2015中考數(shù)學(xué)專題知識(shí)突破專題二新定義型問(wèn)題

1、2015中考數(shù)學(xué)專題知識(shí)突破專題二 新定義型問(wèn)題一、中考專題詮釋所謂“新定義”型問(wèn)題，主要是指在問(wèn)題中定義了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒(méi)有學(xué)過(guò)的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識(shí)、能力進(jìn)行理解，根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.“新定義”型問(wèn)題成為近年來(lái)中考數(shù)學(xué)壓軸題的新亮點(diǎn).在復(fù)習(xí)中應(yīng)重視學(xué)生應(yīng)用新的知識(shí)解決問(wèn)題的能力二、解題策略和解法精講“新定義型專題”關(guān)鍵要把握兩點(diǎn)：一是掌握問(wèn)題原型的特點(diǎn)及其問(wèn)題解決的思想方法；二是根據(jù)問(wèn)題情景的變化，通過(guò)認(rèn)真思考，合理進(jìn)行思想方法的遷移三、中考典例剖析考點(diǎn)一：規(guī)律題型中的新定義例1 （2013湛江）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求

2、答題：sin30=，cos30=，則sin230+cos230= 1；sin45=，cos45=，則sin245+cos245= 1；sin60=，cos60=，則sin260+cos260= 1觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角A，都有sin2A+cos2A= 1（1）如圖，在銳角三角形ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對(duì)A證明你的猜想；（2）已知：A為銳角（cosA0）且sinA=，求cosA思路分析：將特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可求出其值；由前面的結(jié)論，即可猜想出：對(duì)任意銳角A，都有sin2A+cos2A=1；（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BDAC于D，則ADB=90利用銳角三角函數(shù)的定義得出s

3、inA=，cosA=，則sin2A+cos2A=，再根據(jù)勾股定理得到BD2+AD2=AB2，從而證明sin2A+cos2A=1；（2）利用關(guān)系式sin2A+cos2A=1，結(jié)合已知條件cosA0且sinA=，進(jìn)行求解解：sin30=，cos30=，sin230+cos230=（）2+（）2=+=1；sin45=，cos45=，sin245+cos245=（）2+（）2=+=1；sin60=，cos60=，sin260+cos260=（）2+（）2=+=1觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角A，都有sin2A+cos2A=1（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BDAC于D，則ADB=90sinA=，cosA=，sin

4、2A+cos2A=（）2+（）2=，ADB=90，BD2+AD2=AB2，sin2A+cos2A=1（2）sinA=，sin2A+cos2A=1，A為銳角，cosA=點(diǎn)評(píng)：本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，比較簡(jiǎn)單對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1（2013綿陽(yáng)）我們知道，三角形的三條中線一定會(huì)交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做三角形的重心重心有很多美妙的性質(zhì)，如關(guān)于線段比面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問(wèn)題請(qǐng)你利用重心的概念完成如下問(wèn)題：（1）若O是ABC的重心（如圖1），連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于D，證明：；（2）若AD是ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點(diǎn)，且滿足，

5、試判斷O是ABC的重心嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若O是ABC的重心，過(guò)O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與ABC的頂點(diǎn)重合）（如圖3），S四邊形BCHG，SAGH分別表示四邊形BCHG和AGH的面積，試探究 的最大值2.（1）證明：如答圖1所示，連接CO并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)E點(diǎn)O是ABC的重心，CE是中線，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)DE是中位線，DEAC，且DE=ACDEAC，AOCDOE，=2，AD=AO+OD，=（2）答：點(diǎn)O是ABC的重心證明：如答圖2，作ABC的中線CE，與AD交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為ABC的重心由（1）可知，=，而=，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合（是同一個(gè)點(diǎn)），點(diǎn)O

