甘肅省岷縣第一中學2021屆高三數學第二次模擬考試試題

1、甘肅省岷縣第一中學2021屆高三數學第二次模擬考試試題本試卷分為第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘第卷選擇題(共45分)參考公式：如果事件a，b互斥，那么p(ab)p(a)p(b)如果事件a，b相互獨立，那么p(ab)p(a)p(b)柱體的體積公式vsh，其中s表示柱體的底面面積，h表示柱體的高錐體的體積公式vsh，其中s表示錐體的底面面積，h表示錐體的高 一、選擇題(本大題共9小題，每小題5分，共45分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1設集合a1，0，1，b1，2，3，cxr|1xbc bbca ccba dcab8若函數f(x)cos

2、(2x)(00，b0)的右焦點為f(5，0)，且一條漸近線方程是yx，則該雙曲線的方程是_11若的展開式中的常數項為160，則實數a_12已知點p(x，y)在直線x2y30上，則2x4y的最小值為_13在abc中，內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.若asincccos0，則cosa_14如圖，點o是長方體abcda1b1c1d1的中心，e，f，g，h分別為其所在棱的中點，且bcbb1.記棱ab的長度為l，點o到平面bcc1b1的距離為l0，則l_l0；若該長方體的體積為120，則四棱錐oefgh的體積為_15在梯形abcd中，abcd，dab90，ab2，cdad1，若點m在線段bd上，

3、則的最小值為_三、解答題(本大題共5小題，共75分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16(本小題滿分14分)天津市某中學為全面貫徹“五育并舉，立德樹人”的教育方針，促進學生各科平衡發(fā)展，提升學生綜合素養(yǎng)該校教務處要求各班針對薄弱學科成立特色學科“興趣學習小組”(每位學生只能參加一個小組)，以便課間學生進行相互幫扶已知該校某班的語文、數學、英語三個興趣小組學生人數分別為10人、10人、15人經過一段時間的學習，上學期期中考試中，他們的成績有了明顯進步現采用分層抽樣的方法從該班的語文、數學、英語三個興趣小組中抽取7人，對期中考試這三科成績及格情況進行調查(1)應從語文、數學、英語三個興趣小組

4、中分別抽取多少人？(2)若抽取的7人中恰好有5人三科成績全部及格，其余2人三科成績不全及格現從這7人中隨機抽取4人做進一步的調查記x表示隨機抽取的4人中，語文、數學、英語三科成績全及格的人數，求隨機變量x的分布列和數學期望；設m為事件“抽取的4人中，有人成績不全及格”，求事件m發(fā)生的概率17(本小題滿分15分)已知各項均為正數的數列an，滿足2sn3(an1)(nn*)(1)求證：an為等比數列，并寫出其通項公式；(2)設bn(2n1)an(nn*)，求數列bn的前n項和tn.18(本小題滿分15分)如圖，四棱錐pabcd中，底面四邊形abcd是直角梯形，pc底面abcd，abcd，bad90

5、，adcd1，abc45，e為pb的中點(1)求證：bc平面pac；(2)若直線pb與平面pac所成角的正弦值為，求二面角pace的余弦值19(本小題滿分15分)已知f1、f2分別是橢圓c：1(ab0)的左、右焦點，其焦距為6，過f1的直線與c交于a，b兩點，且abf2的周長是12.(1)求c的方程；(2)若m(x0，y0)是c上的動點，從點o(o是坐標系原點)向圓(xx0)2(yy0)26作兩條切線，分別交c于p，q兩點已知直線op，oq的斜率存在，并分別記為k1，k2.求證：k1k2為定值；試問|op|2|oq|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由20(本小題滿分16分)已知函

6、數f(x)ex(sinxcosx4)，函數g(x)2xcosx，其中e2.718 28是自然對數的底數(1)求曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程；(2)設函數h(x)f(x)ag(x)(ar)，討論h(x)的單調性；(3)若對任意x，恒有關于x的不等式cosx0成立，求實數m的取值范圍數學答案1b命題立意本題考查集合的交集、補集運算解析ab1，0，1，2，3，(ab)c1，0，故選b.2c命題立意本題考查特稱量詞命題的否定解析特稱量詞命題的否定為全稱量詞命題，命題p的否定是：xr，x22x30，故選c.3d命題立意本題考查復數的除法運算、復數的模解析z，z的實部為1，1，a7，z13

