工程力學(xué)：05摩擦

1、本章將討論與研究物體的接觸面不是光滑的情況,滑動(dòng)摩擦 滾動(dòng)摩擦,干摩擦 濕摩擦,按接觸物間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況,按接觸物間是否有潤滑劑,本章只研究干摩擦?xí)r物體的平衡問題,5-1 滑動(dòng)摩擦,兩個(gè)表面粗糙的物體，當(dāng)其接觸面之間具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)或相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，彼此之間作用著障礙對(duì)方相對(duì)滑動(dòng)的阻力，這力稱為摩擦力。 摩擦力的三要素： 1、作用于兩物體的相互接觸處 2、方向與相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)或相對(duì)滑動(dòng)的 方向相反 3、大小由主動(dòng)力決定（摩擦力為被動(dòng)力） 根據(jù)研究物體的相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)、平衡的臨界狀態(tài)和滑動(dòng)這三種情況，摩擦力可分為靜滑動(dòng)摩擦力、最大靜滑動(dòng)摩擦力和動(dòng)滑動(dòng)摩擦力,1靜滑動(dòng)摩擦力,在粗糙平面上，放置一個(gè)物塊,

2、物塊重P，法向反力為N，物塊平衡,在物塊上作用一個(gè)大小可變的水平拉力F,物塊仍保持平衡，這是因?yàn)檫€有一個(gè)接觸面障礙物塊向右水平運(yùn)動(dòng)的切向力靜摩擦力,靜摩擦力作用于平面與物塊的接觸處、方向與物塊的滑動(dòng)趨勢(shì)相反、大小由平衡條件確定，即 X = 0 ，F(xiàn) Fs = 0 Fs = F 靜摩擦力Fs的大小隨著主動(dòng)力F的增大而增大,2最大靜滑動(dòng)摩擦力,靜摩擦力Fs 的大小隨著主動(dòng)力F 的增大而增大這是靜摩擦力和一般約束反力的共同特性。 靜摩擦力Fs 又與一般約束反力不同，它并不隨主動(dòng)力 F 的增大而無限增大，當(dāng) F 的大小達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，物塊處于平衡的臨界狀態(tài)（物塊將滑還未滑），這時(shí)的Fs 達(dá)到最大值最大

3、靜摩擦力，以 F max 表示。如果 F 再增大， Fs 不再增大，顯然,0 Fs Fmax 由庫侖定理 F max = f s N f s 靜摩擦系數(shù) f s需通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定，影響其的因素很復(fù)雜,常用摩擦系數(shù)表,3動(dòng)滑動(dòng)摩擦力,當(dāng)滑動(dòng)摩擦力已經(jīng)達(dá)到最大值，若再增大主動(dòng)力F，接觸面之間將出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng),接觸面之間仍作用由阻礙物塊滑動(dòng)的阻力,稱為動(dòng)摩擦力，以Fd 表示。 實(shí)驗(yàn)表明 F d = f N f 為動(dòng)摩擦系數(shù) 一般情況下， f f s,賽車起跑,為什么賽車運(yùn)動(dòng)員起跑前要將車輪與 地面摩擦生煙,賽車結(jié)構(gòu),為什么賽車結(jié)構(gòu)前細(xì)后粗；車輪前小后大,5-2 考慮摩擦?xí)r的物體平衡問題,對(duì)有粗糙表面物體的

4、平衡問題的研究與前幾章基本相同，但需注意： （1）受力分析時(shí)，還需要考慮靜摩擦力Fs （2）列出補(bǔ)充方程 Fsf s N （3）由于Fs 需滿足 0 Fs f s N，所以，問題的解往往有一定的范圍。 上面的注意（1）說明分析時(shí)增加了未知量； 而注意（2）又增加了與新增Fs個(gè)數(shù)相同的方程數(shù)，從而使問題有解； 注意（3）又告訴我們，問題中可能有最大值和最小值問題,物塊重P=1500N，摩擦數(shù) f s = 0.2，f = 0.18，水平力F = 400N。問圖示情形，物塊是否靜止，求此時(shí)摩擦力的大小,例5-1,解： 解此類問題，先假定物體為靜止，并假設(shè)摩擦力方向，將求得的靜摩擦力與最大靜摩擦力比較

