等腰三角形典型例題練習(xí)(含答案

1、等腰三角形典型例題練習(xí) 等腰三角形典型例題練習(xí)一選擇題（共2小題）1如圖，C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，則點(diǎn)D到AB的距離為（）A5cmB3cmC2cmD不能確定2如圖，已知C是線(xiàn)段AB上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側(cè)作等邊ACD和等邊BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N給出以下三個(gè)結(jié)論：AE=BDCN=CMMNAB其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A0B1C2D3二填空題（共1小題）3如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB上的點(diǎn)，DEAC，EFAB，F(xiàn)DBC，則DEF的面積與ABC的面積之比等于_三解答題

2、（共15小題）4在ABC中，AD是BAC的平分線(xiàn)，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且EDF+EAF=180，求證DE=DF5在ABC中，ABC、ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作DEBC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E請(qǐng)說(shuō)明DE=BD+EC6已知：如圖，D是ABC的BC邊上的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF請(qǐng)判斷ABC是什么三角形？并說(shuō)明理由7如圖，ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD連接DE（1）E等于多少度？（2）DBE是什么三角形？為什么？8如圖，在ABC中，ACB=90，CD是AB邊上的高，A=30求證：AB=4BD9如圖，ABC中，AB

3、=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BD=CE，DE與BC相交于點(diǎn)F求證：DF=EF10已知等腰直角三角形ABC，BC是斜邊B的角平分線(xiàn)交AC于D，過(guò)C作CE與BD垂直且交BD延長(zhǎng)線(xiàn)于E，求證：BD=2CE11（2012牡丹江）如圖，ABC中AB=AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分別為E、F、H易證PE+PF=CH證明過(guò)程如下：如圖，連接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如圖，P為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)時(shí)，其它條

4、件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若A=30，ABC的面積為49，點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上，且P到直線(xiàn)AC的距離為PF，當(dāng)PF=3時(shí)，則AB邊上的高CH=_點(diǎn)P到AB邊的距離PE=_12數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且ED=EC，如圖，試確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由”小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：AE_DB（填“”，“”或“=”） （2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，A

5、E與DB的大小關(guān)系是：AE_DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EFBC，交AC于點(diǎn)F（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上，且ED=EC若ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)（請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)果）13已知：如圖，AF平分BAC，BCAF于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AF上，ED=EA，點(diǎn)P在CF上，連接PB交AF于點(diǎn)M若BAC=2MPC，請(qǐng)你判斷F與MCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由14如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F（1）線(xiàn)段AD與BE有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論（2）

6、求BFD的度數(shù)15如圖，在ABC中，AB=BC，ABC=90，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，BE=BF，連接AE、EF和CF，求證：AE=CF16已知：如圖，在OAB中，AOB=90，OA=OB，在EOF中，EOF=90，OE=OF，連接AE、BF問(wèn)線(xiàn)段AE與BF之間有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由17（2006郴州）如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點(diǎn)，過(guò)D分別向AB，AC引垂線(xiàn)，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高（1）DE，DF，CG的長(zhǎng)之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；（2）若D在底邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由18如圖甲所示，

7、在ABC中，AB=AC，在底邊BC上有任意一點(diǎn)P，則P點(diǎn)到兩腰的距離之和等于定長(zhǎng)（腰上的高），即PD+PE=CF，若P點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，那么請(qǐng)你猜想PD、PE和CF之間存在怎樣的等式關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想并加以證明等腰三角形典型例題練習(xí)參考答案與試題解析一選擇題（共2小題）1如圖，C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，則點(diǎn)D到AB的距離為（）A5cmB3cmC2cmD不能確定考點(diǎn)：角平分線(xiàn)的性質(zhì)分析：由已知條件進(jìn)行思考，結(jié)合利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得點(diǎn)D到AB的距離等于D到AC的距離即CD的長(zhǎng)，問(wèn)題可解解答：解：C=90，AD平分BAC交BC于DD到AB的距離即為CD長(zhǎng)C

