河南省名校聯(lián)盟2019_2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)3月聯(lián)考試題理含解析

1、河南省名校聯(lián)盟2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)3月聯(lián)考試題 理（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的共扼復(fù)數(shù)為（）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)化簡復(fù)數(shù)z，然后再求它的共軛復(fù)數(shù).【詳解】，故選a.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.若函數(shù)滿足，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可直接化簡求得結(jié)果.【詳解】.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求值的問題，屬于基礎(chǔ)題.3.“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的

2、點(diǎn)在第一象限”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】c【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而得到答案【詳解】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則 解得，故“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的充要條件.故選c.【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件，考查了復(fù)數(shù)的與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題4.用反證法證明“至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使成立”時(shí)，假設(shè)正確的是（ ）a. 至少存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使成立b. 至多存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使成立c. 不存在實(shí)數(shù)，使成立d. 任意實(shí)數(shù)，恒成立【答案】c【解析】【分析】根據(jù)反證法

3、的原理可直接判斷得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)反證法的原理知：假設(shè)是對(duì)“至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)”的否定，即“不存實(shí)數(shù)，使成立”.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查反證法原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.下列使用類比推理正確的是（ ）a. “平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行”類比推出“空間中平行于同一平面的兩直線平行”b. “若，則”類比推出“若，則”c. “實(shí)數(shù)，滿足運(yùn)算”類比推出“平面向量滿足運(yùn)算”d. “正方形的內(nèi)切圓切于各邊的中點(diǎn)”類比推出“正方體的內(nèi)切球切于各面的中心”【答案】d【解析】【分析】根據(jù)類比結(jié)果進(jìn)行判斷選擇.【詳解】因?yàn)榭臻g中平行于同一平面的兩直線位置關(guān)系不定，所以a錯(cuò)；因?yàn)椤叭?，則”，所以b錯(cuò)；因?yàn)椋?/p>

4、所以c錯(cuò)；因?yàn)檎襟w的內(nèi)切球切于各面的中心，所以正確.選d.【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系判斷、向量運(yùn)算律以及正方體性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.6.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（ ）a. b. c. d. 或【答案】b【解析】分析：由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組結(jié)合題意即可求得三角函數(shù)值，由三角函數(shù)值即可確定角的大小.詳解：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則：，即：，結(jié)合，可知：，故.本題選擇b選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查純虛數(shù)的概率，三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7.已知函數(shù)在上不單調(diào)，則m的取值范圍是（ ）a b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】求導(dǎo)，函數(shù)不單調(diào)

5、，解得答案.【詳解】.因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以，故.故答案為a【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8.有甲、乙、丙、丁四位大學(xué)生參加創(chuàng)新設(shè)計(jì)大賽，只有其中一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了這四位大學(xué)生，甲說：“是丙獲獎(jiǎng).”乙說：“是丙或丁獲獎(jiǎng).”丙說：“乙、丁都未獲獎(jiǎng).”丁說：“我獲獎(jiǎng)了.”這四位大學(xué)生的話只有兩人說的是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的大學(xué)生是（ ）a. 甲b. 乙c. 丙d. 丁【答案】d【解析】【分析】根據(jù)四位大學(xué)生的話只有兩人說的是對(duì)的，假設(shè)其中一人說的對(duì)，如果和條件不符合，就說明假設(shè)的不對(duì)，如果和條件相符，則按假設(shè)的方法解決問題.【詳解】若甲說的對(duì)，則乙、丙兩人說的也對(duì)，這與只有兩人說

6、的對(duì)不符，故甲說的不對(duì)；若甲說的不對(duì)，乙說的對(duì)，則丁說的也對(duì)，丙說的不對(duì)，符合條件，故獲獎(jiǎng)的是丁；若若甲說的不對(duì)，乙說的不對(duì)，則丁說的也不對(duì)，故本題選d.【點(diǎn)睛】本題考查了推理的應(yīng)用，假設(shè)法是經(jīng)常用的方法.9.若，則稱與互為“鄰位復(fù)數(shù)”.已知復(fù)數(shù)與互為“鄰位復(fù)數(shù)”，則的最大值為（ ）a. b. c. d. 8【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題意點(diǎn)在圓，表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，計(jì)算得到答案.【詳解】，故，點(diǎn)在圓上，而表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故的最大值為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，點(diǎn)到圓距離的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.10.觀察如圖中各多邊形圖案，每個(gè)圖案均由若干個(gè)全等的正六邊形組

7、成，記第個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù)是.由，可推出（ ）a b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】觀察圖形，發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)圖案中有一個(gè)正六邊形，第二個(gè)圖案中有7個(gè)正六邊形；根據(jù)這個(gè)規(guī)律，即可確定第10個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù)【詳解】由圖可知， 故選a.【點(diǎn)睛】此類題要能夠結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)時(shí)，11.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，由奇偶性知在上單調(diào)遞減，由此可將原不等式化為，解不等式求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；又為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，由得：，即，

8、解得：，即的取值范圍為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，關(guān)鍵是能夠利用奇偶性的定義求得函數(shù)奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而將函數(shù)值的大小關(guān)系變?yōu)樽宰兞康拇笮￡P(guān)系.12.對(duì)任意的實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程都有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】將方程變形為，采用換元法將問題變?yōu)榕c有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的問題；結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得到的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】由得：，.令，則，原方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn).，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由此可得圖象如下圖所示：當(dāng)時(shí)