5、來確定物體是否靜止。 取物塊為研究對(duì)象，受力分析,假定靜摩擦力如圖,X = 0， P sin 30 F cos 30 Fs = 0 Y = 0， P cos 30 F sin 30 N = 0 代入數(shù)值，解得： Fs = - 403.6 N，N = 1499 N 此時(shí)最大靜摩擦力 F max = f s N = 299.8 N | Fs | F max 物塊不靜止。 又 Fs為負(fù)值， 實(shí)際情況與假定方向相反，即下滑。 此時(shí)，摩擦力 Fd = f N = 269.8 N,END,物塊重為 P，放在傾角為的斜面上，它與斜面間的摩擦系數(shù)為 fs，當(dāng)物體處于平衡時(shí)，求水平力 F1 的大小,例5-2,解

6、： 經(jīng)驗(yàn)表明水平力過大，物塊上滑，而水平力太小，重力又可能導(dǎo)致物塊下滑。 1、考慮 物塊上滑時(shí)的臨界狀態(tài) 受力分析如圖,X = 0， F1max cos P sin Fmax = 0 （1） Y = 0，F(xiàn)1max sin + P cos N = 0 （2） 補(bǔ)充： F max = fs N （3） 式(3)代入式(1) fs (2)式 ,即 F1max (cos fs sin ) P (sin + fs cos ) = 0 得,待續(xù),例5-2（續(xù)1,2、考慮物塊下滑時(shí)的臨界狀態(tài),X = 0， F1min cos P sin + Fmax = 0 （4） Y = 0， F1min sin +

7、P cos - N = 0 （5） 補(bǔ)充： Fmax = f s N （6） 式(6)代入式(4) + f s (5)式 ,即 F1min (cos + f s sin ) P (sin - f s cos ) = 0 得,待續(xù),例5-2（續(xù)2） 討 論,若不計(jì)摩擦，即f s = 0前面解得的結(jié)果就退化為唯一答案 F1 = P tan 這與直接用平衡條件求解同。 特別注意： 從補(bǔ)充方程 F max = f s N 可見，由于f s是正系數(shù)，而N方向恒確定，導(dǎo)致N符號(hào)永正，這意味著F max 總是正值。換言之， F max 方向確定，絕不可隨意畫,END,凸輪機(jī)構(gòu)如圖，f s和b已知，凸輪與推桿

8、接觸處摩擦忽略。問 a 為多大，推桿才不至于被卡住,例5-3,解： 取推桿為研究對(duì)象，受力分析,考慮平衡的臨界狀態(tài)，即推桿有向上的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，將動(dòng)還未動(dòng)，此時(shí)A、B兩點(diǎn)的摩擦力都達(dá)到最大值，方向向下,待續(xù),例5-3 ( 續(xù)1,列平衡方程 X = 0，NA NB = 0 (1) Y = 0，F(xiàn)FA FB = 0 (2) MD ( F ) = 0,F a NB b + FA d/2 FB d/2 = 0 (3) 補(bǔ)充： F A = f s NA (4) F B = f s NB (5,由式(1)、(4)和(5) 得： FA = FB = F MAX = f s NB = f s NA 代入式(2)和

9、(3)得： F = 2 F MAX (6) NA = NB = F / ( 2 fs ) (7) F a NB b = 0 (8) 式(7)代入(8)得,例5-3 ( 續(xù)2,由式(8)， F a NB b = 0 可見，當(dāng) b 和 F 大小確定時(shí)，a 與 NB 成正比，即 a 大 NB 大，最大摩擦力也大，推桿不動(dòng)； a 小 NB 小，也就是 F MAX 減小。 由式(2)， FFA FB =0 可得 F = FA + FB = 常數(shù),告訴我們 a 小 NB 小，也就是 F MAX 減小。又告訴我們 FA 和 FB 之和不變，這就可能導(dǎo)致 最大摩擦力小于摩擦力的矛盾結(jié)果。 所以當(dāng),時(shí)，推桿不會(huì)

