)獲得博士學(xué)位。在此，他從師于維爾斯特拉斯，并完全掌握了前面所介紹的有關(guān)微積分的嚴謹?shù)耐评矸椒?。康托對?shù)學(xué)分析的深入研究使他越來越多地考慮各種數(shù)集之間的本質(zhì)區(qū)別。特別是，他開始認識到，創(chuàng)立一種比較數(shù)集大小的方法是十分重要的。表面看來，比較數(shù)集大小似乎輕而易舉：只要會數(shù)數(shù)，就會比較。如果有人問你，“你左手與右手的手指一樣多嗎？”你只要分別數(shù)一數(shù)每只手的手指，確認每只手都有

21、5個手指，然后，就可以作出肯定的回答。看來，原始的“數(shù)數(shù)”方法似乎對于確定更復(fù)雜的“同樣大小”或“相同基數(shù)”概念也是必要的。然而，喬治康托以一種貌似天真的方法，顛倒了前人傳統(tǒng)的觀念。我們來看一看他是如何論證的。首先假設(shè)我們生活在一種數(shù)學(xué)知識非常有限的文化中，人們最多只能數(shù)到“3”。這樣，我們就無法用數(shù)數(shù)的方法來比較左手與右手的手指數(shù)目，因為我們的數(shù)系不能使我們數(shù)到“5”。在超出我們計數(shù)能力的情況下，是否就無法確定“相同基數(shù)”了呢？完全不是。實際上，我們不必去數(shù)手指，而只需將兩手合攏，使左手拇指與右手拇指，左手食指與右手食指一一對齊，就能夠回答這個問題了。這種方法展示了一種純粹的一一對應(yīng)關(guān)系，然

22、后，我們可以回答，“是的，我們左手與右手的手指一樣多”。我們再來看另一個例子。假設(shè)許多觀眾涌入一個大禮堂。那么，觀眾與座椅是否一樣多呢？要回答這個問題，我們可以分別數(shù)一數(shù)觀眾與座椅，然后將兩個數(shù)字加以比較，但這種方法過于繁瑣。我們其實只需要求禮堂中的所有觀眾坐下。如果每個人都有座位，或者，每個座位都有人，那么答案就是肯定的，因為坐下這個過程已顯示了一種完全的一一對應(yīng)關(guān)系。這些例子闡明了一個關(guān)鍵的論據(jù)，我們無須去數(shù)集合中元素的個數(shù)，以確定這些集合是否具有同樣數(shù)值。相反，根據(jù)一一對應(yīng)關(guān)系來確定同等數(shù)量的概念已成為一種更原始和更基本的概念；相形之下，數(shù)數(shù)的方法卻成了更復(fù)雜和更高級的方法。喬治康托對這

23、一概念作出了如下定義：如果能夠根據(jù)某一法則，使集合M與集合N中的元素建立一一對應(yīng)的關(guān)系那么，集合M與集合N等價。如果集合M與集合N符合上述康托的等價定義，那么，按現(xiàn)代數(shù)學(xué)家的語言，集合M與集合N“等勢”或具有“相同基數(shù)”。然而，我們暫且拋開這些術(shù)語不談。這一定義之所以重要，就在于它并未限定集合M與集合N必須包含有限個元素；因此它同樣適用于那些包含無限多個元素的集合。據(jù)此，康托進入了一片未開墾的處女地。在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，人們始終以一種懷疑的眼光（即使不是敵對的眼光）看待無窮，并盡可能回避這一概念。從古希臘時期直到康托時代，哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家們都只承認“潛無窮”的存在。也就是說，他們能夠在如下意義上

