數(shù)值分析-李慶楊插值法2

1、例 已知函數(shù) 的數(shù)值表： 試作出 三次Newton向前向后插值公式,并計(jì)算 、 的近似值。 解：由 令,構(gòu)造差分表如下： 有上表，得,牛頓三次向前、向后插值公式分別為 得,給定插值結(jié)點(diǎn) ,相應(yīng)函數(shù)值 及導(dǎo)數(shù)值 , 求一個(gè)2n+1次多項(xiàng)式 ,使其滿足條件,一、問題的提出,第五節(jié) Hermite插值,二. 構(gòu)造方法 構(gòu)造基函數(shù) ,使其滿足如下條件 由 的條件,利用Lagrange插值基函數(shù),令 則由條件得 整理得到,進(jìn)而得到 同理可設(shè) ,由條件可求得 從而 于是,Hermite插值公式可以表示為,三、插值余項(xiàng) Hermite插值余項(xiàng)為 注:證明方法同Lagrange插值余項(xiàng)證明, 構(gòu)造函數(shù),例 求

2、過0,1兩點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)三次插值多項(xiàng)式,滿足條件 解: 設(shè) 利用條件得 所以,第六節(jié) 分段低次插值,多項(xiàng)式插值的問題,前面介紹了構(gòu)造插值公式的方法，并 分析了它們的余項(xiàng)。在實(shí)際應(yīng)用插值函數(shù) 作近似計(jì)算時(shí)，總希望插值公式余項(xiàng) 的絕對(duì)值小一些，即使得逼近的精度好。 從 表達(dá)式看，似乎 提高插值多項(xiàng) 式的次數(shù)便可達(dá)到目的，但實(shí)際上并非 如此,在插值過程中有兩種誤差： 1）由插值函數(shù) 替代被插函數(shù) 所引起的截?cái)嗾`差； 2）節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的誤差。這種誤差在插值過程中是否會(huì)被擴(kuò)散或放大呢？這就是插值過程的穩(wěn)定性問題。對(duì)任意的插值節(jié)點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)， 不一定收斂到 ，事實(shí)上，當(dāng)n變大時(shí)，插值過程對(duì)于節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)誤差非常敏感，

3、也就是說高次插值具有數(shù)值不穩(wěn)定性,例1 給定函數(shù),取其等距節(jié)點(diǎn) ， 構(gòu) 造的Lagrange插值多項(xiàng)式為 當(dāng) 時(shí)， 只能在 內(nèi)收斂，而 在這個(gè)區(qū)間以外是發(fā)散的。這種畸形現(xiàn)象 通常叫做Runge現(xiàn)象。如下圖所示,一、問題提出 設(shè) 是定義在a,b上的函數(shù)，在a,b上節(jié)點(diǎn) 的函數(shù)值為 ,若函數(shù) 滿足條件 (1) 在區(qū)間a , b上連續(xù); (2) 在每個(gè)子區(qū)間 上是次數(shù)為m的多項(xiàng)式; 則稱 是 在a ,b上的分段m次插值多項(xiàng)式。 m=1稱為分段線性插值 m=2稱為分段拋物線插值,二、分段線性插值的構(gòu)造 易知 在每個(gè)子區(qū)間 上是一次插值多項(xiàng)式 分段線性插值的余項(xiàng) 其中,例 設(shè) ，-1 x 1 將區(qū)間-1，1 10 等份，用分段線性插值近似計(jì)算 。 解：插值節(jié)點(diǎn)為 ， 因?yàn)?-0.96-1,-0.8,取此區(qū)間為線性插值區(qū)間，其上的插值函數(shù)為 所以,三、評(píng)價(jià),分段線性插值簡便易行，節(jié)點(diǎn)加密誤差變小，且插值函數(shù)只依賴于本段的節(jié)點(diǎn)值，計(jì)算誤差基本不擴(kuò)大、穩(wěn)定。但在節(jié)點(diǎn)處插值函數(shù)不可微，光滑度不夠