《固體物理學(xué)》概念和習(xí)題 答案

1、固體物理學(xué)概念和習(xí)題固體物理基本概念和思考題： 1. 給出原胞的定義。答：最小平行單元。2. 給出維格納-賽茨原胞的定義。答：以一個格點為原點，作原點與其它格點連接的中垂面(或中垂線)，由這些中垂面(或中垂線)所圍成的最小體積(或面積)即是維格納-賽茨原胞。3. 二維布喇菲點陣類型和三維布喇菲點陣類型。4. 請描述七大晶系的基本對稱性。5. 請給出密勒指數(shù)的定義。6. 典型的晶體結(jié)構(gòu)（簡單或復(fù)式格子，原胞，基矢，基元坐標(biāo)）。7. 給出三維、二維晶格倒易點陣的定義。 8. 請給出晶體衍射的布喇格定律。 9. 給出布里淵區(qū)的定義。10. 晶體的解理面是面指數(shù)低的晶面還是指數(shù)高的晶面？為什么？ 11

2、. 寫出晶體衍射的結(jié)構(gòu)因子。12. 請描述離子晶體、共價晶體、金屬晶體、分子晶體的結(jié)合力形式。 13. 寫出分子晶體的雷納德-瓊斯勢表達(dá)式，并簡述各項的來源。 14. 請寫出晶格振動的波恩-卡曼邊界條件。15. 請給出晶體彈性波中光學(xué)支、聲學(xué)支的數(shù)目與晶體原胞中基元原子數(shù)目之間的關(guān)系以及光學(xué)支、聲學(xué)支各自的振動特點。（晶體含N個原胞，每個原胞含p個原子，問該晶體晶格振動譜中有多少個光學(xué)支、多少個聲學(xué)支振動模式？） 16. 給出聲子的定義。17. 請描述金屬、絕緣體熱容隨溫度的變化特點。18. 在晶體熱容的計算中，愛因斯坦和德拜分別做了哪些基本假設(shè)。 19. 簡述晶體熱膨脹的原因。20. 請描述

3、晶體中聲子碰撞的正規(guī)過程和倒逆過程。固體物理學(xué)黃昆21. 分別寫出晶體中聲子和電子分別服從哪種統(tǒng)計分布（給出具體表達(dá)式）？ 22. 請給出費米面、費米能量、費米波矢、費米溫度、費米速度的定義。 23. 寫出金屬的電導(dǎo)率公式。 24. 給出魏德曼-夫蘭茲定律。 25. 簡述能隙的起因。26. 請簡述晶體周期勢場中描述電子運動的布洛赫定律。27. 請給出在一級近似下，布里淵區(qū)邊界能隙的大小與相應(yīng)周期勢場的傅立葉分量之間的關(guān)系。28. 給出空穴概念。29. 請寫出描述晶體中電子和空穴運動的朗之萬（Langevin）方程。 30. 描述金屬、半導(dǎo)體、絕緣體電阻隨溫度的變化趨勢。 31. 解釋直接能隙和

4、間接能隙晶體。 32. 請說明本征半導(dǎo)體與摻雜半導(dǎo)體的區(qū)別。 33. 請解釋晶體中電子的有效質(zhì)量的物理意義。 34. 給出半導(dǎo)體的電導(dǎo)率。35. 說明半導(dǎo)體的霍爾效應(yīng)與那些量有關(guān)。 36. 請解釋德哈斯-范阿爾芬效應(yīng)。 37. 什么叫費米液體？38. 請給出純金屬的電導(dǎo)率隨溫度的關(guān)系。39. 請解釋刃位錯、螺位錯、晶界和小角晶界并畫出示意圖。40. 請列出順磁性、抗磁性的主要區(qū)別。 41. 請列出鐵磁性固體的主要特征。 42. 請列出亞鐵磁性與反鐵磁性的主要區(qū)別。43. 什么是格波和聲子？晶體中聲子有多少種可能的量子態(tài)？44. 請說明Debye熱容量模型的基本假設(shè)，為什么說Debye熱容量模型

