廈門大學結構化學第1章答案

1、聲明為了方便大家復習，助教將第一章所有習題答案進行了整理，其中包括了對作業(yè)答案的補充和更正。由于助教能力有限，所提供的答案難免會有疏漏和錯誤之處，所以僅供參考并希望大家不要外傳！若有問題可以及時提出并共同討論！祝學習愉快！第一章1.1在黑體輻射中，對一個電熱容器加熱到不同溫度，從一個針孔輻射出不同波長的極大值，試從其推導 Planck 常數的數值：T/100015002000250030003500lmax/nm2181160012401035878763解：根據 Plank 推導的公式 1-1：lmaxc kT = Cc0 k = 0.2014h h = C0 k 0.2014c又C0= 2

2、184 1273.15 + 1600 1773.15 + 1240 2273.15 + 1035 2773.15 + 878 3273.15 + 763 3773.15 10-9 = 2.8432 10-3 m K6且 k = 1.381 10-23 J K -1c = 2.998 108 m s-1 h = 6.50 10-34 J s1.2 在地球表面，太陽光的強度是 1.0103W/m2， 一個太陽能熱水器水箱涂黑面直對陽光。按黑體輻射計算，熱平衡時水箱內水溫可達幾度？（忽略水箱其它表面的熱輻射）解：根據 Planck 輻射定律： E ( v , T ) =2hu3c 2 ( ehu k

3、T -1)又u =c且lmaxkT = 0.2014h即hu=1lckT0.20142hu34-8-2-4 E (T ) = 0E (u , T )du = 0du = sT其中s = 5.670 10 W m Kc 2 ( ehu kT-1)（這里積分得不到相對應的值，需核實）44103 T =E (T )= 364.42 K = 91.3 C5.670 10-8s1.3計算波長為 600nm(紅光),550nm(黃光),400nm(藍光)和 200nm(紫光)光子的能量。解：c-348-1根據公式： E = hu = h（其中 h = 6.626 10J s ， c = 2.998 10

4、m s）l代入各類波長，得到相應的光子能量。E = 3.31 10-19 JE = 3.61 10-19 JE = 4.97 10-19 JE = 9.93 10-19 J12111.4 某同步加速器,可把質子加速至具有 100109eV 的動能,試問此時質子速度多大？解： mp= 1.67265 10-27 kg1eV=1.60210-19J注：當粒子速度接近光速時，必須考慮粒子的相對論效應。m =m E =m0c201 - v 2 c21 - v 2 c2得 T = E - E =m0c 2 - m c201- v 2c20v = c 1 -m 2 c4= c 1 -(1.67265 10

5、 -27 ) 2 (2.997925 108 )402)211 1.602 10-192+ (1.67265 10-272 (2.99792584(T + m c(10)10 )0= 0.999956c = 2.9978 108 m s-11.5Al 的電子逸出功是 4.2eV，若用波長 200nm 的光照射 Al 表面，試求：（1）光電子的最大動能（2）Al 的紅限波長解： 根據光電效應表達式： E photon = W + EKinetic -energy = hclT =hc- W =6.626 10 -34 2.998 108- 4.2 = 2.0eVl2 10 -7 1.602 10

6、-19 當動能 T=0 時得到紅限波長：l =hc=6.626 10 -34 2.998 108= 295.2nmW4.2 1.602 10-191.6 具有 0.2nm 波長的電子和光子，它們的動量和總能量各是多少？h故：p = h = 6.626 10-34 = 3.31 10-24 kg m s-1 l 2 10-10對于電子： me = 9.11 10-31 kgE = m c 2 , E = mc 2 , m =m0001- v 2 c2 E 2 - E 2=m02c 4 - m 2 c 4=v 2 c2m 2 c 4= m 2 v 2 c 2 = p 2 c21 - v 2 c 2

7、1 - v 2 c2000 E 2 = p 2 c 2 + m 2 c4相對論中的能量-動量關系。0根據上述關系： E 2 = p 2 c 2 + m02 c4 ，可得：E = p 2 c 2 + m02 c4 = (3.31 10 -24 2.998 108 ) 2 + (9.11 10-31 ) 2 (2.998 108 )4= 8.19 10-14 J = 5.11 105 eV對于光子：hc6.626 10 -34 2.998 108E = 6.2 103 eVl2 10 -10 1.602 10-191.7 計算下列粒子的德布洛意波長(1) 動能為 100eV 的電子;(2) 動能為

8、 10eV 的中子;(3) 速度為 1000m/s 的氫原子.解：粒子的德布洛意波長的計算公式： l =h=h=hpmv2mTm = 9.11 10-31 kgmp= 1.673 10-27 kg m = 1.674 10-27 kgeHl =h=6.626 10-34= 0.1226nm = 122.6 pm2mT2 9.1110-31 100 1.602 10-19l =h=6.626 10-34= 0.00905nm = 9.05 pm2mT2 1.67310-27 10 1.602 10-19 l =h=6.626 10-34= 0.396nmmv1.674 10 -27 10001.