24、同意整數(shù)集是無窮的：對于整數(shù)集中的任何一個數(shù)我們都能找到下一個比它更大的整數(shù)，但我們決不可能窮舉所有整數(shù)。例如，可以想象把每一個整數(shù)都寫在一張紙條上，然后把這些紙條放進一個（非常大的）袋子里，那么，即使地老天荒我們的工作也永遠不會終止。但是，康托的前輩們反對“實無窮”的概念即，他們反對認為這一過程能夠結(jié)束或袋子能夠裝滿的觀點。用卡爾弗里德里希高斯的話說：“我首先反對將無窮量作為一個實體，這在數(shù)學(xué)中是從來不允許的。所謂無窮，只是一種說話的方式”康托不同意高斯的觀點。與其他無窮集相比，他極愿意將這個裝有所有整數(shù)的袋子看作一個自足的和完整的實體。與高斯不同，他不是將“無窮”僅僅看作一種說話的方式而不

25、予考慮。對于康托來說，“無窮”是一個應(yīng)予以高度重視的確實的數(shù)學(xué)概念，值得我們對其進行嚴格的理性論證。這樣，喬治康托僅僅依據(jù)這兩個基本前提（即可以通過一一對應(yīng)的方法來確定相同基數(shù)和實無窮是一個確實的概念），就創(chuàng)立了最令人興奮和意義十分深遠的理論。這一理論使我們進入了一個難以捉摸的奇特世界，雖然一些數(shù)學(xué)權(quán)威時時嘲笑他的努力，但康托沒有因此而氣餒。終于，憑著天才和勇氣，康托以完全前所未有的方式，正面探討無窮。我們首先設(shè)自然數(shù)集N1，2，3，并設(shè)偶數(shù)集E2，4，6，。注意到這兩個數(shù)集都是完全集，而不必顧忌他們的無窮性質(zhì)。根據(jù)康托的定義，我們可以很容易看出集合N與集合E具有“相同基數(shù)”，因為我們可以列出

26、這兩個數(shù)集之間單純的一一對應(yīng)關(guān)系：這種對應(yīng)關(guān)系明確地顯示出，N集中的每一個元素都被一個、并且只被一個偶數(shù)（即其2倍）所指定；反之，每一個偶數(shù)也都被一個、并且只被一個自然數(shù)（即其一半）指定?？低姓J為，這兩個無窮數(shù)集顯然是等價的。當(dāng)然，乍一看，似乎很矛盾，這里人們本來會以為，偶數(shù)的個數(shù)應(yīng)該是整數(shù)個數(shù)的一半。那么，我們依據(jù)什么才能夠非難康托的演繹推理呢？我們或者拋棄實無窮的概念，甚至否認自然數(shù)集是一個自足的實體；或者拒絕承認簡明的相同基數(shù)定義，而把它看作是荒謬的。但只要我們承認這兩個前提，那么，就不可避免地會得出結(jié)論：偶數(shù)的個數(shù)絕不少于自然數(shù)。同樣，如果設(shè)Z3，2，1，0，1，2，3，即所有整數(shù)（正

27、數(shù)、負數(shù)和零）的集合，那么，我們會看到，N與Z也有相同的基數(shù)，因為它們可以構(gòu)成如下一一對應(yīng)關(guān)系：對于這一對應(yīng)關(guān)系，我們可以進行檢驗，集合N中的每一個自然數(shù)n都與集合Z中的相對應(yīng)。據(jù)此，康托邁出了勇敢的一步。他說，任何能夠與集合N構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系的集合都是可列或可數(shù)無窮集。特別是，他引進了“超限”基數(shù)的新概念，用以表示可數(shù)集中元素的個數(shù)。他選用希伯來文的第一個字母0（讀作“阿列夫零”）來表示超限基數(shù)?？低型ㄟ^對無窮集的研究，創(chuàng)造了一種新的數(shù)字和一種新的數(shù)字類型。我們可以想象，他的許多同代人都會對這個異想天開的可憐蟲搖頭嘆息。然而，不要忘記在我們所假設(shè)的原始數(shù)學(xué)文化中，人們只能數(shù)到三。在這種文化中