6、是ABC的重心（3）解：如答圖3所示，連接DG設(shè)SGOD=S，由（1）知=，即OA=2OD，SAOG=2S，SAGD=SGOD+SAGO=3S為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，不妨設(shè)AG=1，BG=x，則SBGD=3xSSABD=SAGD+SBGD=3S+3xS=（3x+3）S，SABC=2SABD=（6x+6）S設(shè)OH=kOG，由SAGO=2S，得SAOH=2kS，SAGH=SAGO+SAOH=（2k+2）SS四邊形BCHG=SABC-SAGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S= 如答圖3，過(guò)點(diǎn)O作OFBC交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)G作GEBC交AC于點(diǎn)E，則OFGEOFBC，OF=CD=BC；GEB

7、C，GE=；=，=OFGE，k=，代入式得：=-x2+x+1=-（x-）2+，當(dāng)x=時(shí)，有最大值，最大值為考點(diǎn)二：運(yùn)算題型中的新定義例2 （2013河北）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有ab=a（a-b）+1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，比如：25=2（2-5）+1=2（-3）+1=-6+1=-5。（1）求（-2）3的值；（2）若3x的值小于13，求x的取值范圍，并在圖所示的數(shù)軸上表示出來(lái)思路分析：（1）按照定義新運(yùn)算ab=a（a-b）+1，求解即可；（2）先按照定義新運(yùn)算ab=a（a-b）+1，得出3x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范圍，即可在數(shù)軸上

8、表示解：（1）ab=a（a-b）+1，（-2）3=-2（-2-3）+1=10+1=11；（2）3x13，3（3-x）+113，9-3x+113，-3x3，x-1在數(shù)軸上表示如下：點(diǎn)評(píng)：本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算及一元一次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題，理解新定義法則是解題的關(guān)鍵對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2（2013十堰）定義：對(duì)于實(shí)數(shù)a，符號(hào)a表示不大于a的最大整數(shù)例如：5.7=5，5=5，-=-4（1）如果a=-2，那么a的取值范圍是 -2a-1（2）如果=3，求滿足條件的所有正整數(shù)x2解：（1）a=-2，a的取值范圍是-2a-1；（2）根據(jù)題意得：34，解得：5x7，則滿足條件的所有正整數(shù)為5，6考點(diǎn)三：探索題型

9、中的新定義例3 （2013欽州）定義：直線l1與l2相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，點(diǎn)M到直線l1、l2的距離分別為p、q，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)（p，q）是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”是（1，2）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A2B3C4D5思路分析： “距離坐標(biāo)”是（1，2）的點(diǎn)表示的含義是該點(diǎn)到直線l1、l2的距離分別為1、2由于到直線l1的距離是1的點(diǎn)在與直線l1平行且與l1的距離是1的兩條平行線a1、a2上，到直線l2的距離是2的點(diǎn)在與直線l2平行且與l2的距離是2的兩條平行線b1、b2上，它們有4個(gè)交點(diǎn)，即為所求解：如圖，到直線l1的距離是1的點(diǎn)在與直線l1平行且與l1的距離是1的兩

10、條平行線a1、a2上，到直線l2的距離是2的點(diǎn)在與直線l2平行且與l2的距離是2的兩條平行線b1、b2上，“距離坐標(biāo)”是（1，2）的點(diǎn)是M1、M2、M3、M4，一共4個(gè)故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)到直線的距離，兩平行線之間的距離的定義，理解新定義，掌握到一條直線的距離等于定長(zhǎng)k的點(diǎn)在與已知直線相距k的兩條平行線上是解題的關(guān)鍵對(duì)應(yīng)訓(xùn)練3.（2013臺(tái)州）如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)畫(huà)一個(gè)“好玩三角形”；（2）如圖在RtABC中，C=90，tanA= ，求證：ABC是“好玩三角形”；（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，ABC=2

11、，點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為s當(dāng)=45時(shí)，若APQ是“好玩三角形”，試求的值；當(dāng)tan的取值在什么范圍內(nèi)，點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有且只有一個(gè)APQ能成為“好玩三角形”請(qǐng)直接寫(xiě)出tan的取值范圍（4）（本小題為選做題，作對(duì)另加2分，但全卷滿分不超過(guò)150分）依據(jù)（3）的條件，提出一個(gè)關(guān)于“在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，tan的取值范圍與APQ是好玩三角形的個(gè)數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個(gè)數(shù)限定不能為1）3解：（1）如圖1，作一條線段AB，作線段AB的中點(diǎn)O，作線段OC，使OC=AB，連接AC、BC，ABC是所求作的三角形（2

