計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)基礎(chǔ)5

1、第2章 系統(tǒng)建模的基本方法與模型處理技術(shù),3. 數(shù)學(xué)模型,離散時(shí)間系統(tǒng)是同連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)的，它的輸入、輸出均是離散時(shí)間信號(hào)。同連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一樣，它的數(shù)學(xué)模型也分為四種形式,a)差分方程,設(shè)系統(tǒng)的輸入序列u(k)，輸出序列y(k)，系統(tǒng)輸入、輸出滿足,前向差分,或,差分,一般的,或,1,b)傳遞函數(shù),對(duì)式(1)兩邊取Z變換，若系統(tǒng)的初始條件為零，y(k)=0，u(k)=0，k0，則可得,其中 Y(z)是序列y(k)的z變換； U(k)是序列u(k)的z變換。 系統(tǒng)的離散傳遞函數(shù)為,2,c)狀態(tài)方程,前面列出的模型只描述了系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列之間的關(guān)系，為了進(jìn)行仿真，通常要采用系統(tǒng)的內(nèi)部模

2、型，即離散狀態(tài)空間模型。通常引進(jìn)狀態(tài)變量序列x(k)，構(gòu)造系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。一般的形式為,3,d)結(jié)構(gòu)圖,離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖表示和連續(xù)系統(tǒng)的相似，只要將每一個(gè)方框圖內(nèi)的連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)s換成離散系統(tǒng)的z函數(shù)即可,2.2.4 采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展，人們不僅采用數(shù)字計(jì)算機(jī)而且利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)，形成數(shù)字控制系統(tǒng)（或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)），其控制器是由數(shù)字計(jì)算機(jī)組成的。它的輸入變量和控制變量只是在采樣點(diǎn)（時(shí)刻）取值的間斷的脈沖序列信號(hào)，描述它的數(shù)學(xué)模型是離散的差分方程或離散狀態(tài)方程；而被控對(duì)現(xiàn)象是連續(xù)的，其數(shù)學(xué)模型是連續(xù)時(shí)間模型，所以整個(gè)系統(tǒng)實(shí)際是一個(gè)連續(xù)離散混

3、合系統(tǒng)。它主要有連續(xù)的控制對(duì)象、離散的控制器、采樣器和保持器等幾個(gè)環(huán)節(jié)組成，這就是采樣系統(tǒng)的典型形式,描述采樣系統(tǒng)的模型就是連續(xù)離散混合模型，采樣系統(tǒng)的框圖如圖1所示。采樣控制系統(tǒng)里，采樣開(kāi)關(guān)和保持器是作為物理實(shí)體存在的,數(shù)字控制器把系統(tǒng)的模擬信號(hào)e(t)經(jīng)過(guò)采樣器及A/D轉(zhuǎn)換器變成計(jì)算機(jī)可以接受的數(shù)字信號(hào)，經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)處理以后以數(shù)字量輸出，再經(jīng)過(guò)D/A轉(zhuǎn)換器變成模擬量輸入到被控對(duì)象。一般地，D/A轉(zhuǎn)換器要將計(jì)算機(jī)第k次的輸出保持一段時(shí)間，直到計(jì)算機(jī)第k+1次計(jì)算結(jié)果給它以后，其值才改變，因此通常把D/A轉(zhuǎn)換器看成零階保持器,嚴(yán)格地來(lái)講，A/D轉(zhuǎn)換器、計(jì)算機(jī)處理器、D/A轉(zhuǎn)換器這三者并不是同步并

4、行地進(jìn)行工作，而是一種串行流水的工作方式，通常三者完成各自的任務(wù)所花費(fèi)的時(shí)間并不嚴(yán)格相等，但如果三個(gè)時(shí)間的總和與采樣周期T相比可以忽略不計(jì)時(shí)，一般就認(rèn)為數(shù)字控制器對(duì)控制信號(hào)的處理是瞬時(shí)完成的，采樣開(kāi)關(guān)是同步進(jìn)行的，如果要考慮完成任務(wù)的時(shí)間的話，可以在系統(tǒng)中增加一個(gè)純滯后環(huán)節(jié)。顯然D/A轉(zhuǎn)換的作用相當(dāng)于一個(gè)零階的信號(hào)重構(gòu)器。 我們?nèi)绻麑⑦B續(xù)的控制對(duì)象同保持器一起進(jìn)行離散化，那么采樣系統(tǒng)就簡(jiǎn)化為離散系統(tǒng)，采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以采用離散系統(tǒng)的四種數(shù)學(xué)模型表示 。 詳細(xì)的內(nèi)容會(huì)在采樣控制系統(tǒng)仿真一節(jié)中介紹,2.3非線性模型的線性化處理,在實(shí)際工作中，純粹的線性系統(tǒng)幾乎是不存在的，說(shuō)一個(gè)物理系統(tǒng)是線性的