10、被卡住,結(jié)果分析,END,已知P = 100N，F(xiàn)B = 50N， = 60，AC = CB = l / 2（C點(diǎn)為桿與輪的接觸點(diǎn)，D為輪與地面的接觸點(diǎn)），f C = 0.4，輪的半徑為 r 。要維持系統(tǒng)平衡：(A) 若f D = 0.3，求此時(shí)作用輪心的水平力 F 最小值；(B)若f D = 0.15，求此時(shí)作用輪心的水平力 F 的最小值。(f C 、f D 為靜摩擦系數(shù),例5-4,2、當(dāng) F 足夠大時(shí)，輪可能向左運(yùn)動(dòng)， 角增大 。運(yùn)動(dòng)同樣可能有兩種情況。 分析 1 是本題所求解的問題,解： 題目分析： 1、當(dāng)F不夠大時(shí)，輪可能向右運(yùn)動(dòng)， 角減 小 。運(yùn)動(dòng)可能有兩種情況： C點(diǎn)的摩擦力首先達(dá)

11、到最大值，即F C = F Cmax D點(diǎn)的摩擦力首先達(dá)到最大值，即F D = F Dmax,例5-4(續(xù)1,A) 若fD = 0.3，此時(shí)作用輪心的水平力 F d 的 最小值為多少？ 設(shè)C點(diǎn)的摩擦力首先達(dá)到最大值，即FC = FCmax 。在此情況下， 摩擦力FC 的方向確定，而FD 的指向隨意假定。 分別以桿和輪為研究對(duì)象，受力分析,例5-4(續(xù)2,以AB桿為對(duì)象， MA( F ) = 0 ， NCl/2 -FB l = 0 (1) 補(bǔ)充： FC = Fcmax 即 FC = fC NC (2,以輪為研究對(duì)象,由式(1)和(2)得： NC = 2FB = 100N；FC = fC NC =

12、 40N,f C = 0.4,將它們代入式(5)得 ND = 184.64 N 再一并代入式(4)得 Fmin = 26.60 N,注意到： FDmax=fDND=55.39(FD=40) Fmin = 26.60 N確為最小推力,P = 100NFB = 50N = 60,例5-4(續(xù)3,但是， FDmax = fDND =0.15184.60 = 27.69N（FD= 40N） 不合理，說明D點(diǎn)應(yīng)該先達(dá)到臨界狀態(tài)。 重新設(shè)D點(diǎn)的摩擦力首先達(dá)到最大值，即F D = F Dmax 。摩擦力F D 的方向確定，而F C 的指向隨意假定，得相同受力圖,B) 若 f D = 0.15，此時(shí)作用輪心的

13、水平力 F 的最小值為何值？ 仍設(shè)C點(diǎn)的摩擦力首先達(dá)到最大值，即F C = FCmax , 受力分析同,例5-4(續(xù)4,問題（A）的5個(gè)方程,MA( F ) = 0 ，NCl/2 -FB l = 0 (1,補(bǔ)充： FC = fC NC (2,補(bǔ)充： FD = fD ND (2,聯(lián)立求解得： Fmin = 47.81N FC = 25.86N FCmax =fC NC = 40N( FC = 25.86N) 說明C點(diǎn)不滑,補(bǔ)充： FC = fC NC (2,補(bǔ)充： FC = fC NC (2,補(bǔ)充： FC = fC NC (2,換去式(2)為D點(diǎn)達(dá)到臨界時(shí)的補(bǔ)充方程,5-3 摩擦角與自鎖現(xiàn)象,1