12、）如圖2，取AC的中點(diǎn)D，連接BDC=90，tanA=，=，設(shè)BC=x，則AC=2x，D是AC的中點(diǎn)，CD=AC=xBD=2x，AC=BDABC是“好玩三角形”；（3）如圖3，當(dāng)=45，點(diǎn)P在AB上時(shí)，ABC=2=90，APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，當(dāng)P在BC上時(shí)，連接AC交PQ于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，PC=CQ，CAB=ACP，AEF=CEP，AEFCEP，PE=CE，當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等時(shí)，即AE=PQ時(shí)，=2，=，當(dāng)腰AP與它的中線QM相等，即AP=QM時(shí)，作QNAP于N，如圖4MN=AN=MPQN=MN，tanAPQ=，tanAPE=，=+。由可

13、知，當(dāng)AE=PQ和AP=QM時(shí)，有且只有一個(gè)APQ能成為“好玩三角形”，tan2時(shí)，有且只有一個(gè)APQ能成為“好玩三角形”（4）由（3）可以知道0tan，則在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使得APQ成為“好玩三角形”的個(gè)數(shù)為2考點(diǎn)四：開(kāi)放題型中的新定義例4 （2013寧波）若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，我們把這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形如菱形就是和諧四邊形（1）如圖1，在梯形ABCD中，ADBC，BAD=120，C=75，BD平分ABC求證：BD是梯形ABCD的和諧線；（2）如圖2，在1216的網(wǎng)格圖上（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）有一個(gè)扇形BAC，點(diǎn)ABC

14、均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找一個(gè)點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的兩條對(duì)角線都是和諧線，并畫(huà)出相應(yīng)的和諧四邊形；（3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，BAD=90，AC是四邊形ABCD的和諧線，求BCD的度數(shù)思路分析：（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明ABD和BDC是等腰三角形就可以；（2）根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，只要D在上任意一點(diǎn)構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在BAC外作一個(gè)以AC為腰的等腰三角形ACD，構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形，（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出ACD是等腰三角形，從圖4，圖

15、5，圖6三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30的直角三角形性質(zhì)就可以求出BCD的度數(shù)解：（1）ADBC，ABC+BAD=180，ADB=DBCBAD=120，ABC=60BD平分ABC，ABD=DBC=30，ABD=ADB，ADB是等腰三角形在BCD中，C=75，DBC=30，BDC=C=75，BCD為等腰三角形，BD是梯形ABCD的和諧線；（2）由題意作圖為：圖2，圖3（3）AC是四邊形ABCD的和諧線，ACD是等腰三角形AB=AD=BC，如圖4，當(dāng)AD=AC時(shí)，AB=AC=BC，ACD=ADCABC是正三角形，BAC=BCA=60BAD=90，CAD=30，ACD=ADC=75，

16、BCD=60+75=135如圖5，當(dāng)AD=CD時(shí)，AB=AD=BC=CDBAD=90，四邊形ABCD是正方形，BCD=90如圖6，當(dāng)AC=CD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CEAD于E，過(guò)點(diǎn)B作BFCE于F，AC=CDCEAD，AE=AD，ACE=DCEBAD=AEF=BFE=90，四邊形ABFE是矩形BF=AEAB=AD=BC， BF=BC，BCF=30AB=BC，ACB=BACABCE，BAC=ACE，ACB=ACE=BCF=15，BCD=153=45點(diǎn)評(píng)：本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和諧四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，30的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用解答

17、如圖6這種情況容易忽略，解答時(shí)合理運(yùn)用分類討論思想是關(guān)鍵對(duì)應(yīng)訓(xùn)練4（2013常州）用水平線和豎起線將平面分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為a，內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為b，則S=a+b-1（史稱“皮克公式”）小明認(rèn)真研究了“皮克公式”，并受此啟發(fā)對(duì)正三角開(kāi)形網(wǎng)格中的類似問(wèn)題進(jìn)行探究：正三角形網(wǎng)格中每個(gè)小正三角形面積為1，小正三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形，下圖是該正三角形格點(diǎn)中的兩個(gè)多邊形：根據(jù)圖中提供的信息填表： 格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)格點(diǎn)邊多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)格