7、i，|z|，故選d.4d命題立意本題考查函數的奇偶性解析f(x)是定義在r上的奇函數，f(0)200a0，a1，f(a)f(1)f(1)(2111)2，故選d.5a命題立意本題考查已知三角函數值求角、求值解析(0，)，又sin，coscos0，故選a.6b命題立意本題考查等差數列的通項公式、前n項和公式解析設等差數列an的首項為a1，公差為d.則解得a7a1(71)d13，故選b.7c命題立意本題考查指數、對數函數的單調性解析alog30.3log0.31，且b1，cba.故選c.8d命題立意本題考查余弦型函數的性質解析當x時，2x，又(0，)，f(x)cos(2x)在上單調遞減，0，.令f(

8、x)0，得2xk，kz，x，kz，f(x)在上存在零點，解得0)相切時，設切點b(x0，y0)，則k，y0x01，x0e，k，此時有三個交點；由圖象可得當k時兩圖象有三個交點，故選b.10.1命題立意本題考查雙曲線的方程、幾何性質解析右焦點f(5，0)，c5，漸近線方程是yx，又a2b2c2，解得a3，b4，雙曲線方程為1.112命題立意本題考查二項展開式中的特定項解析展開式的通項為tr1cr6x6rarcr6x62r，令62r0，得r3，常數項為a3c36160，a2.124命題立意本題考查基本不等式解析點p(x，y)在直線x2y30上，x2y3，2x4y224，當且僅當2x4y，即時等號成

9、立，2x4y的最小值為4.13.命題立意本題考查正弦定理、兩角差的余弦公式解析asincccos0，sinasincsinc(cosasina)0，sinc0，sinacosa，a(0，)，a，cosa.14210命題立意本題考查長方體的性質、棱錐的體積解析o為長方體的中心，o到平面bcc1b1的距離為ab的一半，l2l0.設aba，bcbb1b，則v長方體ab2120.voefghsefghabb2aab210.15命題立意本題考查向量的數量積、向量共線解析如圖，以a為原點，ab所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則a(0，0)，b(2，0)，d(0，1)，c(1，1)設，m(x，y)，則(x

10、2，y)(2，1)，x22，y，即m(22，)，(22，)(12，1)(22)(12)(1)52725.當時，的最小值為.16命題立意本題考查分層抽樣、超幾何分布的分布列和期望、互斥事件的和事件的概率解題思路(1)由分層抽樣的抽樣比確定各層所抽取人數；(2)由題意知x服從超幾何分布，p(xk)(k2，3，4)，寫出分布列，代期望公式得期望值；將事件m分解為兩個互斥的簡單事件，由中分布列得p(m)解(1)依題意，知語文、數學、英語三個興趣小組的人數之比為223，因此，采用分層抽樣方法從中抽取7人，應從語文、數學、英語三個興趣小組中分別抽取2人、2人、3人(2)依題意，得隨機變量x的所有可能取值為

11、2，3，4.所以，p(xk)(k2，3，4)因此，所求隨機變量x的分布列為x234p故隨機變量x的數學期望為e(x)234.依題意，設事件b為“抽取的4人中，三科成績全及格的有2人，三科成績不全及格的有2人”；事件c為“抽取的4人中，三科成績全及格的有3人，三科成績不全及格的有1人”則有mbc，且b與c互斥由知，p(b)p(x2)，p(c)p(x3)，所以p(m)p(bc)p(x2)p(x3).故事件m發(fā)生的概率為.17命題立意本題考查等比數列的證明、通項公式、錯位相減法求和解題思路(1)利用ansnsn1(n2)及已知整理得3(n2)得an為等比數列，由n1求出a1，寫出an的通項公式；(2

12、)由(1)寫出bn的通項公式，利用錯位相減法求和即可解(1)證明：因為2sn3(an1)(nn*)，所以，當n2時，有2sn13(an11)，得2(snsn1)3(anan1)，即2an3an3an1，所以3(nn*，n2)所以數列an是公比為3的等比數列又由得2s12a13(a11)，所以a13.所以ana1qn133n13n，(2)由題意及(1)得bn(2n1)an(2n1)3n.所以tn131332(2n1)3n，所以3tn132333(2n3)3n(2n1)3n1，得2t(2n1)3n1312(3132333n)(2n1)3n132(2n1)3n162(n1)

