線性代數(shù)第四章矩陣的特征值.ppt

1、第四章 矩陣的特征值,第一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量,第三節(jié) 實對稱矩陣的特征值和特征向量,第二節(jié) 相似矩陣,一 矩陣的特征值,二 特征值與特征向量的基本性質(zhì),第一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量,一、特征值與特征向量的概念,定義4.1,若,則稱為的特征值，,稱為的特征向量,（）,注,并不一定唯一；,階方陣的特征值，就是使齊次線性方程組,特征向量 ，特征值問題只針對方陣；,有非零解的值，即滿足,的都是方陣的特征值,定義4.2 設(shè)A為n階矩陣,含有未知量的矩陣I-A稱為A的特征矩陣,其行列式,為的n次多項式,稱為A的特征多項式,稱為A的特征方程.,求n階矩陣的特征值和特征向量的步驟:,1. 由矩陣A的

2、特征方程,求出A的特征值,2. 對于矩陣A的不同的特征值,求出,一個基礎(chǔ)解系,則,為矩陣A對應(yīng)特征值,的特征向量.,例1. 求矩陣的特征值和特征向量,例2. 求矩陣的特征值和特征向量,練習(xí). 求矩陣的特征值和特征向量,例3. 求矩陣的特征值和特征向量,練習(xí). 求矩陣的特征值和特征向量,例3. 求矩陣的特征值和特征向量,的一個基礎(chǔ)解系為,的一個基礎(chǔ)解系為,練習(xí). 求矩陣B 的特征值和特征向量,二、特征值和特征向量的性質(zhì),定理4.1 n階矩陣A與它的轉(zhuǎn)置有相同的特征值.,有一個成立,則矩陣A的所有特征值的模小于1.即,定理4.2 n階矩陣A=(aij),若,定理4.3 互異特征值對應(yīng)的特征向量線性

3、無關(guān)。,對應(yīng)于特征值 的線性無關(guān)的特征向量.,對應(yīng)于特征值 的線性無關(guān)的特征向量.,、若為可逆陣的特征值，則,的一個特征值為（）,、證階方陣的滿足，則的特征值為,或,、三階方陣的三個特征值為、，則,（）,、求下列方陣的特征值與特征向量,一 相似矩陣及其性質(zhì),二 n階矩陣與對角矩陣相似的條件,第二節(jié) 相似矩陣,可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣,則,定理4.4 (1)相似矩陣有相同的特征值.,(2) 相似矩陣有相同的秩,(3) 相似矩陣的行列式相同.,(4) 相似矩陣同時可逆或者同時不可逆.,注(1)任何一個n階矩陣都有相似矩陣; (2)我們趕興趣的是一個n階矩陣是否能夠相似于一個對角矩陣? (3

4、)若不是任何一個矩陣都能相似于一個對角矩陣,矩陣相似于對角矩陣需要什么條件?或者說什么樣的矩陣能相似于對角矩陣.,定理4.5 階矩陣與n階對角矩陣，,相似的充要條件是矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量。,(二) n階矩陣與對角矩陣相似的條件,設(shè)存在可逆，,使得,于是有,因為可逆，故,且,是的個線性無關(guān)的特征向量。,充分性：,若有個線性無關(guān)的特征向量,對應(yīng)的特征值為,即,令,則P 可逆，且,所以,即與對角矩陣相似,定理的證明告訴我們，如果階矩陣與對角矩陣相似，則的主對角線上的元素就是的全部特征值相似矩陣P的列是對應(yīng)于對角線上 元素的特征向量。,推論 若階矩陣A有n個兩兩不同的特征值，則必與對角矩陣相

5、似,注意,的順序一致,（1）,因此也是不唯一的,推論 若階矩陣有n個特征值,則可相似對角化的任ti重特征值有對應(yīng)ti個線性無關(guān)的特征向量,n階矩陣A對角化的步驟：,1. 求出n階矩陣A的所有特征值,2. 求出矩陣A對應(yīng)于所有特征值的特征向量,特征值和特征向量的對應(yīng).,若A的特征值的個數(shù)小于n（重根按重數(shù)計算）， 則A不與對角矩陣相似。,若A有一個t重特征值，對應(yīng)的特征向量在線性 無關(guān)的意義下小于t，則A不與對角矩陣相似。,3.寫出對角矩陣和相似變換矩陣。,1. 求出n階矩陣A的所有特征值,2. 求出矩陣A對應(yīng)于所有特征值的特征向量,3.寫出對角矩陣和相似變換矩陣。,的一個基礎(chǔ)解系為,的一個基礎(chǔ)

6、解系為,且,第四節(jié) 實對稱矩陣的特征值和特征向量,一 內(nèi)積的定義和性質(zhì),三 正交向量組,二 向量的長度與夾角,四 正交矩陣與正交變換,五 對稱矩陣的相似變換,一、內(nèi)積的定義與性質(zhì),定義4.5,設(shè)維實向量,稱實數(shù),為向量與的內(nèi)積，記作,注：內(nèi)積是向量的一種運算，用矩陣形式表示，有,、性質(zhì),（1）對稱性：,（2）線性性：,（3）正定性：,當且僅當,時,定義4.6 對于n維列向量,其長度為,向量長度也叫向量的模或范數(shù).,特別地,長度為的向量稱為單位向量.,（1）正定性：,（2）齊次性：,（3）三角不等式：,向量長度的性質(zhì),（4）柯西施瓦茲（CauchySchwarz）不等式:,當且僅當與的線性相關(guān)時

7、，等號成立.,注,當,時，,由非零向量得到單位向量,是的單位向量.,稱為把單位化或標準化.,的過程,二、正交向量組,定義4.7,注, 若 ，則與任何向量都正交.,定義4.8 若向量組中的向量兩兩正交，且均為非零向量，則這個向量組稱為正交向量組，簡稱正交組.,由單位向量組成的正交組稱為標準正交組.,定理4.8 正交向量組是線性無關(guān)的.,證明: 若向量組,下面證明,是正交向量組,則對于任意,對于任意的i,即,由i的任意性可得,即正交向量組是線性無關(guān)的.,施密特（Schmidt）正交化法,設(shè),是線性無關(guān)的,把它們化為標準正交,向量組的過程稱為標準正交化.這里我們討論施密特（Schmidt）正交化法.

8、包括正交化和標準化兩個過程.,1）正交化,令,就得到的一個標準正交向量組.,2）標準化,令,注,上述方法中的兩個向量組對任意的,例1,的充要條件是正交.,解,所以,成立的充要條件是,即正交.,已知三維向量空間中，,例2,正交，,解,設(shè),則,即,例3,解,設(shè)非零向量 都于正交，,即滿足方程,或,其基礎(chǔ)解系為,令,1）正交化,令,2）標準化,令,第四章第三節(jié) (三)正交矩陣,1、定義,如果階矩陣滿足：,則稱為正交矩陣.,正交矩陣的性質(zhì),1、正交矩陣行列式為1或者-1；,2、若Q為正交矩陣，則Q可逆，且Q-1=QT;,3、兩個正交矩陣的乘積為正交矩陣。,定理4.9 設(shè)Q為n階矩陣，則Q為正交矩陣的充要條件為Q的行(列)向量組是單位正交向量組。,例:判斷下列矩陣是否為正交矩陣.,定理4.10 對稱矩陣的特征值為實數(shù).,(四) 實對稱矩陣的特征值和特征向量,定理4.11對稱矩陣的互異特征值對應(yīng)的特征向量 正交.,結(jié)