概率論例題講解

1、例題講解,0.5,1,y=F(x),3-3 設(shè)一個(gè)口袋中有依次標(biāo)有-1,2,2,2,3,3數(shù)字的六個(gè)相同的球，從口袋中任取一個(gè)球，取得的球上標(biāo)有的數(shù)字X是一隨機(jī)變量，求X的分布函數(shù)。,u,u,-0.5,1,(x , y),v,八、設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，其分布列分別為 則下列各式正確的是 。 X=Y (2) P(X=Y)=1/2 (3) P(X=Y)=0 (4) P(X=Y)=1 解：雖然X和Y是相同的分布，但不寫(xiě)成X=Y； P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1) =P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)=0.50.5+0.50.5=0.5 選答案(2),九

2、、設(shè)X,Y滿足D(X+Y)=D(X-Y), 則X, Y必有 . 解：因?yàn)镈(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y) 由于D(X+Y)=D(X-Y) 得 2cov(X,Y)=-2cov(X,Y) cov(X,Y)=0 X,Y不相關(guān)。,十、對(duì)隨機(jī)變量X和Y，已知E(X)=-2, E(Y)=2, D(X)=1, D(Y)=4, X與Y的相關(guān)系數(shù)r = -0.5 由契比 雪夫不等式所能確定的最小正數(shù)c為何值(其中c滿 足不等式 P|X+Y|6c ) 解：E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2c

3、ov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2r =1+4+2(-0.5)12=3 P|(X+Y)-E(X+Y)|6D(X+Y)/62 P|X+Y|63/62=1/12 c=1/12,十一、設(shè)nB(n, p). (0p1, n=1,2,)則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有 解：,十二、(習(xí)題5-2) 設(shè)服從幾何分布 P(=k) = pqk ( k=0,1,2, 0p1, q=1-p ) 求E, D 解：,十三、(習(xí)題5-5) 證明：當(dāng)t=E時(shí)，g(t)=E(-t)2最小，這個(gè)最小值是D 解：g(t)=E(-t)2 = E(2-2t+t2) = E2-2tE+E(t2) = E2-2tE+t2 = E2-(E)2+(

4、E)2-2tE+t2 = D+(t-E)2D 當(dāng)t=E時(shí)， g(t)=D是最小值.,十四 證明：在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)的方差 D1/4 解： B(1, p),十五、(5-18) 設(shè)A和B是一次隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)事件， 有P(A)0, P(B)0, 定義隨機(jī)變量為 試證：若的相關(guān)系數(shù) r=0，則必相互獨(dú)立。,十六、設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 其概率密度分別為 又知隨機(jī)變量 ，求w的分布律及其分布函數(shù)。 解：,w的分布律為： w的分布函數(shù)：,十七 設(shè)隨機(jī)變量和獨(dú)立同分布, 且 P( =k)=1/3, k=1,2,3 又設(shè)X=max(,), Y=min(,). 試(1) 寫(xiě)出(X,Y)的 聯(lián)合分布律

5、； (2) 求E(X) 解: (1) 由于=1,2,3, =1,2,3 所以，X=1,2,3; Y=1,2,3 當(dāng)ij時(shí)，P(X=i, Y=j)=P(max(,)=i, min(,)=j) =P(=i, =j)+P(=j, =i) =P(=i)P(=j)+P(=j)P(=i) =(1/3)(1/3)+(1/3)(1/3)=2/9 當(dāng)i=j時(shí)， P(X=i, Y=j)=P(max(,)=i, min(,)=j) =P(=i, =i)= P(=i)P(=i) =(1/3)(1/3)=1/9 當(dāng)ij時(shí)， P(X=i, Y=j)=P(max(,)=i, min(,)=j)=0,(X,Y)的聯(lián)合概率分布律： (2),十八、設(shè)某班車(chē)起點(diǎn)站上人數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布，且中途不再有人上車(chē)。而車(chē)上每位乘客在中途下車(chē)的概率為p(0p1)，且中途下車(chē)與否相互獨(dú)立，以Y表示在中途下車(chē)的人數(shù)。試求 (1) (X,Y)的聯(lián)合分布律； (2) 求Y的分布律 解: (1) XP(), 當(dāng)X=n時(shí)，YB(n, p) P(Y=k|X=n) = Cnkpk(1-p)n-k k=0,1,2,n 當(dāng)nk時(shí)，P(X=n,