5、在低溫下是正確的？ 45. 什么是近自由電子近似和緊束縛近似？46. 請用能帶論解釋晶體的導(dǎo)電性，并試述導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體能帶的特點？ 47. 什么是n型半導(dǎo)體和p型半導(dǎo)體？什么是本征半導(dǎo)體？48. 試分析晶格熱振動引起晶體熱膨脹的原因以及限制聲子自由程的原因。固體物理學(xué)習(xí)題注意：固體物理習(xí)題集（黃波等編寫）上波矢q的定義（q=1/）與課堂上所用的波矢k相差2（k=2/）；另外習(xí)題集上的量綱多采用厘米克秒制，注意其與國際單位制之間的轉(zhuǎn)換1. 在14種布喇菲格子中，為什么沒有底心四方、面心四方和底心立方格子？2. 在六角晶系中常用4個指數(shù)（h,k,i,l）來表示，如圖，前三個指數(shù)表示晶面族中最

6、靠近原點的晶面在互成120的共平面軸a1,a2,a3上的截距為：a1/h,a2/k,a3/i，第4個指數(shù)表示該晶面在六重軸c上截距為c/l,證明：i=-(h+k),并將下列用(h,k,l)表示的晶面改用(h,k,i,l)表示：(001)(133)(1 10)(323)(100)(010)( 213)。答：根據(jù)幾何學(xué)可知，三維空間獨立的坐標(biāo)軸最多不超過三個。前三個指數(shù)中只有兩 個是獨立的，它們之間存在以下關(guān)系：i-( h + k ) 。（0001），（1323），（1100），（3213），（1010），（0110），（2133）。3. 證明理想六角密堆積結(jié)構(gòu)的c/a比是8/3=1.633，如果

7、c/a值比這個值大得多，可以把晶體視為由原子密集平面所組成，這些面是疏松堆垛的。4. 在單晶硅中，哪個晶面的原子面密度最大？在面心立方晶格中，哪個晶面的原子面密度最大？答：單晶硅中，晶面上的原子密度是(111)(110)(100)；面心立方晶格中，晶面原子排列密度（111） (100) (110)。5. 如圖的兩種正六邊形（邊長為a）平面格子是布喇菲格子還是復(fù)式格子？應(yīng)如何選取其基矢和原胞？6. 六角空間點陣，六角空間點陣的基矢可以取為：a=3a2x+a2y；b=-3a2x+a2y；c=cz；（1） 證明：原胞的體積是32a2c；（2）證明：倒易點陣的基矢是：A=23ax+2ay，B=23ax

8、+2ay，C=2cz；因此直接點陣就是它本身的點陣，但軸經(jīng)過了轉(zhuǎn)動；（3） 描述并繪出六角空間點陣的第一布里淵區(qū)。7. 證明第一布里淵區(qū)的體積是23Vc此處Vc是晶體初基晶胞的體積。8. 金剛石的晶體結(jié)構(gòu)是一類典型的結(jié)構(gòu)，如果晶胞是慣用立方體，基元由八個原子組成； （1） 給出這個基元的結(jié)構(gòu)因子；（2） 求結(jié)構(gòu)因子的諸零點并證明金剛石結(jié)構(gòu)所允許的反射滿足h+k+l=4n，且所有指數(shù)都是偶數(shù)，n是任何整數(shù)；否則所有指數(shù)都是奇數(shù)。體心立方、面心立方晶胞的結(jié)構(gòu)因子和消光條件。如：面心立方晶體慣用晶胞基元包含幾個原子，寫出其基元原子的位置和其衍射的結(jié)構(gòu)因子，并給出消光條件9. 如果a表示晶格常數(shù)，表示

9、入射光束與衍射光束之間的交角，證明對于簡單立方晶格，sin2=2ah2+k2+l212式中（h k l）為密勒指數(shù)，為入射光波長。10. 畫出體心立方和面心立方晶體結(jié)構(gòu)的金屬在（100），（110），（111）面上的原子排列。11. 若一晶體的總互作用能可表示為：Ur=N2-rm+rn，試求：（1） 平衡間距r0；（2） 結(jié)合能W； （3） 體彈性模量；（4） 若m=2,n=10,r0=3,W=4eV,求、的值。12. (黃昆教材2.6)用雷納德-瓊斯勢計算Ne在體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)中的結(jié)合能之比。13. (黃昆教材2.7)對于H2，從氣體的測量得到雷納德-瓊斯勢中的參數(shù)為：=5010-23

10、J，=2.96，計算一摩爾氫原子結(jié)合成面心立方固體分子氫時的結(jié)合能。(A12=12.13, A6=14.45)14. (固體物理習(xí)題集1.15和黃昆教材1.11)證明六角晶體的介電常數(shù)張量為10002000215. (固體物理習(xí)題集2.1)設(shè)兩原子間的互作用能可表示為：ur=-rm+rn式中，第一項為引力能；第二項為排斥能；、均為正常數(shù)。證明，要使這兩原子系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，必須nm。16. (固體物理習(xí)題集2.2)設(shè)兩原子間的互作用能可由：ur=-rm+rn表述。若m=2,n=10，而且兩原子構(gòu)成穩(wěn)定的分子，其核間距離為：310-10m，離解能為4eV,試計算：（1）和；（2）使該分子分裂所必