18、點(diǎn)多邊形的面積多邊形181多邊形273一般格點(diǎn)多邊形abS則S與a、b之間的關(guān)系為S= a+2（b-1）（用含a、b的代數(shù)式表示）4解：填表如下： 格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)格點(diǎn)邊多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)格點(diǎn)多邊形的面積多邊形1818多邊形27311一般格點(diǎn)多邊形abS則S與a、b之間的關(guān)系為S=a+2（b-1）（用含a、b的代數(shù)式表示）考點(diǎn)五：閱讀材料題型中的新定義例5 （2013舟山）對(duì)于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），定義一種運(yùn)算：AB=（x1+x2）+（y1+y2）例如，A（-5，4），B（2，-3），AB=（-5+2）+（4-3）=-2若互不重合的四點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，滿足CD=D

19、E=EF=FD，則C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)（）A在同一條直線上B在同一條拋物線上C在同一反比例函數(shù)圖象上D是同一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)思路分析：如果設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6），先根據(jù)新定義運(yùn)算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），則x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，則C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6）都在直線y=-x+k上解：對(duì)于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y

20、2），AB=（x1+x2）+（y1+y2），如果設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6），那么CD=（x3+x4）+（y3+y4），DE=（x4+x5）+（y4+y5），EF=（x5+x6）+（y5+y6），F(xiàn)D=（x4+x6）+（y4+y6），又CD=DE=EF=FD，（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，則C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，

21、y6）都在直線y=-x+k上，互不重合的四點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)在同一條直線上故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及學(xué)生的閱讀理解能力，有一定難度對(duì)應(yīng)訓(xùn)練5（2013天門）一張矩形紙片，剪下一個(gè)正方形，剩下一個(gè)矩形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個(gè)正方形，剩下一個(gè)矩形，稱為第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形如圖1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，則稱矩形ABCD為2階奇異矩形（1）判斷與操作：如圖2，矩形ABCD長(zhǎng)為5，寬為2，它是奇異矩形嗎？如果是，請(qǐng)寫(xiě)出它是幾階奇異矩形，并在圖中畫(huà)出裁剪線；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）探究與

22、計(jì)算：已知矩形ABCD的一邊長(zhǎng)為20，另一邊長(zhǎng)為a（a20），且它是3階奇異矩形，請(qǐng)畫(huà)出矩形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫(xiě)出a的值（3）歸納與拓展：已知矩形ABCD兩鄰邊的長(zhǎng)分別為b，c（bc），且它是4階奇異矩形，求b：c（直接寫(xiě)出結(jié)果）7解：（1）矩形ABCD是3階奇異矩形，裁剪線的示意圖如下：（2）裁剪線的示意圖如下：（3）b：c的值為，規(guī)律如下：第4次操作前短邊與長(zhǎng)邊之比為：；第3次操作前短邊與長(zhǎng)邊之比為：；第2次操作前短邊與長(zhǎng)邊之比為：；第1次操作前短邊與長(zhǎng)邊之比為：四、中考真題演練一、選擇題1（2013成都）在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的是（）Ay=-x+3

23、 By= Cy=2x Dy=-2x2+x-71C2（2013紹興）若圓錐的軸截圖為等邊三角形，則稱此圓錐為正圓錐，則正圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是（）A90B120C150D1802D3（2013濰坊）對(duì)于實(shí)數(shù)x，我們規(guī)定x表示不大于x的最大整數(shù)，例如1.2=1，3=3，-2.5=-3，若=5，則x的取值可以是（）A40B45C51D563C4（2013烏魯木齊）對(duì)平面上任意一點(diǎn)（a，b），定義f，g兩種變換：f（a，b）=（a，-b）如f（1，2）=（1，-2）；g（a，b）=（b，a）如g（1，2）=（2，1）據(jù)此得g（f（5，-9）=（）A（5，-9）B（-9，-5）C（5，9）D（9，5