28、，一個富有革新精神的天才也許會突發(fā)靈感，通過引入一個新的基數(shù)五來擴大原有數(shù)系：如果一個集合的元素能夠與她右手的手指一一對應(yīng)，那么，她就可以說，這個集合包含了五個元素。這樣一個定義是非常有效的，它提供了一個明確的方法，以確定一個集合在什么情況下具有五個元素（只要手指不受損傷）。在這個意義上，她的手指就成為確定集合是否具有五個元素的標準參考點。這一切看起來是非常合理的。而這恰恰是康托的證明方法，所不同的只是他采用自然數(shù)集合N作為擴大我們數(shù)系的基準。對于他來說，N是基數(shù)為0的原型集合。引入符號如果我們接下來討論有理數(shù)集合Q，情形又會如何呢？如前所述，有理數(shù)是處處稠密的。在這個意義上說，有理數(shù)與整數(shù)不

29、同，整數(shù)是一個緊跟一個，循規(guī)蹈矩地分布在數(shù)軸上的，其中的每一個數(shù)字都與前一個數(shù)字保持相同的距離。實際上，在任何兩個整數(shù)之間（比如在0與1之間），都有無限多的有理數(shù)。因此，任何人都會猜想，有理數(shù)的個數(shù)遠遠超過自然數(shù)。明方法是在有理數(shù)集與自然數(shù)集之間構(gòu)成一一對應(yīng)的關(guān)系。為了弄清他是怎樣構(gòu)成這種對應(yīng)關(guān)系的，我們把有理數(shù)排列成如下形式：注意第一列中所有數(shù)字的分子是1，第二列所有數(shù)字的分子是1，等等；而第一行中所有數(shù)字的分母為1，第二行所有數(shù)字的分母為2，依此類推。總之，任何分數(shù)，都能夠在這一排列中找到它的固定的歸宿。例這一排列包含了集合Q中的所有元素。現(xiàn)在，我們按照這一排列中箭頭所示方向，列出集合Q的

30、元素，由此便產(chǎn)生了以下對應(yīng)關(guān)系：個有理數(shù)相對應(yīng)；更令人吃驚的是，每一個有理數(shù)也將被一個且僅被一個自然數(shù)所指定。根據(jù)康托的定義，我們可以直接得出結(jié)論：有理數(shù)與自然數(shù)一樣多?？低?874年論文中關(guān)于連續(xù)統(tǒng)不可數(shù)性的最初證明至此，似乎所有的無窮集都是可列的，也就是說，每一個無窮集都能與正整數(shù)構(gòu)成一一對應(yīng)的關(guān)系。但是，在看到康托1874年的一篇論文后，數(shù)學(xué)界徹底放棄了這個一相情愿的念頭。這篇論文有一個平鋪直敘的題目：論所有代數(shù)數(shù)集合的性質(zhì)。在這篇論文中，康托明確地提出了不可數(shù)無窮集的問題。僅從文章平凡的標題來看，人們絲毫不會感到這篇論文的革命性。這恰恰與美術(shù)界的根本變革形成了鮮明的對照，美術(shù)作品常常明

31、顯地表現(xiàn)出它的革新。1874年，任何人，即便是門外漢，只要在巴黎看到過莫奈的作品，都會對他“印象派”的繪畫方法感到震驚。只需隨意看一眼，也會從莫奈表現(xiàn)光的手法中看出他的作品與其前輩，如德拉克洛瓦或安格爾，有著明顯的區(qū)別。顯然，莫奈作了某些根本的變革。同是1874年，喬治康托在其劃時代的數(shù)學(xué)論文中，開創(chuàng)了同樣不乏革命性的事業(yè)。然而，這一驚人的數(shù)學(xué)思想恰恰缺乏美術(shù)作品那樣的直接沖擊。康托發(fā)現(xiàn)的不可數(shù)集是所有實數(shù)的集合。實際上，他1874年的論文指出，沒有任何實數(shù)區(qū)間（不論其長度多么?。┠軌蚺c自然數(shù)集構(gòu)成一一對應(yīng)的關(guān)系。他最初的證明使他進入了分析的王國，同時，這一證明需要借助某些相關(guān)的比較先進的數(shù)學(xué)