9、8 質量 0.004kg 子彈以 500ms-1 速度運動，原子中的電子以 1000ms-1 速度運動,試估計它們位置的不確定度, 證明子彈有確定的運動軌道, 可用經典力學處理, 而電子運動需量子力學處理。（速度的不確定度是多少？）解：根據測不準關系： Dx DPx h 4p ，或有 Dx DPx h ，諸粒子坐標的不確定度分別為:子彈： Dx h=6.626 10-34= 3.313 10-34 mmDv0.004 500電子： Dx h=6.626 10-34= 7.273 10-7 m9.11 10 -31 1000mDv對于子彈由不確定關系所決定的坐標不確定度遠遠小于實際測量的精確度（

10、宏觀物體精確到 10-8m），其運動中的波動性可完全忽略，其坐標和動量能同時確定，即可用經典力學處理。對于電子不確定度所決定的坐標不確定度遠遠大于原子本身（原子大小數量級一般為幾十到幾百 pm）。電子運動中的波動性不能被忽略，應該用量子力學進行處理。1.9用測不準原理說明普通光學光柵(間隙約 10-6m)觀察不到 10000V 電壓加速的電子衍射。解：根據不確定度關系，電子位置的不確定度為：（ Dp x =2meU 的理解？）Dx =h=h=6.626 10-34Dpx2meU2 9.11 10 -31 1.602 10 -19104= 1.226 10-11這個不確定度約為光學光柵間隙的 1

11、0-5 倍，即在此加速電壓條件下電子波的波長約為光學光柵間隙的 10-5 倍，顯然，用光學光柵觀察不到電子衍射。（從第一衍射極小值的偏離角的角度分析見周公度習題集 1-9 解答過程）1.10小球的質量為 2mg , 重心位置可準確到 2m, 在確定小球運動速度時,討論測不準關系有否實際意義?解:根據不確定度關系，小球速度的不確定度為：Dv h=6.626 10-34= 1.66 10-22 10 -6 2 10-6mDx2對于小球由不確定關系所確定的速度不確定度遠遠小于實際測量的精確度，其運動中的波動性可完全忽略，其坐標和動量能同時確定，所以在這種情況下討論測不準關系沒有實際意義。2a 1/4

12、-ax21.11一個粒子的某狀態(tài)波函數為y ( x) = e，a 為常數， - x +, 證明p DxDpx 滿足測不準關系。證明：解法一： 根據測不準關系：若 A, B 為厄米算子，y 為歸一化的波函數，則有：DA DB 12 y * A, B y dt = 12 y A, By （等式兩邊只是積分符號的簡寫表示）其中， A, B為對易子， 表示取積分的復數模( A, B一般情況為復數)。1/4 2a -ax2x , px 為厄米算子，y ( x) = e(一維諧振子的零級波函數)也為歸一化的波函數。（ - e -2 ax 2 dx = 2 0+ e -2 ax 2 dx = 2 0+ e

13、-2 ay d= 0+1e -2 ay d y =10+ z -1/2e - zd z =1G (1) =py22ay2 a2a*2 a -2 ax 22 apy xy xdx =edx = 1p -p2a）-又有 x , p x j ( x ) = xp xj ( x ) - p x xj ( x ) = x-i j ( x ) - -i(xj ( x ) )= i j( x)xx x, p x = i 由上述表達式有：Dx Dpx1y *x , py dt=1yx , px y=1yiy=2x 222故， DxDpx 滿足測不準關系證明測不準關系的表達式：i. 預備的知識點：方差和標準差的

14、定義設 A 為厄米算子，y 為歸一化的波函數方差： ( DA) 2 = y * ( A - A) 2y dt = y ( A - A) 2 y = ( A - A)2 標準差： DA ，方差的正平方根。方差的計算表達式( DA) 2 = A2 - A 2 = y * A2y dt - ( y * Ay dt )2證明：( DA) 2 = y ( A - A) 2 y = y ( A - A)( A - A) y = y ( A2 - A A - A A + A 2 ) y = y A2 y - 2 Ay A y + A 2 y y = A2 - 2 A A + A 2 = A2 - A 2柯西