24、）4D5（2013常德）連接一個(gè)幾何圖形上任意兩點(diǎn)間的線段中，最長(zhǎng)的線段稱為這個(gè)幾何圖形的直徑，根據(jù)此定義，圖（扇形、菱形、直角梯形、紅十字圖標(biāo)）中“直徑”最小的是（）ABCD5C二、填空題6（2013上海）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中稱為“特征角”如果一個(gè)“特征三角形”的“特征角”為100，那么這個(gè)“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為 306307（2013宜賓）如圖，ABC是正三角形，曲線CDEF叫做正三角形的漸開(kāi)線，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲線CDEF的長(zhǎng)是 4748（2013淄博）在ABC中，P是A

25、B上的動(dòng)點(diǎn)（P異于A，B），過(guò)點(diǎn)P的一條直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，我們不妨稱這種直線為過(guò)點(diǎn)P的ABC的相似線如圖，A=36，AB=AC，當(dāng)點(diǎn)P在AC的垂直平分線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的ABC的相似線最多有 3條839（2013樂(lè)山）對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為（x）即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，若n-xn+，則（x）=n如（0.46）=0，（3.67）=4給出下列關(guān)于（x）的結(jié)論：（1.493）=1；（2x）=2（x）；若（x-1）=4，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是9x11；當(dāng)x0，m為非負(fù)整數(shù)時(shí)，有（m+2013x）=m+（2013x）；（x+y）=（x）+（y）；其中，正確的結(jié)論有 （填寫(xiě)所

26、有正確的序號(hào)）9三、解答題10（2013莆田）定義：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC2=BCAB，則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)如圖2，ABC中，AB=AC=1，A=36，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D（1）求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；（2）求出線段AD的長(zhǎng)10解：（1）A=36，AB=AC，ABC=ACB=72，BD平分ABC，CBD=ABD=36，BDC=72，AD=BD，BC=BD，ABCBDC，即，AD2=ACCD點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)（2）點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，AD=AC=11（2013大慶）對(duì)于鈍角，定義它的三角函數(shù)值如下：sin=sin（180-），cos=-co

27、s（180-）（1）求sin120，cos120，sin150的值；（2）若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1：1：4，A，B是這個(gè)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的值及A和B的大小11解：（1）由題意得，sin120=sin（180-120）=sin60=，cos120=-cos（180-120）=-cos60=-，sin150=sin（180-150）=sin30=；（2）三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1：1：4，三個(gè)內(nèi)角分別為30，30，120，當(dāng)A=30，B=120時(shí)，方程的兩根為，-，將代入方程得：4（）2-m-1=0，解得：m=0，經(jīng)檢驗(yàn)-

28、是方程4x2-1=0的根，m=0符合題意；當(dāng)A=120，B=30時(shí)，兩根為，不符合題意；當(dāng)A=30，B=30時(shí)，兩根為，將代入方程得：4（）2-m-1=0，解得：m=0，經(jīng)檢驗(yàn)不是方程4x2-1=0的根綜上所述：m=0，A=30，B=12012（2013安徽）我們把由不平行于底的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”其中B=C（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形（畫(huà)出一種示意圖即可）；（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中B=

29、CE為邊BC上一點(diǎn)，若ABDE，AEDC，求證： ；（3）在由不平行于BC的直線AD截PBC所得的四邊形ABCD中，BAD與ADC的平分線交于點(diǎn)E若EB=EC，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又將如何？寫(xiě)出你的結(jié)論（不必說(shuō)明理由）12解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DEBC交PB于點(diǎn)E，則四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形BCDE和一個(gè)三角形ADE；（2）ABDE， B=DEC，AEDC，AEB=C，B=C，B=AEB，AB=AE在ABE和DEC中，ABEDEC，；（3）作EFAB于F，EGAD于G，EHCD于H，BFE=CHE=90AE平分BAD，DE平分ADC，EF=EG=EH，在RtEFB和RtEHC中，RtEFBRtEHC（HL），3=4BE=CE，1=21+3=2+4即ABC=DCB，ABCD為AD截某三角形所得