高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品03：函數(shù)基本性質(zhì)

1、.第3講 函數(shù)基本性質(zhì)一【課標(biāo)要求】1通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；2結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；二【命題走向】從近幾年來(lái)看，函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，因此在復(fù)習(xí)中，針對(duì)不同的函數(shù)類別及綜合情況，歸納出一定的復(fù)習(xí)線索預(yù)測(cè)2010年高考的出題思路是：通過(guò)研究函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及最值預(yù)測(cè)明年的對(duì)本講的考察是：（1）考察函數(shù)性質(zhì)的選擇題1個(gè)或1個(gè)填空題，還可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)出研究函數(shù)性質(zhì)的大題；（2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)的性質(zhì)，以組合形式、一題多角度考察函數(shù)性質(zhì)預(yù)計(jì)成

2、為新的熱點(diǎn)三【要點(diǎn)精講】1奇偶性（1）定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意： 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)； 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： 首先確定函

3、數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 確定f(x)與f(x)的關(guān)系； 作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)（3）簡(jiǎn)單性質(zhì)：圖象的對(duì)稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2單調(diào)性（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2

4、時(shí)，都有f(x1)f(x2)），那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；注意： 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； 必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1x2時(shí)，總有f(x1)f(x2)（2）如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。（3）設(shè)復(fù)合函數(shù)y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定義域的某個(gè)區(qū)間，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或減）函數(shù)，y= f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則

5、函數(shù)y= fg(x)在A上是增函數(shù)；若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y= f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y= fg(x)在A上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟： 任取x1，x2D，且x10與a 0時(shí)， ，當(dāng)a 0時(shí)，f(x)為奇函數(shù)； 當(dāng) 時(shí)， 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問(wèn)題，難度不大，解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的解析式能 化簡(jiǎn)，一般應(yīng)考慮先化簡(jiǎn)，但化簡(jiǎn)必須是等價(jià)變換過(guò)程（要保證定義域不變）例2(2007年江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué))已知函數(shù)，給出以下三個(gè)條件:(1

6、) 存在，使得；(2) 成立；(3) 在區(qū)間上是增函數(shù).若同時(shí)滿足條件 和 （填入兩個(gè)條件的編號(hào)），則的一個(gè)可能的解析式為 .答案 滿足條件(1)(2)時(shí),等；滿足條件(1)(3)時(shí),等；滿足條件(2)(3)時(shí),等題型二：奇偶性的應(yīng)用例3重慶文）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)。（）求的值； （）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；【解】（1） （2）點(diǎn)評(píng)：若奇函數(shù)的定義域包含，則題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性例5（2008上海文，19）（本題滿分16分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分已知函數(shù)（1）若，求的值；（2）若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解】（1）. .2分由條件

7、可知，解得 6分 .8分（2）當(dāng) 10分即 13分故m的取值范圍是 .16分點(diǎn)評(píng)：本題用了兩種方法：定義法和導(dǎo)數(shù)法，相比之下導(dǎo)數(shù)法比定義法更為簡(jiǎn)潔例6已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對(duì)xR有f(x)0，且f(5)=1，設(shè)F(x)= f(x)+，討論F (x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。解：這是抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，應(yīng)該用單調(diào)性定義解決在R上任取x1、x2，設(shè)x1x2，f(x1) f(x2)， f(x)是R上的增函數(shù)，且f(5)=1，當(dāng)x5時(shí)0 f(x)5時(shí)f(x)1; 若x1x25，則0f(x1)f(x2)1, 0 f(x1)f(x2)1,0, F (x2)x15，則f(x2)f(x1)1 ,

8、 f(x1)f(x2)1, 0, F(x2) F (x1)；綜上，F(xiàn) (x)在（，5）為減函數(shù)，在（5，+）為增函數(shù)點(diǎn)評(píng)：該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性。抽象函數(shù)問(wèn)題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特殊的問(wèn)題，其基本能力是變量代換、換元等，應(yīng)熟練掌握它們的這些特點(diǎn)題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例7(2009山東卷文)已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則( ). A. B. C. D. 答案 D解析 因?yàn)闈M足,所以,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù), 則,又因?yàn)樵赗上是奇函數(shù)， ,得,而由得,又因?yàn)樵趨^(qū)間0,2上是增函數(shù),所以,所以,即,故選D. 【命題立意】:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、