15、-施瓦茨(Cauchy-Schwartz)不等式:y 1y 1 y 2y 2y 1y22其中 y 1y2 為內積（證明見線性代數）類比理解：向量的內積： a b =abcosqa b a b a b(a, a )(b, b) a ba b顯然2222 復數的相關知識：Z = a + ib則： Z * = a - ib， Z - Z * = 2ibii. 證明：條件： A, B 為厄米算子，y 為歸一化的波函數 ( DA) 2 = y ( A - A) 2 y = y ( A - A)( A - A) y = ( A - A)y ( A - A)y A 為厄米算子， A 為一實數， ( A -

16、A) 也為厄米算子由厄米算子的性質可得 y ( A - A)( A - A) y = ( A - A)y ( A - A)y 其中 ( A - A)y 整體看成一個新的函數。 同理： ( DB ) 2 = ( B - B)y ( B - B)y 利用柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwartz)不等式：(DA) 2 ( DB ) 2 ( A - A)y ( B - B)y 2 DADB ( A - A)y ( B - B)y 復數 DADB I m ( A - A)y ( B - B )y = 12 ( A - A)y ( B - B )y - ( B - B )y ( A - A)y = 1

17、2 Ay By - Ay By - B Ay y + A B y y - By Ay + B y Ay + ABy y - B Ay y = 12 Ay By - By Ay = 12 y ( AB - BA)y = 12 y A, B y 得證。注：上式已經說明： A, B 0 時，力學量不能同時被測定， DADB 滿足測不準關系。故，該題實際上證明 x , p x = i 0 即可說明 DxDpx 滿足測不準關系。* 應用公式 DA = A2 - A 2 分別求出 Dx , Dpx ，證明 Dx Dp x 0 即可。解法二：最好且最容易接受的方法 2 a 1/42 a 1/42*2- ax

18、 22- ax 22a2-2ax2x= -y( x )x y ( x)dx = - ex edx =- xedxppp =8a0 ye -2 ay d=2 a0 y1e -2 ay dy =10 z1e- zdz =1G (3) =1p=1y22p2 a p2 a p2a p24ap2 a 1/41/42* - ax 22 a- ax 22a-2ax2x = -y( x )xy ( x ) dx = - ex edx =- x edx=0pppd 2 2 a 1/42 d 2 2 a 1/42*2- ax 2- ax 222a- ax 2d-ax2p x= -y( x )( -)y ( x )

19、 dx = - e(-) edx =2 a- e( x e)dxdx2dx2pdxp p = 2 a22 a- e - ax 2d( x e - ax 2 ) dx = 2 a 22 a( - (e -2 ax 2 - 2 ax 2 e -2 ax 2 ) dx = 4 a22 a( 01e-2aydy - 0 2ay1e-2ay dypppydx2y2= 2 a21G (1) - 2 a2 1G (3) = a 2p2p2 2 a 1/4 2a 1/4*d- ax 2d- ax 222a-2ax2p x = -y( x )( -i)y ( x ) dx = - e( -i) edx =2ia

20、- x edx = 0dxdxpp p1Dx =x 2- x2=4aDp=p 2-2=xpxaxDx Dp x =1=a4 a2故 Dx Dpx 滿足測不準關系。1.12判斷下列算符是否是線性厄米算符：（自變量的取值范圍應該為： x ( -, +) ）（1）d（2） 2（3） x + x（4） e- x2dx12 一個算符如果滿足乘法分配律，則稱為線性算符 。 即： R (j1 + j 2 ) = Rj1 + Rj2R (cj1 ) = cRj1 R 如果滿足下式，則稱為自共軛算符，即 j1* Rj 2 dt = j 2 ( Rj1 )*dt* Rj1 )* dt = j 2( Rj1 )*d

21、t（ R12= R21 -類比于共軛矩陣， j1* R j 2 dt = (j 2自共軛算符滿足： j1* R j 2 dt = j1* Rj 2 dt ）（1）i.算符 dxd 滿足 dxd (j1 + j 2 ) = dxd j1 + dxd j 2且 dxd (cj ) =c dxd jd故，算符 dx 為線性算符。ii. j *djdx =j*dj=j *j-jdj* = -jdj *dx-1dx21212-212dx1（應用了分部積分以及波函數平方可積的性質）綜上，算符d為線性算符但非厄米算符。dx 2 22（2） 2 = 2+ 2+ 2=+x 2y 2zxyz222d2d222i.