8、D=53=2故選C2如圖，已知C是線(xiàn)段AB上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側(cè)作等邊ACD和等邊BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N給出以下三個(gè)結(jié)論：AE=BDCN=CMMNAB其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A0B1C2D3考點(diǎn)：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)分析：由ACD和BCE是等邊三角形，根據(jù)SAS易證得ACEDCB，即可得正確；由ACEDCB，可得EAC=NDC，又由ACD=MCN=60，利用ASA，可證得ACMDCN，即可得正確；又可證得CMN是等邊三角形，即可證得正確解答：解：ACD和BCE是等邊三角形，ACD=BCE=

9、60，AC=DC，EC=BC，ACD+DCE=DCE+ECB，即ACE=DCB，ACEDCB（SAS），AE=BD，故正確；EAC=NDC，ACD=BCE=60，DCE=60，ACD=MCN=60，AC=DC，ACMDCN（ASA），CM=CN，故正確；又MCN=180MCANCB=1806060=60，CMN是等邊三角形，NMC=ACD=60，MNAB，故正確故選D二填空題（共1小題）3如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB上的點(diǎn)，DEAC，EFAB，F(xiàn)DBC，則DEF的面積與ABC的面積之比等于1：3考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)

10、分析：首先根據(jù)題意求得：DFE=FED=EDF=60，即可證得DEF是正三角形，又由直角三角形中，30所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得到邊的關(guān)系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得結(jié)果解答：解：ABC是正三角形，B=C=A=60，DEAC，EFAB，F(xiàn)DBC，AFE=CED=BDF=90，BFD=CDE=AEF=30，DFE=FED=EDF=60，DEF是正三角形，BD：DF=1：，BD：AB=1：3，DEFABC，=，DF：AB=1：，DEF的面積與ABC的面積之比等于1：3故答案為：1：3三解答題（共15小題）4在ABC中，AD是BAC的平分線(xiàn)，E、F分

11、別為AB、AC上的點(diǎn)，且EDF+EAF=180，求證DE=DF考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線(xiàn)的定義分析：過(guò)D作DMAB，于M，DNAC于N，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)求出DN=DM，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理和平角定義求出AED=CFD，根據(jù)全等三角形的判定AAS推出EMDFND即可解答：證明：過(guò)D作DMAB，于M，DNAC于N，即EMD=FND=90，AD平分BAC，DMAB，DNAC，DM=DN（角平分線(xiàn)性質(zhì)），DME=DNF=90，EAF+EDF=180，MED+AFD=360180=180，AFD+NFD=180，MED=NFD，在EMD和FND中，EMDFND，DE=DF5在ABC中，AB

12、C、ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作DEBC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E請(qǐng)說(shuō)明DE=BD+EC考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線(xiàn)的性質(zhì)分析：根據(jù)OB和OC分別平分ABC和ACB，和DEBC，利用兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和等量代換，求證出DB=DO，OE=EC然后即可得出答案解答：解：在ABC中，OB和OC分別平分ABC和ACB，DBO=OBC，ECO=OCB，DEBC，DOB=OBC=DBO，EOC=OCB=ECO，DB=DO，OE=EC，DE=DO+OE，DE=BD+EC6已知：如圖，D是ABC的BC邊上的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF請(qǐng)判斷ABC是什么三角形？并

13、說(shuō)明理由考點(diǎn)：等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：用（HL）證明EBDFCD，從而得出EBD=FCD，即可證明ABC是等腰三角形解答：ABC是等腰三角形證明：連接AD，DEAB，DFAC，BED=CFD=90，且DE=DF，D是ABC的BC邊上的中點(diǎn)，BD=DC，RtEBDRtFCD（HL），EBD=FCD，ABC是等腰三角形7如圖，ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD連接DE（1）E等于多少度？（2）DBE是什么三角形？為什么？考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定分析：（1）由題意可推出ACB=60，E=CDE，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知：ACB