32、工具。然而，1891年，康托再次回到這個問題上來，提出了一個非常簡單的證明。我們下面將討論這個證明。偉大的定理：連續(xù)統(tǒng)的不可數(shù)性這里“連續(xù)統(tǒng)”一詞的意思是指某一實數(shù)區(qū)間，我們可以用符號（a，b）來表示（圖11.1），即（a，b）表示滿足于不等式axb的一切實數(shù)x的集合在以下的證明中，我們將要證明的不可數(shù)區(qū)間是（0，1），即所謂“單位區(qū)間”。在這一區(qū)間的實數(shù)都可以寫成無窮小數(shù)。例如，出于技術(shù)上的原因，我們必須謹慎地避免采用兩個不同的小數(shù)來表示在這種情況下，我們選擇以一連串0結(jié)尾的小數(shù)展開式，而不選擇以一連串9結(jié)尾的小數(shù)，這樣，在(0,1)區(qū)間中的任何實數(shù)都只有一種小數(shù)表示。我們現(xiàn)在來看康托關(guān)于區(qū)

33、間(0,1)不可數(shù)的證明?？低械淖C明采用了反證法，他從假定自然數(shù)集合N與區(qū)間(0,1)內(nèi)的實數(shù)存在一一對應(yīng)關(guān)系這一前提出發(fā)，然后，由此推導(dǎo)出邏輯矛盾。這一漂亮的證明可以當(dāng)之無愧地排在偉大的定理之列。定理 0與1之間的所有實數(shù)不可數(shù)。證明 我們首先假定區(qū)間(0,1)內(nèi)的實數(shù)能夠與自然數(shù)一一對應(yīng)，然后，從這一假定出發(fā)最終推出邏輯矛盾。為了講清楚康托的論證，我們假定存在如下的對應(yīng)關(guān)系：如果這是真正的一一對應(yīng)關(guān)系，那么，右邊一列區(qū)間(0,1)內(nèi)的每一個實數(shù)都應(yīng)該唯一地與左邊一列中的一個自然數(shù)相對應(yīng)?？低卸x了一個區(qū)間(0,1)內(nèi)的實數(shù)b，令b0.b1b2b3b4b5bn。其中：選擇b1（b的第一位小數(shù)

34、）為與x1的第一位小數(shù)不同且不等于0或9的任何數(shù)字。選擇b2（b的第二位小數(shù)）為與x2的第二位小數(shù)不同且不等于0或9的任何數(shù)字。選擇b3（b的第三位小數(shù)）為與x3的第三位小數(shù)不同且不等于0或9的任何數(shù)字。一般地，選擇bn（b的第n位小數(shù)）為與xn的第n位小數(shù)不同且不等于0或9的任何數(shù)字。為便于理解這一過程，我們可以參照上述的對應(yīng)表。x1的第一位小數(shù)為“3”，因而，我們可以選擇b14；x2的第二位小數(shù)是“0”，我們可以選擇b21；x3的第三位小數(shù)是“2”，我們選擇b33；x4的第四位小數(shù)是“8”，所以，我們選擇b47；等等，依此類推。所以，我們的數(shù)字b就是b0.b1b2b3b4b50.41378

