新人教A版必修一-基本不等式-教案

1、基本不等式1了解基本不等式的證明過(guò)程，理解基本不等式及等號(hào)成立的條件2會(huì)用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式及解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題 知識(shí)梳理1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)不等式取等號(hào)2幾個(gè)重要不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同號(hào))；(3)ab()2(a，bR)；(4)()2.3基本不等式求最值(1)兩個(gè)正數(shù)的和為定值，當(dāng)且僅當(dāng)它們相等時(shí)，其積最大(2)兩個(gè)正數(shù)的積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)它們相等時(shí)，其和最小利用這兩個(gè)結(jié)論可以求某些函數(shù)的最值，求最值時(shí)，要注意“一正、二定、三相等”的條件 熱身練習(xí)1若a，bR，且ab0，則下

2、列不等式中，恒成立的是(D)Aa2b22ab Bab2C. D.2 A、C中，ab時(shí)不成立，B中，當(dāng)a與b均為負(fù)數(shù)時(shí)不成立，而對(duì)于D，利用基本不等式xy2(x0，y0)成立，故選D.2已知a，b為正數(shù)，則下列不等式中不成立的是(D)Aab Bab()2C. D. 易知A，B成立，對(duì)于C，因?yàn)閍2b22ab，所以2(a2b2)(ab)2，所以()2，所以，故C成立對(duì)于D，取a4，b1，代入可知，不等式不成立，故D不成立由以上分析可知，應(yīng)選D.3周長(zhǎng)為60的矩形面積的最大值為(A)A225 B450C500 D900 設(shè)矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，則2(xy)60，所以xy30，所以Sxy()2225，

3、即Smax225.當(dāng)且僅當(dāng)xy15時(shí)取“”，故選A.4設(shè)函數(shù)f(x)2x1(x0，b0)過(guò)點(diǎn)(1,2)，則2ab的最小值為8. 因?yàn)橹本€1(a0，b0)過(guò)點(diǎn)(1,2)，所以1，所以2ab(2ab)()4428，當(dāng)且僅當(dāng)，即a2，b4時(shí)，等號(hào)成立故2ab的最小值為8. 利用基本不等式判斷大小關(guān)系下列不等式一定成立的是Ax212x(xR)Bsin x2(xk，kZ)Cx212(x0)Dx(x0) 對(duì)于A，當(dāng)x1時(shí)，x212x，A不正確對(duì)于B，需要滿足sin x0，不等式成立，所以B也不正確；對(duì)于C，x212，當(dāng)且僅當(dāng)x21，即x0時(shí)，取等號(hào)，但x0，所以不等式不能取到等號(hào)，故C正確對(duì)于D，當(dāng)0x1

4、時(shí)，x0且x1時(shí)，lg x2B當(dāng)x(0，)時(shí)，sin x的最小值為4C當(dāng)x0時(shí)，2D當(dāng)0x2時(shí)，x無(wú)最大值 對(duì)于A，當(dāng)0x1時(shí)，lg x0時(shí)，22，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號(hào)成立；對(duì)于D，當(dāng)0x2時(shí)，x單調(diào)遞增，所以當(dāng)x2時(shí)，取得最大值，最大值為. 利用基本不等式求最值(1)已知x0，y0，且1，求xy的最小值 (1)y4x2(54x)3231，當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，取等號(hào)故當(dāng)x1時(shí)，ymax1.(2)(方法一)因?yàn)閤0，y0，1，所以xy()(xy)1061016.當(dāng)且僅當(dāng)，且1，即x4，y12時(shí)，上式取等號(hào)故當(dāng)x4，y12時(shí)，(xy)min16.(方法二)由1，得(x1)(y9)9(定值)，

5、可知x1，y9，從而xy(x1)(y9)1021016，所以當(dāng)且僅當(dāng)x1y93，即x4，y12時(shí)，(xy)min16. (1)利用基本不等式求最值時(shí)，要注意“一正、二定、三相等”三個(gè)條件所謂“一正”指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用不等式時(shí)，和或積為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件(2)利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，再利用基本不等式2(1)若x0，y0，且2x3y6，則xy的最大值為.(2)(2018江蘇杭州一模)若對(duì)任意的x1，a恒成立，則a的最大值是(B)A4 B6C8 D10 (1)因?yàn)閤0，y0，且2x3y6.所以xy(2x)(3y)()2，當(dāng)且

6、僅當(dāng)2x3y3，即x，y1時(shí)，xy取得最大值.(2)a對(duì)x(1，)恒成立，即a()min.因?yàn)?x1)2，因?yàn)閤1，所以(x1)2226，當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x3時(shí)，取“”，所以a6.故a的最小值為6. 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用(2017江蘇卷)某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是_ 一年的總運(yùn)費(fèi)為6(萬(wàn)元)一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用的和為(4x)萬(wàn)元因?yàn)?x2240，當(dāng)且僅當(dāng)4x，即x30時(shí)取得等號(hào)，所以當(dāng)x30時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小 30 應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題

7、的步驟：先理解題意，設(shè)變量時(shí)一般把要求的最大(小)值的變量定為函數(shù)；建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最大(小)值問(wèn)題；利用基本不等式求函數(shù)的最大(小)值問(wèn)題，注意是否符合“一正、二定、三相等”的條件；回到實(shí)際問(wèn)題中，寫出正確答案3某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 80件 設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元，由題意得y220.當(dāng)且僅當(dāng)(x0)，即x80時(shí)“”成立1基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”或?qū)ⅰ胺e式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，分析其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，有利于在運(yùn)用過(guò)程中根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征靈活地對(duì)公式進(jìn)行合理選擇2基本不等式的應(yīng)用主要是：(1)證明某些不等式；(2)求某些函數(shù)的最值3利用基本不等式求最值，有“和定積最大，積定和最小”的結(jié)論，利用