22、算符d滿足d(j1 + j 2 )=j1 +j 2 且d(cj) =cdj2dx2dx2dx2dx2dx2dx同理d 2和d 2也存在上述關系，故算符 2 為線性算符。dy2dz2ii. j *d 2jdx = j *d j=j *j - j dj* = j*j - j dj*dx- 1dx22-1212 -02112 -2dx1* d*d2*=j j -jd j= j j -j j+jdj =jjd xdx2 12- dx1212 - 12-21-21（應用了分部積分以及波函數單值、連續(xù)、平方可積的性質）同理d 2和d 2也存在上述關系，故算符 2 為厄米算符。dy2dz2* 2* 2 22

23、* d 2* d 2* d 2（ j1 j2 dt =j1(+)j 2 dt =0 j1j 2 d x + 0j1j2 d y + 0j1j2 dz ）x 2y 2z 2dx 2dy 2dz2綜上，算符 2 = 2+ 2+2為線性厄米算符。x 2y 2z2（3）x1 + x2i. 算符 ( x1 + x2 ) 滿足下面的關系：( x1 + x2 ) (j1 + j 2 ) = x1 (j1 + j 2 ) + x2 (j1 + j 2 ) = x1j1 + x2j1 + x1j 2 + x2j 2 = ( x1 + x2 )j1 + ( x1 + x2 )j2且( x1 + x2 ) (cj

24、) =x1cj + x2 c j = cx1j + cx2j = c ( x1 + x2 )j算符 ( x1 + x2 ) 為線性算符。（應用了算子加法的定義以及 x1 和 x2 分別為線性算子的性質）ii. - j1* ( x1 + x2 )j 2 dx = - j1* x1j 2 dx + - j1* x2j 2 dx = - x1*j1*j 2 dx + - x2 *j1*j2dx = - ( x1 + x2 ) *j1*j 2 dx = -j 2 ( x1 + x2 )*j1*dx故，算符 ( x1 + x2 ) 為厄米算符。綜上，算符 ( x1 + x2 ) 為線性厄米算符（4） e

25、- x2i. 算符滿足下面的關系：e - x 2 (j1 + j 2 ) = e - x 2 j1 + e - x 2 j 2且e - x 2 (cj ) =ce- x2j算符 e- x2 為線性算符。ii. - j1*e - x 2 j 2 dx = - e - x 2 j1*j 2 dx = -j 2 ( e - x 2j1 )*dx故，算符 e- x2 為厄米算符。綜上，算符 e- x2 為線性厄米算符故，（2）、（3）、（4）均為線性厄米算符。說明：若(3)中 x1 , x2 不代表坐標函數，而代表復數向量，則 ( x1 + x2 ) 為一復數，將不再滿足厄米性質！d1.13下列函數是

26、否是 dx 的本征函數？若是，求其本征值：（1） eikx（2） cos kx（3） k（4） kxddxddxddxddxe ikx = ikeikx ei k x是算符d的本征函數，本征值為 ikdxcos kx = -k sin kx cos kx 不是算符d的本征函數dxk = 0 = 0 k k 是算符 dxd 的本征函數，本征值為 0 kx = k kx 不是算符 dxd 的本征函數1.14 氫原子 1s 態(tài)本征函數為y1s = Ne-r / a0 （a0 為玻爾半徑），試求 1s 態(tài)歸一化波函數。解：球極坐標中 dt = r 2 sinq drdq df根據題意，求 1s 態(tài)歸一

27、化波函數，即 -y 1s *y 1s dt =1 y 1s *y 1s dt = N 2 2p p e -2 r / a0 r 2 sin q drdq d f = N 2 4p e -2 r / a0 r 2 dr = 4p N 2 ( a0 ) 3 e -2 r / a0 ( 2 r ) 2 d 2r = p a03 N 2 G (3) = pa0 3 N 2 =1-00 002 0a0a02N =1故：1s 態(tài)歸一化波函數為y1s =1e-r / a0p a 3p a030注解： G 函數的相關知識點數學分析中 G 函數定義為 G( x ) = 0 e - t t x -1dt , x 0幾個重要的性質 G(1) = 1 G( z + 1) = z G( z) G( n + 1) = n !, n = 0,1, 2, G( z ) G (1 - z) =pG (1) =psinp z2G(2 z ) = 2 2 z-1p -1 G( z ) G( z + 1)221.15