第三版常微分方程答案.doc

1、習(xí)題1.21=2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx 兩邊積分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0時(shí)，y=0原方程的通解為y= cex,x=0 y=1時(shí) c=1特解為y= e.2. ydx+(x+1)dy=0 并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy dy=-dx兩邊積分: -=-ln|x+1|+ln|c| y=另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1時(shí) c=e特解：y=3= 解：原方程為：=dy=dx 兩邊積分：x(1+x)(1+y)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程

2、為： dy=-dx兩邊積分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。5（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程為： =-令=u 則=u+x 代入有：-du=dxln(u+1)x=c-2arctgu即 ln(y+x)=c-2arctg.6. x-y+=0 解：原方程為： =+-則令=u =u+ x du=sgnx dxarcsin=sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程為：=兩邊積分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny= 另外y=0也是原方程的解，而c=0時(shí)，y=0.所以原方程的通解為sinycosx=c.8 +=0

3、 解：原方程為：=e2 e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程為：=ln令=u ,則=u+ xu+ x=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln=cy.10. =e 解：原方程為：=eee=ce11 =(x+y) 解：令x+y=u,則=-1-1=udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12. =解：令x+y=u,則=-1 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13. =解: 原方程為：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y-y)-dx+

4、x=c xy-y+y-x-x=c14: =解：原方程為：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c.15: =(x+1) +(4y+1) +8xy 解：原方程為：=（x+4y）+3令x+4y=u 則=-=u+3=4 u+13u=tg(6x+c)-1tg(6x+c)=(x+4y+1).16:證明方程=f(xy),經(jīng)變換xy=u可化為變量分離方程，并由此求下列方程：1） y(1+xy)dx=xdy2） = 證明： 令xy=u,則x+y= 則=-，有： =f(u)+1 du=

5、dx 所以原方程可化為變量分離方程。1） 令xy=u 則=- (1)原方程可化為：=1+（xy） (2)將1代入2式有：-=(1+u)u=+cx17.求一曲線，使它的切線坐標(biāo)軸間的部分初切點(diǎn)分成相等的部分。解：設(shè)（x +y ）為所求曲線上任意一點(diǎn)，則切線方程為：y=y(x- x )+ y 則與x軸，y軸交點(diǎn)分別為： x= x - y= y - x y 則 x=2 x = x - 所以 xy=c18.求曲線上任意一點(diǎn)切線與該點(diǎn)的向徑夾角為0的曲線方程，其中 = 。解：由題意得：y= dy= dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 則y=tgx 所以 c=1 y=x.19.證明曲線上的切線

6、的斜率與切點(diǎn)的橫坐標(biāo)成正比的曲線是拋物線。 證明：設(shè)(x,y)為所求曲線上的任意一點(diǎn)，則y=kx 則：y=kx +c 即為所求。 常微分方程習(xí)題2.11.,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解. 解：對原式進(jìn)行變量分離得并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進(jìn)行變量分離得：3 解：原式可化為： 12解1516解： ，這是齊次方程，令17. 解：原方程化為 令方程組則有令當(dāng)當(dāng)另外 19. 已知f(x).解：設(shè)f(x)=y, 則原方程化為 兩邊求導(dǎo)得20.求具有性質(zhì) x(t+s)=的函數(shù)x(t),已知x(0)存在。解：令t=s=0 x(0)= 若x(0)0 得x=-1矛盾。所以x(0

7、)=0. x(t)=)注釋x(0)=lim x(t) 兩邊積分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 當(dāng)t=0時(shí) x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t習(xí)題2.2求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n為常數(shù).解：原方程可化為： 是原方程的解.5+=解：原方程可化為：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 則 =

8、u因此：= （*） 將帶入 （*）中 得：是原方程的解.13這是n=-1時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以，令 P(x)= Q(x)=-1由一階線性方程的求解公式 =14 兩邊同乘以 令 這是n=2時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以 令 P（x）= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = =15 這是n=3時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=17 設(shè)函數(shù)(t)于t0,使得又是齊線性方程組的基本解組非齊線性方程組的解又對于非齊線性方程組的滿足初始條件的解x(t)，都存在固定的

9、常數(shù)使得從而故上面方程的每一個(gè)解在上有界b) 時(shí)，當(dāng)tN時(shí)由a)的結(jié)論故時(shí)，原命題成立 11、給定方程組 （5.15）這里A(t)是區(qū)間上的連續(xù)矩陣，設(shè)是（5.15）的一個(gè)基解矩陣，n維向量函數(shù)F(t,x)在，上連續(xù)，試證明初值問題： （*）的唯一解是積分方程組 （*）的連續(xù)解。反之，（*）的連續(xù)解也是初值問題（8）的解。證明：若是（*）的唯一解則由非齊線性方程組的求解公式即（*）的解滿足（*）反之，若是（*）的解，則有兩邊對t求導(dǎo)：即（*）的解是（*）的解習(xí)題5.31、 假設(shè)A是nn矩陣，試證：a) 對任意常數(shù)、都有exp(A+A)=expAexpAb) 對任意整數(shù)k,都有(expA)=ex

10、pkA (當(dāng)k是負(fù)整數(shù)時(shí)，規(guī)定(expA)(expA)證明：a) （A）（A）（A）（A） exp(A+A)= expAexpAb) k0時(shí)，(expA)expAexpAexpA exp（A+A+A） expkA k0 (expA)(expA)=exp(-A) = exp(-A)exp(-A)exp(-A) exp(-A)(-k) expkA 故k，都有(expA)=expkA2、 試證：如果是=Ax滿足初始條件的解，那么expA(t-t)證明：由定理8可知(t)-1(t0) (t) 又因?yàn)?t)= expAt , -1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,又

11、因?yàn)榫仃?（At）（- At0）=（- At0）（At）所以 expA(t-t)3、 試計(jì)算下面矩陣的特征值及對應(yīng)的特征向量a） b）c） d） 解：a）det（EA）=(5)(+1)=0=5, =1對應(yīng)于=5的特征向量u=, ()對應(yīng)于=1的特征向量v=, ()b) det（EA）=(+1)(+2)(2)01，2，2對應(yīng)于1的特征向量u1， （ 0 ）對應(yīng)于2的特征向量u2， （ ）對應(yīng)于2的特征向量u3， （ ）c）det（EA）=(+1)2(3)0 1（二重），3對應(yīng)于1（二重）的特征向量u， （ 0 ）對應(yīng)于3的特征向量v, （ ）d) det（EA）=(+3)(+1)(+2)=0 1，2，3 對應(yīng)于1的特征向量u1， （ 0 ） 對應(yīng)于2的特征向量u2， （ ） 對應(yīng)于3的特征向量u3， （ ）4、 試求方程組=Ax的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算e