11、須的力和當(dāng)分裂發(fā)生時原子核間的臨界間距； （3）使原子間距比平衡距離減少10%時所需要的壓力。17. (固體物理習(xí)題集2.11)有一晶體，平均每對離子的互作用能為：uR=AnRn-e2R 式中，R是最RR近鄰離子間距；是馬德隆常數(shù)；、An為常數(shù)。若n=10, =7.5,平衡時最近鄰距離R0=2.8110-10m。求由2N=21022個離子組成的這種晶體平衡時的總互作用能。18. (固體物理習(xí)題集2.21)設(shè)LiF晶體(NaCl結(jié)構(gòu))的總互作用能可寫成：U=N2Ze-R/-e2/R， 式中，N、Z、R分別代表晶體的離子總數(shù)、任一離子的最近鄰數(shù)和離子間的最短間距；是馬德隆常數(shù)；、為參量。求平衡時最

12、近鄰間距R0、總結(jié)合能U0和體積彈性模量B的表達(dá)式。19. (固體物理習(xí)題集2.32)設(shè)NaCl晶體的互作用能可表示為：UR=-N2e2/R-Ae-R/式中的N、R、A分別為晶體中的離子數(shù)、近鄰離子間距、排斥核半徑和排斥能參數(shù)。實驗測定，NaCl晶體近鄰離子的平衡間距R0=2.8210-10m，體積彈性模量K=2.41011dyn/cm2，已知NaCl結(jié)構(gòu)的馬德隆常數(shù)=1.7476，試求NaCl晶體的排斥核半徑和排斥能參數(shù)A。20. 2N個正負(fù)離子組成一個一維鏈晶體。平衡時兩個最近鄰正負(fù)離子間距為R0。試證：(1)該晶體的馬德隆常數(shù)為2ln2。(2)自然平衡狀態(tài)下的結(jié)合能為EbR0=2Nq2l

13、n240R01-1n。-q +q21. (固體物理習(xí)題集3.5)已知由N個相同原子組成的一維單原子晶格格波的密度可以表示為：g=2Nm2-2-1/2式中m是格波的最高頻率。求證它的振動?？倲?shù)恰好等N。22. (固體物理習(xí)題集3.8)設(shè)有一維原子鏈（如圖），第2n個原子與第2n+1個原子之間的恢復(fù)力常數(shù)為，第2n個原子與第2n-1個原子之間的恢復(fù)力常數(shù)為（0)(1) 已測得帶頂電子的有效質(zhì)量m*=-22a2 ,試求參數(shù)A;(2) 試求能帶寬度；(3) 試求布里淵區(qū)中心點附近電子的態(tài)密度。所以能態(tài)密度為44. (固體物理習(xí)題集7.13)設(shè)vF, TF分別為費米面電子的速度和平均自由時間，g(EF)

14、為費米能級處的狀態(tài)密度，證明：對于球形費米面的情況，電導(dǎo)率=e2 vF2TF g(EF)/345. (固體物理習(xí)題集8.1)證明：在一給定溫度下，當(dāng)電子濃度n=ni(h/e)1/2，空穴濃度p=ni(e/h)1/2時，半導(dǎo)體的電導(dǎo)率為極小。這里ni是本征載流子濃度，e和h分別為電子和空穴的遷移率。46. (固體物理習(xí)題集8.27)實驗得到一鍺樣品不呈現(xiàn)任何霍爾效應(yīng)。已知鍺中電子遷移率為3500cm2/Vs，空穴遷移率為1400cm2/Vs，問電子電流在該樣品的總電流中所占的比例等于多少？47. (黃昆教材4.12)設(shè)有二維正方晶格，晶體勢場為Ux,y=-4Ucos2axcos2ay用近自由電子

15、近似的微擾論（簡并微擾）近似求出布里淵區(qū)頂角（/a,/a）處的能隙。(本題類似于基特爾教材（7.6）)48. (黃昆教材5.1)設(shè)有一維晶體的電子能帶可以寫成Ek=h2ma278-coska+18cos2ka其中，a是晶格常數(shù)，試求： （1）能帶的寬度；（2）電子在波矢k狀態(tài)的速度；（3）能帶底部和能帶頂部的有效質(zhì)量。49. (黃昆教材5.2)晶格常數(shù)為2.5的一維晶格，當(dāng)外加102V/m和107V/m電場時，試分別估算電子自能帶底運動到能帶頂所需要的時間。50. (黃昆教材5.6)若已知E(k)=Ak2+c(kxky+kykz+kzkx)，導(dǎo)出k0點上的有效質(zhì)量張量，并找出主軸方向（使用空間