14、=E+CDE，即可推出E的度數(shù)；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，BD不但為AC邊上的高，也是ABC的角平分線(xiàn)，即得：DBC=30，然后再結(jié)合（1）中求得的結(jié)論，即可推出DBE是等腰三角形解答：解：（1）ABC是等邊三角形，ACB=60，CD=CE，E=CDE，ACB=E+CDE，（2）ABC是等邊三角形，BDAC，ABC=60，E=30，DBC=E，DBE是等腰三角形8如圖，在ABC中，ACB=90，CD是AB邊上的高，A=30求證：AB=4BD考點(diǎn)：含30度角的直角三角形分析：由ABC中，ACB=90，A=30可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，則結(jié)論即可證明解答：解：ACB=90，

15、A=30，AB=2BC，B=60又CDAB，DCB=30，BC=2BDAB=2BC=4BD9如圖，ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BD=CE，DE與BC相交于點(diǎn)F求證：DF=EF考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)分析：過(guò)D點(diǎn)作DGAE交BC于G點(diǎn)，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得1=2，4=3，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得B=2，則B=1，于是有DB=DG，根據(jù)全等三角形的判定易得DFGEFC，即可得到結(jié)論解答：證明：過(guò)D點(diǎn)作DGAE交BC于G點(diǎn)，如圖，1=2，4=3，AB=AC，B=2，B=1，DB=DG，而B(niǎo)D=CE，DG=CE，在DFG和EFC中，DFGEFC，DF

16、=EF10已知等腰直角三角形ABC，BC是斜邊B的角平分線(xiàn)交AC于D，過(guò)C作CE與BD垂直且交BD延長(zhǎng)線(xiàn)于E，求證：BD=2CE考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)分析：延長(zhǎng)CE，BA交于一點(diǎn)F，由已知條件可證得BFE全BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通過(guò)證明ADBFAC可得FC=BD，所以BD=2CE解答：證明：如圖，分別延長(zhǎng)CE，BA交于一點(diǎn)FBEEC，F(xiàn)EB=CEB=90，BE平分ABC，F(xiàn)BE=CBE，又BE=BE，BFEBCE （ASA）FE=CECF=2CEAB=AC，BAC=90，ABD+ADB=90，ADB=EDC，ABD+EDC=90又DEC=90，EDC+ECD=90，F(xiàn)

17、CA=DBC=ABDADBAFCFC=DB，BD=2EC11（2012牡丹江）如圖，ABC中AB=AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分別為E、F、H易證PE+PF=CH證明過(guò)程如下：如圖，連接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如圖，P為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若A=30，ABC的面積為49，點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上，且P到直線(xiàn)AC的距離為PF

18、，當(dāng)PF=3時(shí)，則AB邊上的高CH=7點(diǎn)P到AB邊的距離PE=4或10考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；三角形的面積分析：（1）連接AP先根據(jù)三角形的面積公式分別表示出SABP，SACP，SABC，再由SABP=SACP+SABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AC=2CH，再由ABC的面積為49，求出CH=7，由于CHPF，則可分兩種情況進(jìn)行討論：P為底邊BC上一點(diǎn)，運(yùn)用結(jié)論P(yáng)E+PF=CH；P為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用結(jié)論P(yáng)E=PF+CH解答：解：（1）如圖，PE=PF+CH證明如下：PEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH，

19、SABP=SACP+SABC，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；（2）在ACH中，A=30，AC=2CHSABC=ABCH，AB=AC，2CHCH=49，CH=7分兩種情況：P為底邊BC上一點(diǎn)，如圖PE+PF=CH，PE=CHPF=73=4；P為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)時(shí)，如圖PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案為7；4或1012數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且ED=EC，如圖，試確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由”小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，

20、如圖1，確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：AE=DB（填“”，“”或“=”） （2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EFBC，交AC于點(diǎn)F（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上，且ED=EC若ABC的邊長(zhǎng)為1，AE=2，求CD的長(zhǎng)（請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)果）考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出D=ECB=30，求出DEB=30，求出BD=B

