第二章解析函數ppt課件

1、1,第二章 解析函數,第一節(jié) 解析函數的概念 第二節(jié) 函數解析的充要條件 第三節(jié) 初等函數,第一節(jié) 解析函數的概念,一、復變函數的導數與微分,二、解析函數的概念,三、小結與思考,3,一、復變函數的導數與微分,1.導數的定義:,4,在定義中應注意:,5,例1,解,6,例2,解,7,8,例3,解,9,10,2.可導與連續(xù):,函數 f (z) 在 z0 處可導則在 z0 處一定連續(xù), 但函數 f(z) 在 z0 處連續(xù)不一定在 z0 處可導.,11,3.求導法則:,由于復變函數中導數的定義與一元實變函數中導數的定義在形式上完全一致, 并且復變函數中的極限運算法則也和實變函數中一樣, 因而實變函數中的

2、求導法則都可以不加更改地推廣到復變函數中來, 且證明方法也是相同的.,求導公式與法則:,12,13,二、解析函數的概念,1. 解析函數的定義,14,2. 奇點的定義,根據定義可知:,函數在區(qū)域內解析與在區(qū)域內可導是等價的.,但是,函數在一點處解析與在一點處可導是不等價的概念. 即函數在一點處可導, 不一定在該點處解析.,函數在一點處解析比在該點處可導的要求要高得多.,15,例5,解,16,例6,解,17,18,課堂練習,答案,處處不可導,處處不解析.,19,定理,以上定理的證明, 可利用求導法則.,20,根據定理可知:,(1) 所有多項式在復平面內是處處解析的.,21,三、小結與思考,理解復變

3、函數導數與微分以及解析函數的 概念; 掌握連續(xù)、可導、解析之間的關系以及 求導方法.,注意: 復變函數的導數定義與一元實變函數 的導數定義在形式上完全一樣, 它們的一些求 導公式與求導法則也一樣, 然而復變函數極限 存在要求與z 趨于零的方式無關, 這表明它在 一點可導的條件比實變函數嚴格得多.,22,思考題,23,思考題答案,反之不對.,放映結束，按Esc退出.,24,第二節(jié) 函數解析的充要條件,一、主要定理,二、典型例題,三、小結與思考,25,一、主要定理,定理一,柯西介紹,黎曼介紹,26,證,(1) 必要性.,27,28,(2) 充分性.,由于,29,30,31,證畢,32,33,解析函

4、數的判定方法:,34,二、典型例題,解,不滿足柯西黎曼方程,35,四個偏導數均連續(xù),指數函數,36,四個偏導數均連續(xù),37,例2,證,38,39,例3,解,40,例4,證,41,42,例5,解,43,課堂練習,答案,44,例6,證,45,參照以上例題可進一步證明:,46,例7,證,根據隱函數求導法則,47,根據柯西黎曼方程得,48,例8,證,49,50,三、小結與思考,在本課中我們得到了一個重要結論函數 解析的充要條件:,掌握并能靈活應用柯西黎曼方程.,51,思考題,52,思考題答案,放映結束，按Esc退出.,53,Augustin-Louis Cauchy,Born: 21 Aug 1789

5、 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France,柯西資料,54,Riemann,黎曼資料,Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany)Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy,55,第三節(jié) 初等函數,一、指數函數,二、對數函數,三、乘冪 ab 與冪函數,四、三角函數和雙曲函數,五、反三角函數和反雙曲函數,六、小結與思考,56,一、指數函數,1.指數函數的定義:,57,指數函數的定義等價于關系式:,58,2. 加法定理

6、,證,59,例1,解,60,61,例2,解,求出下列復數的輻角主值:,62,63,64,例3,解,65,二、對數函數,1. 定義,66,其余各值為,特殊地,67,例4,解,注意: 在實變函數中, 負數無對數, 而復變數對數函數是實變數對數函數的拓廣.,68,例5,解,69,例6,解,70,71,2. 性質,72,證 (3),證畢,73,三、乘冪 與冪函數,1. 乘冪的定義,注意:,74,75,特殊情況:,76,77,例7,解,答案,課堂練習,78,例8,解,79,2. 冪函數的解析性,它的 各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的,80,它的 各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的,

7、81,四、三角函數和雙曲函數,1. 三角函數的定義,將兩式相加與相減, 得,現在把余弦函數和正弦函數的定義推廣到自變數取復值的情況.,82,83,例9,解,84,有關正弦函數和余弦函數的幾組重要公式,正弦函數和余弦函數在復平面內都是解析函數.,85,(注意：這是與實變函數完全不同的),86,其他復變數三角函數的定義,87,例10,解,88,2. 雙曲函數的定義,89,它們的導數分別為,并有如下公式:,它們都是以 為周期的周期函數,90,例13,解,91,五、反三角函數和反雙曲函數,1. 反三角函數的定義,兩端取對數得,92,同樣可以定義反正弦函數和反正切函數, 重復以上步驟, 可以得到它們的表達式:,2. 反雙曲函數的定義,93,例14,解,94,六、小結與思考,復變初等函數是一元實變初等函數在復數范圍內的自然推廣, 它既保持了后者的某些基本性質, 又有一些與后者不同的特性. 如:,1. 指數函數具有周期性,2. 負數無對數的結論不再成立,3. 三角正弦與余弦不再具有有界性,4. 雙曲正弦與余弦都是周期函數,95,思考題,實變三角函數與復變三角函數在性質上有哪些異同?,