35、現(xiàn)在，我們只需要來看兩個十分簡單，但卻是相互矛盾的事實：(1)因為b是一個無窮小數(shù)，所以，b是實數(shù)。由于我們禁止選擇0或9，因而，數(shù)字b既不可能是0.000000，也不可能是0.999991。換言之，b一定嚴格地位于0與1之間。所以，b一定會在我們上述對應(yīng)表的右邊一列中出現(xiàn)。但是，(2)b不可能出現(xiàn)在數(shù)字x1，x2，x3，xn，中的任何位置，因為 b與x1的第一位小數(shù)不同，bx1；b與x2的第二位小數(shù)不同，bx2；總之，b與xn的第n位小數(shù)不同，bxn。這樣，(1)告訴我們b一定位于上表的右列，而同時(2)又告訴我們，b不可能列入上表，因為它已被明確地“設(shè)計”為不與x1、x2xn等等數(shù)字中的任

36、何一個數(shù)字相同。這一邏輯矛盾說明，我們最初的假定，即單位區(qū)間內(nèi)的所有實數(shù)與自然數(shù)之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系是不正確的。可以斷定，這種對應(yīng)關(guān)系是根本不可能的，所以，0與1之間的所有實數(shù)是不可列的。證訖。我們在選擇b的數(shù)值時之所以避免采用“9”，還有一個原因。我們再來看看上述對應(yīng)表，但這一次我們選用9作為bn的數(shù)值（當(dāng)然，按規(guī)定，它們必須與xn的第n位小數(shù)不同）。那么，我們可以選擇b14，b29，b39，b49，等等。因而，我們最后選定的數(shù)字是b0.49999。這樣，我們所尋求的矛盾（確定一個不能列入表右列的實數(shù)b）就消失了。但是，如果我們在選定b值時避免采用“9”，我們就可以消除因無盡小數(shù)的這一雙重

37、表示所造成的技術(shù)陷阱，從而使證明有效?？低凶约猴@然對這個證明感到非常滿意，他稱這一證明“很不尋常因為證明方法非常簡單”。證明中他把焦點集中在右邊一列小數(shù)的某些位置特殊的數(shù)字上，這些數(shù)字恰好連成一條下降的對角線第一個實數(shù)的第一位小數(shù)，第二個實數(shù)的第二位小數(shù)，等等。這一方法因此被稱為康托的“對角線法”。應(yīng)特別注意的是，在證明中，我們并沒有依賴上述假定的對應(yīng)關(guān)系中的具體數(shù)字去說明問題。僅僅通過抽象的討論就證明了這種一一對應(yīng)的關(guān)系是不可能存在的。持懷疑態(tài)度的人常常一方面承認康托找出的數(shù)字b不能出現(xiàn)在原始對應(yīng)表中，一方面又提出以下補救方法：為什么不將b與自然數(shù)1對應(yīng)，并將表中右邊的每一個數(shù)字都下移一個位

38、置呢？這樣，2將與x1對應(yīng)，3與x2對應(yīng)，等等。因而，康托所推出的矛盾似乎也就消失了，因為b出現(xiàn)在表中右邊一列的最上端。然而，對于這些懷疑論者，遺憾的是，康托可以悠閑地坐等他們將最初的對應(yīng)表調(diào)整完畢，然后再次應(yīng)用對角線法找出一個新表中沒有的實數(shù)b。如果我們多疑的朋友又將b插入了表的最上端，那么，我們可以如法炮制，得出一個表中不存在的b。總而言之，在N與（0，1）之間是不可能存在一一對應(yīng)關(guān)系的。至此，我們神經(jīng)過敏的朋友心中的疑團一定會煙消云散了。這樣，康托證明了許多無窮集合（特別是有理數(shù)集合）都具有基數(shù)0。然而，盡管同是無窮，0與1之間的實數(shù)似乎是“更高一級的”無窮。這一區(qū)間內(nèi)的點如此之多，其數(shù)