14、、摩擦角 支承面對(duì)平衡物塊的法向約束反力和切向約束反力的合力 R = N + Fs 稱為支承面的全約束反力,全約束反力的作用線與支承面的公法線的夾角為,當(dāng)物塊處于臨界狀態(tài)，靜摩擦力達(dá)到最大值，此時(shí)全約束反力的作用線與支承面的公法線的夾角的最大值 稱為摩擦角,摩 擦 錐,摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù),當(dāng)物塊的滑動(dòng)趨勢(shì)方向改變時(shí)，全約束反力作用線的方位也隨之改變,在臨界狀態(tài)下， 全約束反力 R 作用線畫出的一個(gè)以接觸點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面稱為摩擦錐,全約束反力和摩擦角,物塊平衡時(shí)，靜摩擦力可以在 0 到 F max范圍內(nèi)變化，所以全約束反力作用線和接觸面法線間的夾角必滿足： 0 全約束反力必在摩擦角之內(nèi),當(dāng)

15、物塊的滑動(dòng)趨勢(shì)方向改變時(shí)，全約束反力作用線的方位也隨之改變。同樣 全約束反力必在摩擦錐之內(nèi),2、自鎖現(xiàn)象,攀登套鉤工作時(shí)載荷作用位置示意圖,分析自鎖現(xiàn)象,如果作用于物塊的全部主動(dòng)力合力 F 的作用線落在摩擦角之內(nèi)，則無論此合力多大，物塊必保持靜止。這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象,這時(shí)因?yàn)樵诖饲闆r下，主動(dòng)力F和接觸面法線間的夾角,必有全約束反力R與之相平衡，且 =,利用自鎖原理可設(shè)計(jì)一些機(jī)構(gòu)，使它們始終保持平衡，如千斤頂?shù)?自鎖現(xiàn)象(續(xù),如果全部主動(dòng)力的合力 F 的作用線落在摩擦角之外，則無論這個(gè)力如何小，只要它不等于零，物塊就一定會(huì)滑動(dòng),因?yàn)樵诖饲闆r下，主動(dòng)力 F 和接觸面法線間的夾角,而 ，即支承面的

16、全約束反力必須落在摩擦角內(nèi)，無法與 F 平衡,實(shí)驗(yàn)測(cè)定摩擦系數(shù),將要測(cè)定的兩種材料分別做成斜面和物塊,單擊圖片播放動(dòng)畫,單擊圖片播放動(dòng)畫,單擊圖片播放動(dòng)畫,實(shí)驗(yàn)測(cè)定摩擦系數(shù)說明,由于物塊僅受重力和全約束反力的作用而平衡，所以 F和 R 等值、反向、共線,全約束反力與法線的夾角也正是平板與水平面的夾角,當(dāng)物塊處于臨界狀態(tài)時(shí)， = 。 算得摩擦系數(shù) f s = tan = tan,斜面的自鎖條件,由前面的分析可知，斜面的自鎖(不下滑）條件是：,斜面的自鎖條件也是螺紋自鎖的條件。 這是因?yàn)槁菁y可以看作是繞在一個(gè)圓柱上的斜面,螺母相當(dāng)于放置在斜面上的滑塊,螺紋升角 就是斜面的傾角,施于螺母上的軸向載荷

17、相當(dāng)于物塊的重力,用幾何法求例5-2：物塊重為 P，放在傾角為的斜面上，它與斜面間的摩擦系數(shù)為 f s，當(dāng)物體處于平衡時(shí)，求水平力 F1 的大小,例5-5,1、考慮 物塊上滑時(shí)的臨界狀態(tài)，將法向反力和最大摩擦力用全約束反力 R 來代替,這時(shí)物塊在 F1max 、P 和 R 三個(gè)力的作用下平衡,根據(jù)匯交力系平衡的幾何條件，畫自封閉力三角形,F1max 水平、P與法線的夾角 ，而 R與法線的夾角為摩擦角,求得： F1max = P tan( +,例5-5(續(xù),2、考慮物塊下滑時(shí)的臨界狀態(tài)，仍將法向反力和最大摩擦力用全約束反力 R 來代替,注意 R 的位置，即 角與 角的關(guān)系,若 ，自鎖。與題意不符