21、E即可；（2）過(guò)E作EFBC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證DEB和ECF全等，求出BD=EF即可；（3）當(dāng)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，E在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)式時(shí)，由（2）求出CD=3，當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求出CD=1解答：解：（1）故答案為：=（2）過(guò)E作EFBC交AC于F，等邊三角形ABC，ABC=ACB=A=60，AB=AC=BC，AEF=ABC=60，AFE=ACB=60，即AEF=AFE=A=60，AEF是等邊三角形，AE=EF=AF，ABC=ACB=AFE=60，DBE=EFC=120，D+BED=FCE+ECD=60，DE=EC，D=ECD，BED=ECF，在DEB

22、和ECF中，DEBECF，BD=EF=AE，即AE=BD，故答案為：=（3）解：CD=1或3，理由是：分為兩種情況：如圖1過(guò)A作AMBC于M，過(guò)E作ENBC于N，則AMEM，ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM=BC=，DE=CE，ENBC，CD=2CN，AMEN，AMBENB，=，=，BN=，CN=1+=，CD=2CN=3；如圖2，作AMBC于M，過(guò)E作ENBC于N，則AMEM，ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM=BC=，DE=CE，ENBC，CD=2CN，AMEN，=，=，MN=1，CN=1=，CD=2CN=113已知：如圖，AF平分B

23、AC，BCAF于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AF上，ED=EA，點(diǎn)P在CF上，連接PB交AF于點(diǎn)M若BAC=2MPC，請(qǐng)你判斷F與MCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定和線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)求出AB=AC=CD，推出CDA=CAD=CPM，求出MPF=CDM，PMF=BMA=CMD，在DCM和PMF中根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可解答：解：F=MCD，理由是：AF平分BAC，BCAF，CAE=BAE，AEC=AEB=90，在ACE和ABE中，ACEABE（ASA）AB=AC，CAE=CDEAM是BC的垂直平分線(xiàn)，CM=BM，CE=BE，CMA=

24、BMA，AE=ED，CEAD，AC=CD，CAD=CDA，BAC=2MPC，又BAC=2CAD，MPC=CAD，MPC=CDA，MPF=CDM，MPF=CDM（等角的補(bǔ)角相等），DCM+CMD+CDM=180，F(xiàn)+MPF+PMF=180，又PMF=BMA=CMD，MCD=F14如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F（1）線(xiàn)段AD與BE有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論（2）求BFD的度數(shù)考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知BAC=C=60，AB=CA，結(jié)合AE=CD，可證明ABECAD，從而證得結(jié)論；

25、（2）根據(jù)BFD=ABE+BAD，ABE=CAD，可知BFD=CAD+BAD=BAC=60解答：（1）證明：ABC為等邊三角形，BAC=C=60，AB=CA在ABE和CAD中，ABECADAD=BE（2）解：BFD=ABE+BAD，又ABECAD，ABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=6015如圖，在ABC中，AB=BC，ABC=90，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，BE=BF，連接AE、EF和CF，求證：AE=CF考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)分析：根據(jù)已知利用SAS即可判定ABECBF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到AE=CF解答：證明：ABC=90，ABE=CBF=90，又

26、AB=BC，BE=BF，ABECBF（SAS）AE=CF16已知：如圖，在OAB中，AOB=90，OA=OB，在EOF中，EOF=90，OE=OF，連接AE、BF問(wèn)線(xiàn)段AE與BF之間有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形分析：可以把要證明相等的線(xiàn)段AE，CF放到AEO，BFO中考慮全等的條件，由兩個(gè)等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找?jiàn)A角相等，這兩個(gè)夾角都是直角減去BOE的結(jié)果，當(dāng)然相等了，由此可以證明AEOBFO；延長(zhǎng)BF交AE于D，交OA于C，可證明BDA=AOB=90，則AEBF解答：解：AE與BF相等且垂直，理由：在AEO與BFO中，RtOAB與RtOEF等腰直角三角形，AO=OB，OE=OF，AOE=90BOE=BOF，AEOBFO，AE=BF延長(zhǎng)BF交AE于D，