線性代數(shù)在橋梁分析中的應(yīng)用

1、橋梁分析線性代數(shù)的應(yīng)用教學(xué)插件教學(xué)目的和要求：通過橋梁分析問題，使學(xué)生：1、 了解線性代數(shù)在土木工程中的應(yīng)用；2、 了解如何通過做一些使問題簡化的假設(shè)，建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；3、 體會學(xué)好線性代數(shù)知識的重要性；4、 激發(fā)學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣。知識點(diǎn)：線性方程組 向量分解計(jì)劃學(xué)時(shí)：1-2學(xué)時(shí)必備技能：1. 力的平衡分析；2. 向量分解；3. 求解線性方程組。主要內(nèi)容1 應(yīng)用場景2 問題分析3 建立數(shù)學(xué)模型4 課外任務(wù)1應(yīng)用場景解方程組在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用。下面給出一個(gè)在土木工程中的應(yīng)用例子，雖然加入了一些幽默元素，但類似的情形土木工程師會經(jīng)常遇到。圖1：一個(gè)危險(xiǎn)的情況一位貨運(yùn)司機(jī)正駕著卡車為一個(gè)數(shù)

2、學(xué)家聚會運(yùn)送物資，但他的卡車超載了。途中，他遇到了一個(gè)古老的桁架橋。這座橋沒有標(biāo)明最大承重載荷。由于注意了到橋下水中有鯊魚，他想知道自己那超重的卡車能否安全過橋，這輛卡車大約重10噸（20，000磅）。他拿出手機(jī)給你打電話，請你幫忙分析，并給出建議。圖1中卡車正處于使桁架結(jié)構(gòu)內(nèi)力和壓力最大的位置。2問題分析桁架結(jié)構(gòu)很堅(jiān)固，是由銷連接的三角形構(gòu)成的。因此，桁架結(jié)構(gòu)不會彎曲（變成一個(gè)微笑的或者皺眉的形狀），但是可以拉伸或壓扁。 兩個(gè)相同的桁架對稱地支撐著橋面，橋的兩側(cè)各一個(gè)（在圖1中，看不見第二個(gè)桁架，它在第一個(gè)后面）。每個(gè)桁架結(jié)構(gòu)承載卡車重量的一半?？ㄜ嚭拓浳锟傊厥?0，000磅，因此每個(gè)桁架結(jié)

3、構(gòu)承重10，000磅。假設(shè)卡車前面比較重，前輪承受5720磅的重量，后輪承受4280磅，如圖2所示。在鉸鏈A處，橋被固定，當(dāng)有人剎車時(shí)它不會掉進(jìn)溝里。在鉸鏈D處，橋可以自由的滑動這樣在熱天它可以膨脹。圖2：其中一個(gè)構(gòu)架的示意圖3.建立數(shù)學(xué)模型為了判斷該橋是否會斷裂，可以用節(jié)點(diǎn)法。假設(shè)，當(dāng)橋中桁架的任何組件斷裂時(shí)，整座橋就會斷裂。節(jié)點(diǎn)法是分析桁架每個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡條件。節(jié)點(diǎn)平衡要求該點(diǎn)所受到的所有內(nèi)力和外力相互平衡，否則，桁架將會移動。圖3：節(jié)點(diǎn)法的應(yīng)用如圖3所示，有三個(gè)未知的外力,和，作用在桁架與地面接觸的節(jié)點(diǎn)上。這三個(gè)外力與4280磅和5270磅的負(fù)載共同作用導(dǎo)致桁架組件的內(nèi)力。桁架每個(gè)組件的內(nèi)

4、力可以通過對每個(gè)節(jié)點(diǎn)運(yùn)用節(jié)點(diǎn)法來確定。圖3是節(jié)點(diǎn)法在每個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)用的示意圖。假設(shè)內(nèi)力方向如箭頭所示。所有使桁架組件“截?cái)唷钡牧Ρ頌閺埩?，即作用在桁架組件的拉力。為了把卡車的重量從橋的中間轉(zhuǎn)化為橋兩端的支撐力，一些組件一定會被壓縮，另一些一定會被拉伸。所以合力結(jié)果為負(fù)說明先前的假設(shè)錯(cuò)誤，而那個(gè)特殊的力實(shí)際上是壓力。在圖3中具有負(fù)值的力的箭頭應(yīng)向內(nèi)。為了使桁架滿足平衡條件，在每一節(jié)點(diǎn)處，x 軸方向和y軸方向的合力應(yīng)分別為0。對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 和。大小為4280 lb的力作用在B點(diǎn)和大小為5720 lb的力作用在C點(diǎn)說明，卡車重量直接作用在節(jié)點(diǎn)處。讓我們來看一下如何根據(jù)節(jié)點(diǎn)法分析任一節(jié)點(diǎn)處的受力情況

5、節(jié)點(diǎn)A每個(gè)桁架用桁架兩端節(jié)點(diǎn)處的字母表示，如圖3，對支點(diǎn)A有四個(gè)力的作用, , , 和: 表示作用在A點(diǎn)作用在x軸方向上的力，表示從A點(diǎn)指向B點(diǎn)的力。 表示力的方向?yàn)閺腁指向E。注意，當(dāng)分析A點(diǎn)時(shí)，將力分解在X和Y方向上。圖4：把看作直角三角形斜邊圖4是對力的分析，演示了如何對力進(jìn)行分解。在在Y方向上的分力：在X軸方向的分力大小：為了使A點(diǎn)保持平衡狀態(tài)，該點(diǎn)處X軸方向和Y軸方向的合力分別為0。A點(diǎn)處Y軸方向的合力： 接著你需要求出A點(diǎn)處X軸方向的合力。然后，通過在每一個(gè)支點(diǎn)處重復(fù)這樣的過程，你可以建立一個(gè)方程組以求得各個(gè)桁架組件間未知的力。這個(gè)方程組有唯一解（因?yàn)槲粗獢?shù)的個(gè)數(shù)和方程的個(gè)數(shù)相同）。4.課外任務(wù)1）確定作用在桁架上的所有的內(nèi)力和外力。2）為了評估桁架的安全性，你需要確定桁架的每個(gè)組件最多能承受多大的力而不毀壞。一位土木工程專業(yè)的學(xué)長通過快速計(jì)算