39、量絕對超過了正整數(shù)。在這一意義上，單位區(qū)間(0,1)不失一般性。對于任意給出的有限區(qū)間(a,b)，我們可以引入函數(shù)ya(ba)，使區(qū)間(0,1)內(nèi)的點（x軸上的點）與區(qū)間(a,b)內(nèi)的點（y軸上的點）之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，如圖11.2所示。這種一一對應(yīng)的關(guān)系保證了區(qū)間(0,1)與(a,b)具有相同的（不可數(shù)）基數(shù)。也許會令人感到吃驚的是，區(qū)間的基數(shù)與其長度無關(guān)；0與1之間的所有實數(shù)并不比2與1000之間的所有實數(shù)少（在這種情況下，函數(shù)y998x2提供了必要的一一對應(yīng)關(guān)系）。初一看，這似乎是違反直覺的，但當(dāng)人們熟悉了無窮集合的性質(zhì)，便不再相信幼稚的直覺。在此基礎(chǔ)上，再向前邁一小步，我們便可以

40、證明，所有實數(shù)的集合同樣具有與區(qū)間(0,1)相同的基數(shù)。這一次，確定一一對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是如圖11.3所示，區(qū)間(0,1)內(nèi)的每一個點x都有唯一的一個實數(shù)y與它相伴，反之，每一個實數(shù)y，也都有一個且僅有一個區(qū)間(0,1)內(nèi)的點x與之相對應(yīng)?？傊?，這就是必要的一一對應(yīng)關(guān)系?，F(xiàn)在，我們可以跟隨康托，再向前邁出勇敢的一步。正像我們曾把N作為基本集合而引入了第一個超限基數(shù)0一樣，區(qū)間(0,1)也將作為定義一個新的、更大的超限基數(shù)的標準。也就是說，我們可以規(guī)定這一單位區(qū)間的基數(shù)為c（英文“連續(xù)統(tǒng)”一詞的第一個字母）。我們前面的討論表明，不僅區(qū)間(0,1)有基數(shù)c，而且，任何有限長的區(qū)間，以及所有實數(shù)集合本

41、身，都具有這一相同的基數(shù)。另外區(qū)間(0,1)的不可數(shù)性說明，c是一個與0不同的基數(shù)。這樣，康托就用他的方法建立了超限數(shù)的序列。所有這些討論在認識有理數(shù)集與無理數(shù)集的內(nèi)在區(qū)別方面開始顯示出它的重要意義。有理數(shù)集與無理數(shù)集的區(qū)別絕不僅僅是前者可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)而后者則不能的問題。為了更清楚地說明這一點，康托只需要再增加一個結(jié)果：0定理U 如果集合B與C是可數(shù)的，而集合A的所有元素屬于B或者屬于C（或者屬于兩者），那么，集合A是可數(shù)的。（在這種情況下，我們說A是B與C的并集，記作ABC。）證明 所設(shè)的B與C的可數(shù)性保證了它們各自與自然數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系：在集T合B的元素中均勻地插入集合C的

42、元素，我們可以在N與ABC之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系：所以，集合A也是可數(shù)的。這一定理說明，兩個可數(shù)集的并集也是可數(shù)的。證訖?，F(xiàn)在我們可以證明有理數(shù)集與無理數(shù)集的一個較重要的區(qū)別：我們已證明前者是可數(shù)的，對于后者，我們將斷定它不可數(shù)。因為，假設(shè)無理數(shù)集是可數(shù)集。那么，根據(jù)定理U，所有有理數(shù)（我們已證明其可數(shù)性）與所有無理數(shù)（我們假設(shè)其可數(shù)）的并集也應(yīng)該同樣是可數(shù)集。但是，這個并集恰恰是全部實數(shù)的集合，是一個不可數(shù)集。用反證法，我們可以斷定，無理數(shù)過于豐富，以致無法與集合N構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系。不太正規(guī)地說，這意味著無理數(shù)在數(shù)量上大大超過有理數(shù)。實數(shù)遠比有理數(shù)多的原因恐怕只能解釋為實數(shù)軸幾乎被漫無邊際的無理數(shù)所淹沒。數(shù)學(xué)家有時說“大部分”實數(shù)，常常是對