13、3n1，故tn3(n1)3n1.18命題立意本題考查線面垂直的證明、線面角、二面角解題思路(1)只須證出bcac，bcpc，即可由線面垂直的判定定理得bc平面pac；(2)由(1)知sinbpc，得pb值，在rtpbc中求得pc值，建立空間直角坐標系，分別求出平面pac與平面ace的一個法向量，利用向量法求得二面角的余弦值解(1)證明：因為abcd，bad90，所以adc90.又因為adcd1，所以acd是等腰直角三角形，所以ac，cad45.又因為bad90，abc45，所以acb90，即acbc.因為pc底面abcd，bc平面abcd，所以pcbc.又pcacc，所以bc平面pac.(2)

14、在rtabc中，abc45，ac，所以bc.由(1)知，bc平面pac，所以bpc是直線pb與平面pac所成的角，則sinbpc.在rtpbc中，pb，所以pc2.方法一：以點c為原點，分別以，的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系cxyz.則c(0，0，0)，p(0，0，2)，a(，0，0)，b(0，0)因為e為pb的中點，所以e，所以(，0，0)，.設平面ace法向量為m(x，y，z)，則即令y2，得x0，z，所以m(0，2，)由bc平面pac，則n(0，1，0)為平面pac的一個法向量所以cosm，n.故所求二面角pace的余弦值為.方法二：以點c為原點，分別以，的

15、方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系cxyz.則c(0，0，0)，p(0，0，2)，a(0，0)，b(，0，0)因為e為pb的中點，所以e，所以(0，0)，.設平面ace法向量為m(x，y，z)，則即令x2，得y0，z.所以m(2，0，)由bc平面pac，則n(1，0，0)為平面pac的一個法向量所以cosm，n.故所求二面角pace的余弦值為.19命題立意本題考查橢圓方程、直線與圓、直線與橢圓的位置關系解題思路(1)由已知列方程組求出a，b得橢圓方程；(2)設直線op方程、oq方程由op、oq分別與圓相切得k1、k2是一元二次方程的兩實根，由韋達定理得k1k2為定值將直

16、線op、oq方程分別與橢圓方程聯立求得p、q坐標，從而得|op|2|oq|2表達式，利用中結論整理得定值解(1)設橢圓c：1(ab0)的焦距為2c(c0)，則2c6，所以c3.因為直線ab過c的焦點f1，且abf2的周長是12，所以|ab|(|af2|bf2|)(|af1|bf1|)(|af2|bf2|)4a12，所以a3，所以b2a2c21899，所以，橢圓c的方程是1.(2)證明：由題意得，直線op：yk1x，直線oq：yk2x.因為直線op，oq與圓m相切，所以，化簡，得(x206)k212x0y0k1y2060；同理，得(x206)k222x0y0k2y2060.所以k1，k2是一元二

17、次方程(x206)k22x0y0ky2060的兩實數根，則有k1k2.又因為點m(x0，y0)在c上，所以1，即y209x20，所以k1k2(定值)|op|2|oq|2是定值，且定值為27.理由如下：方法一：設p(x1，y1)，q(x2，y2)聯立方程組解得所以x21y21.同理，得x22y22.由知k1k2，所以|op|2|oq|2x21y21x22y2227，所以|op|2|oq|227(定值)方法二：設p(x1，y1)，q(x2，y2)由知k1k2，所以y21y22x21x22.因為p(x1，y1)，q(x2，y2)在c上，所以即所以(9x21)(9x22)x21x22，整理得x21x2

18、218，所以y21y229.故有|op|2|oq|227(定值)20命題立意本題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、恒成立問題解題思路(1)對f(x)求導，得切線斜率，點斜式寫出切線方程；(2)對h(x)求導，分a0和a0兩種情況討論h(x)的單調性；(3)問題轉化為excosxxm0對x恒成立，求m范圍，構造函數(x)excosxxm，對(x)求導，判(x)的單調性，由(x)max0求得m的取值范圍解(1)由題意，得f(x)ex(sinxcosx4)ex(cosxsinx)ex(2sinx4)，所以f(0)4.因為f(0)3，所以y34(x0)，即所求曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為：4xy30.(2)易知，函數h(x)的定義域為r，g(x)2sinx，且有h(x)f(x)ag(x)ex(2sinx4)a(sinx2)(2exa)(sinx2)由于sinx20在xr上恒成立，所以當a0時，2exa0在xr上恒成立，此時h(x)0，所以，h(x)在區(qū)間(，)上單調遞增當a0時，由