9、周期性等性質(zhì),運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題. 例8（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，分解基本函?shù)為、顯然在上是單調(diào)遞減的，而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。（2）解法一：函數(shù)的定義域?yàn)镽，分解基本函數(shù)為和。顯然在上是單調(diào)遞減的，上單調(diào)遞增；而在上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的。且，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。解法二：， 令 ，得或，令 ，或單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。點(diǎn)評(píng)：該題考察了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。要記住“同增、異減”的規(guī)則.也

10、可通過(guò)導(dǎo)數(shù)方法求單調(diào)性。題型五：?jiǎn)握{(diào)性的應(yīng)用例9已知偶函數(shù)f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式flog2(x2+5x+4)0。解：f(2)=0,原不等式可化為flog2(x2+5x+4)f(2)。 又f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，f(x)在(,0)上為減函數(shù)且f(2)=f(2)=0。不等式可化為log2(x2+5x+4)2或log2(x2+5x+4)2由得x2+5x+44，x5或x0由得0x2+5x+4得x4或1x由得原不等式的解集為x|x5或x4或1x或x0。例10已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)在0，+上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使f(c

11、os23)+f(4m2mcos)f(0)對(duì)所有0,都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說(shuō)明理由解：f(x)是R上的奇函數(shù)，且在0，+上是增函數(shù)，f(x)是R上的增函數(shù)，于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f(cos23)f(2mcos4m)，即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20。設(shè)t=cos,則問(wèn)題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在0，1上的最小值為正當(dāng)0,即m0m1與m042m4+2，421,即m2時(shí)，g(1)=m10m1。m2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m42。另法(僅限當(dāng)m

12、能夠解出的情況)： cos2mcos+2m20對(duì)于0,恒成立，等價(jià)于m(2cos2)/(2cos) 對(duì)于0,恒成立當(dāng)0,時(shí)，(2cos2)/(2cos) 42，m42。點(diǎn)評(píng)：上面兩例子借助于函數(shù)的單調(diào)性處理了恒成立問(wèn)題和不等式的求解問(wèn)題題型六：最值問(wèn)題例11（2009江蘇卷）(本小題滿分16分) 設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù). (1)若，求的取值范圍； (2)求的最小值； (3)設(shè)函數(shù)，直接寫(xiě)出(不需給出演算步驟)不等式的解集.解 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問(wèn)題的綜合能力。滿分16分（1）若，則（2）當(dāng)時(shí)，

13、當(dāng)時(shí)， 綜上（3）時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，0,得：討論得：當(dāng)時(shí)，解集為;當(dāng)時(shí)，解集為;當(dāng)時(shí)，解集為.例12設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M=m|m1，f(x)=log3(x24mx+4m2+m+)。(1)證明：當(dāng)mM時(shí)，f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則mM；(2)當(dāng)mM時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(3)求證：對(duì)每個(gè)mM,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1。 (1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log3(x2m)2+m+,當(dāng)mM時(shí)，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定義域?yàn)镽反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則只須x24mx+4m2+m+0。令0，即16m24(4

14、m2+m+)0，解得m1，故mM。(2)解析：設(shè)u=x24mx+4m2+m+，y=log3u是增函數(shù)，當(dāng)u最小時(shí)，f(x)最小。而u=(x2m)2+m+，顯然，當(dāng)x=m時(shí)，u取最小值為m+，此時(shí)f(2m)=log3(m+)為最小值。(3)證明：當(dāng)mM時(shí)，m+=(m1)+ +13，當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號(hào)成立。log3(m+)log33=1點(diǎn)評(píng)：該題屬于函數(shù)最值的綜合性問(wèn)題，考生需要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行處理題型七：周期問(wèn)題例13已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時(shí)函數(shù)取得最小值。證明：；求的解析式；求在上的解析式。解：是以為周期的

15、周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，。當(dāng)時(shí)，由題意可設(shè)，由得，。是奇函數(shù)，又知在上是一次函數(shù)，可設(shè)，而，當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，故時(shí)，。當(dāng)時(shí)，有，。當(dāng)時(shí)，。點(diǎn)評(píng)：該題屬于普通函數(shù)周期性應(yīng)用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征五【思維總結(jié)】1判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價(jià)形式：f(-x)= f(x)f(-x) f(x)=0；2對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對(duì)稱性的反映；3若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0，因此，“f(x)為奇函數(shù)”是f(0)=0的非充分非必要條件；4奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此根據(jù)圖象的對(duì)稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性。5若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對(duì)f(x)定義域