18、,作自封閉力三角形,F1min = P tan(,合并情形1和2 P tan( ) F1 P tan( + ) 按三角公式展開，得,用幾何法求例5-3： 凸輪機(jī)構(gòu)如圖，f s和 b 已知，凸輪與推桿接觸處摩擦忽略。問 a 為多大，推桿才不至于被卡住,例5-6,解： 將A、B兩點(diǎn)的最大靜摩擦力和正反力合成為全約束反力,顯然，推桿上只受到三個(gè)力的作用,此三力使推桿平衡，根據(jù)三力平衡匯交定理，這三個(gè)力的作用線必匯交于一點(diǎn),例5-6(續(xù),根據(jù)前面的分析，畫出平衡臨界狀態(tài)的力作用線,力作用線交點(diǎn)C點(diǎn)至推桿中心線的距離即為待求的臨界值 a極限,由于推桿平衡時(shí)全約束反力的作用線全落在摩擦角內(nèi),兩全約束反力的

19、作用線的交點(diǎn)必落在C點(diǎn)右側(cè)的區(qū)域內(nèi),所以，要使推桿不至于被卡住，需滿足,5-4 滾動(dòng)摩阻的概念,在固定平面上放置一個(gè)重 P，半徑為 r 的圓輪,在輪心處施加一個(gè)水平力Q，摩擦力 Fs 阻止了輪的滑動(dòng),Q 與 Fs 組成一力偶使輪轉(zhuǎn)動(dòng)，但實(shí)際上輪當(dāng) Q 不大時(shí)并不動(dòng),滾動(dòng)摩阻理論認(rèn)為，輪在重力和水平力的共同作用下，與輪相接觸的平面并非剛性，有變形,將分布力向A點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)力 R 和一個(gè)力偶，力偶矩為M,力 R 分解成摩擦力 Fs 和正反力 N,正是這個(gè)矩為 M 的力偶阻礙了輪的滾動(dòng),滾動(dòng)摩阻,滾動(dòng)摩阻力偶矩 M 隨主動(dòng)力矩的增加而增加，當(dāng)平衡臨界狀態(tài)，其到達(dá)最大值，稱為最大滾動(dòng)摩阻力偶矩，記

20、作Mmax。 顯然， 0 M Mmax 滾動(dòng)摩阻定理： Mmax = N 滾動(dòng)摩阻系數(shù)，具有長度單位，一般用mm,滾阻系數(shù)的物理意義：將平衡臨界狀態(tài)下的N和Mmax根據(jù)力線平移定理，簡(jiǎn)化成一個(gè)力N,N作用線距中心線的距離,顯然， = d,放置在水平面上的圓輪，半徑為 r，重為P，在輪上B點(diǎn)受一水平力 Q 作用。已知AB = h，圓輪與水平面間的靜摩擦系數(shù) fs，滾動(dòng)摩阻系數(shù) 。問 Q 值多大才能維持圓輪的平衡,例5-7,解：取輪為研究對(duì)象，受力如圖,列平衡方程： X = 0 ，Q - Fs = 0 Y = 0 ，N - P = 0 MA(F) = 0 ，M - Q h = 0,解得： Q = Fs ；N = P 及 M = Q h 靜摩擦力Fs 需滿足 0 Fs Fmax = fs N 輪不滑動(dòng)的條件是：Q fs P 又靜滾動(dòng)摩阻力偶 M 需滿足 0 M Mmax = N 輪不滾動(dòng)的條件是,可見，要使輪不滾也不滑的條件是,由于 / h 小于 fs，因此是否平衡一般取決第二個(gè)條件。 換言之，滾比滑省力得多,例5-8,半徑為 r，重為 P 的車輪，放置在傾斜的鐵軌上。已知鐵軌傾角為 ，車輪與鐵軌的滾阻系數(shù)為