16、旋轉(zhuǎn)矩陣）。51. (黃昆教材6.1)He3的自旋為1/2，是費米子。液體He3在絕對零度附近的密度為0.081g/cm3。計算費米能EF和費米溫度TF。52. (黃昆教材6.3)若把銀看成具有球形費米面的單價金屬，計算以下各量： （1）費米能和費米溫度； （2）費米球半徑； （3）費米速度；（4）費米球面的橫截面積；（5）在室溫及低溫時電子的平均自由程。銀的密度等于10.5 g/cm3，原子量等于107.87，電阻率等于1.6110-6cm（在295K）0.03810-6cm（在20K）。53. (黃昆教材7.1)InSb的電子有效質(zhì)量me=0.015m（m為電子靜質(zhì)量），介電常數(shù)=18，晶

17、格常數(shù)a=6.479，試計算： （1）施主的電離能； （2）基態(tài)的軌道半徑；（3）若施主均勻分布，相鄰雜質(zhì)原子的軌道之間發(fā)生交疊時，摻有的施主雜質(zhì)濃度應(yīng)高于多少？54. (黃昆教材7.3)已知Si中只含施主雜質(zhì)ND=1015/cm3?，F(xiàn)在40K下測得電子濃度為1012/cm3，試估算施主雜質(zhì)的電離能。Ei=1.38110-2340ln1015-10121.26610181024=1.15610-20J=0.0722eV55. (黃昆教材7.4)某一N型半導(dǎo)體電子濃度為11015/cm3，電子遷移率為1000cm2/Vs，求其電阻率。56. (基特爾教材4.5)孔氏異常（Kohn anomaly

18、）：假定晶面運動方程Fs=pCpus+p-us中平面力常數(shù)Cp取如下形式Cp=Asinpk0apa,其中A和k0是常數(shù)，而p遍取所有的整數(shù)值。這種形式是對于金屬的預(yù)期結(jié)果。利用這個公式和式2=2Mp0Cp1-cospKa求出2和2/K的表達(dá)式，證明K=k0時，2/K是無窮大，于是在k0處2對K或?qū)的圖形有一條垂直的切線：即在k0處色散關(guān)系（K）有一個扭折。（W. Kohn, Phys.Rev.Lett. 2(1959)393曾預(yù)言了與此有關(guān)的一個效應(yīng)。）57. (基特爾教材7.2)約化能區(qū)中的自由電子能量。（a）在空點陣近似下考慮面心立方晶體在約化能區(qū)圖式表示中的自由電子能帶，在約化能區(qū)圖式

19、表示中所有的k都變換到 第一布里淵區(qū)內(nèi)。粗略繪出111方向上的所有能帶的能量，直至相當(dāng)于布里淵區(qū)邊界k=(2/a)(1/2,1/2,1/2)處的最低帶能量的6倍。就令這個能量為能量的單位。這個問題表明，為什么帶邊不一定要在布里淵區(qū)中心。當(dāng)考慮到晶體勢場時，有幾個簡并（能帶交叉）被消除。58. (基特爾教材7.4)金剛石結(jié)構(gòu)中的勢能。（a）試證對于金剛石結(jié)構(gòu)，在G=2A時，一個電子所感受的晶體勢場的傅立葉分量UG為零，其中A是慣用立方晶胞的倒易點陣中的基矢。（b)證明在周期點陣中波動方程通常的一級近似解中與矢量A末端垂直的布里淵區(qū)邊界面上的能隙為零，并且證明在二級近似中該能隙不為零。59. (基特爾教材7.6)正方點陣?？紤]在二維情況下具有晶體勢場U(x,y)=4Ucos(2x/a)cos(2y/a)的正方點陣。應(yīng)用中心方程近似求出布里淵區(qū)角點（/a,/a）處的能隙。這個問題只需解一個22的行列式方程就足夠了。(本題類似于黃昆教材4.12)60. (基特爾教材9.3)六角密堆積結(jié)構(gòu). 考慮點陣常數(shù)為a和c的三維簡單六角點陣晶體的第一布里淵區(qū)，令G