9、，與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠通過變形和換元，將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的求解，進(jìn)而通過數(shù)形結(jié)合的方式求得結(jié)果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)，()，則_【答案】1【解析】【分析】由復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算可得，再結(jié)合復(fù)數(shù)的類型求得，得解.【詳解】解：由復(fù)數(shù)，()，則，則，則 即，則，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了由復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)的值，重點(diǎn)考查了復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.14.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是_.【答案】【解析】【分析】首先求出在1處的導(dǎo)數(shù)，再求出在1處的函數(shù)

10、值，然后用點(diǎn)斜式求出方程即可.【詳解】，且，切線方程是，即【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，屬于基礎(chǔ)題.15.我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)的論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周盒體而無所失矣.”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程.比如在表達(dá)式中“”既代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，它可以通過方程求得，類似上述過程，則_【答案】【解析】【分析】先換元令，平方可得方程，解方程即可得到結(jié)果.【詳解】令，則兩邊平方得，得即，解得：或（舍去）本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算的問題，關(guān)鍵是讀懂已知條件所給的方程的形式，從而可利用換元法來進(jìn)行求解.16.設(shè)函

11、數(shù)是偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則使得成立的的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得時(shí)單調(diào)遞增，結(jié)合可確定當(dāng)時(shí)，即，利用偶函數(shù)的性質(zhì)可確定當(dāng)時(shí)，由此可得最終結(jié)果.【詳解】令，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.是偶函數(shù)且，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，又為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.綜上所述：當(dāng)時(shí)，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用導(dǎo)數(shù)得到所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性求得原不等式的解集.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)z滿足，z的實(shí)部、虛部均為整數(shù)，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.（1）求復(fù)

12、數(shù)z；（2）若，求實(shí)數(shù)m，n的值.【答案】(1) 或. (2) ，.【解析】【分析】（1）利用已知條件，設(shè)出復(fù)數(shù)z，通過及所對(duì)點(diǎn)所在位置求出即可復(fù)數(shù)z；（2）利用（1），結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解m，n的值詳解】（1）設(shè)，則，因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，所以，所以或，所以或（2）由（1）知或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí).因?yàn)?，所以，解得?【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長公式，考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題18.在中，內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c（1）若，證明：；（2）若，證明：【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角，即可得到本題答案；（2

13、）用反證法證明，假設(shè)，得到，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，結(jié)論正確.【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，由正弦定理得；（2）假設(shè)，則，那么，于是，即，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用以及利用反證法證明結(jié)論.19.已知若橢圓：（）交軸于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線，分別交軸于點(diǎn)，則為定值.（1）若將雙曲線與橢圓類比，試寫出類比得到的命題；（2）判定（1）類比得到命題的真假，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）見解析；（2）命題為真命題，證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)類比推理的基本原則可直接寫出結(jié)果；（2）設(shè)，表示出直線方程后可求得點(diǎn)坐標(biāo)，由此得到，同理得到，根據(jù)

14、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可構(gòu)造方程，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上可化簡得到結(jié)果.【詳解】（1）類比得命題：若雙曲線：交軸于兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于的任意一點(diǎn)，直線分別交軸于點(diǎn)，則為定值.（2）在（1）中類比得到的命題為真命題，證明如下：不妨設(shè)，則，直線方程為.令，則，點(diǎn)坐標(biāo)為.又，.同法可求得：.又，.【點(diǎn)睛】本題考查類比推理的應(yīng)用、雙曲線中定值問題的證明；關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，表示出所需的平面向量，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可化簡得到結(jié)果.20.已知函數(shù)，數(shù)列對(duì)于，總有，.（1）求，的值，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【

15、分析】（1）利用函數(shù)解析式可得遞推關(guān)系式，依次代入可求得，由數(shù)字變化規(guī)律可猜想得到通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，可知結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)時(shí)，由遞推關(guān)系式和假設(shè)的結(jié)論整理可知結(jié)論成立，由此可知猜想成立.【詳解】（1）由得：，所以，由此可猜想：.（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)時(shí)，猜想成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)猜想也成立.由知，對(duì)，都成立.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)遞推關(guān)系式求解數(shù)列中的項(xiàng)、猜想通項(xiàng)公式、利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的結(jié)論問題；證明數(shù)學(xué)歸納法時(shí)需注意一定要用到所作的假設(shè).21.設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)

16、時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.【解析】【分析】（1）分別在和兩種情況下，根據(jù)的正負(fù)可確定的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可確定不合題意；當(dāng)時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域可知滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得：.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意.當(dāng)時(shí)，在處取最小值，且，令，解得：，此時(shí)恒成立.綜上所述：的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的求解；求解恒成立問題的關(guān)鍵是能夠通過分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值大于零的問題，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.22.設(shè)函數(shù)，.（1）證明：.（2）若恒成立，求的取值范圍；（3）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.【解析】【分析】（1）令函數(shù)，證明其最小值大于等于0即可（2）原題轉(zhuǎn)化為恒