5、，實(shí)際上是看它的某些主要物理性能可以充分精確地用一個(gè)線性模型加以描述而已。所謂“充分精確”是指實(shí)際系統(tǒng)與理想的線性系統(tǒng)之間的差別，相對(duì)于所研究的問(wèn)題而言，已經(jīng)小到忽略不計(jì)的程度。由于非線性模型的性質(zhì)一般比線性模型的性質(zhì)復(fù)雜的多，所以工程上常常用線性的關(guān)系近似地代替非線性關(guān)系。 在進(jìn)行模型線性化處理時(shí)，一般把受控量與輸入量之間的函數(shù)關(guān)系分成兩類：一類函數(shù)的函數(shù)值與各階導(dǎo)數(shù)值都是連續(xù)的，至少在工作范圍內(nèi)是連續(xù)的，稱這類函數(shù)是光滑的，光滑函數(shù)的非線性是不嚴(yán)重的非線性，或可以在一個(gè)小的范圍內(nèi)用線性函數(shù)來(lái)近似；另一類函數(shù)是不光滑函數(shù)，不光滑函數(shù)是嚴(yán)重的非線性，一般來(lái)說(shuō)不能用線性函數(shù)來(lái)近似，而只能視系統(tǒng)的

6、物理性質(zhì)來(lái)采取特定的線性化方法,2.3.1微偏線性化方法,1. 線性化的基本概念 所謂非線性數(shù)學(xué)模型的線性化就是對(duì)一個(gè)非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型找出其穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，如果在工作過(guò)程中，代表系統(tǒng)屬性的各物理量只在該平衡點(diǎn)附近產(chǎn)生微小的變化，非線性系統(tǒng)模型就能夠以此平衡點(diǎn)為基礎(chǔ)，表示成一個(gè)線性模型，關(guān)于線性系統(tǒng)的控制理論都能適用于該模型。這便是自動(dòng)控制理論里關(guān)于小偏差線性化方法或稱增量線性化方法的概念,2. 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化的基本方法 對(duì)于非線性系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)變量偏離工作點(diǎn)的偏差值很小時(shí)，由級(jí)數(shù)理論可知，若變量在給定的工作區(qū)間內(nèi)其各階導(dǎo)數(shù)存在，便可在給定工作點(diǎn)的鄰域內(nèi)將非線性特性展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，當(dāng)偏差

7、的范圍很小時(shí)，可以忽略級(jí)數(shù)中偏差的高次項(xiàng)，得到只包含偏差的一次項(xiàng)的線性方程,4. 微偏線性化的幾何意義,在希望的工作點(diǎn)用切線方程來(lái)近似代替曲線方程，是微偏線性化方法的幾何含義,2.4 高階模型的降階處理 在系統(tǒng)分析、設(shè)計(jì)和仿真中，常常會(huì)遇到一些復(fù)雜系統(tǒng)，這些系統(tǒng)的狀態(tài)變量很多，階次很高。例如電力系統(tǒng)，研究電磁暫態(tài)時(shí)的發(fā)電機(jī)系統(tǒng)等。 對(duì)于高階系統(tǒng)進(jìn)行仿真或設(shè)計(jì)是很麻煩的，從仿真的角度來(lái)講，高階系統(tǒng)的仿真要占用較多的內(nèi)存和機(jī)時(shí)。從系統(tǒng)設(shè)計(jì)的角度來(lái)看，高階系統(tǒng)的控制器往往十分復(fù)雜，有的甚至是不可能實(shí)現(xiàn)的。因此需要對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化降階，使其變得比較易于計(jì)算機(jī)和工程上實(shí)現(xiàn)，同時(shí)又要能在一定的精度范圍內(nèi)

8、表現(xiàn)原系統(tǒng)的特性。 所謂的模型簡(jiǎn)化，就是說(shuō)為高階復(fù)雜的系統(tǒng)準(zhǔn)備一個(gè)低階的近似模型，它在計(jì)算上、分析上都比原來(lái)的高階系統(tǒng)模型簡(jiǎn)單，而且還可以提供關(guān)于原系統(tǒng)的足夠多的信息。 衡量一個(gè)模型的簡(jiǎn)化方法的可行性通常有四條標(biāo)準(zhǔn)：準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性、簡(jiǎn)便型和靈活性,準(zhǔn)確性：要求簡(jiǎn)化的模型與原型的主要特征一致，如主導(dǎo)極點(diǎn)一致，靜態(tài)增益一致，頻率響應(yīng)與時(shí)間響應(yīng)基本一致等。 穩(wěn)定性：要求簡(jiǎn)化的模型的穩(wěn)定性與原型一致，而且具有相近的穩(wěn)定裕量。 簡(jiǎn)便性：要求從原型獲得簡(jiǎn)化模型的過(guò)程簡(jiǎn)單,計(jì)算量小。 靈活性：要求根據(jù)實(shí)際情況方便地進(jìn)行調(diào)整，并得出所有側(cè)重的簡(jiǎn)化模型。 通常以上幾個(gè)要求是難以同時(shí)滿足的，有的方法準(zhǔn)確性好，但計(jì)

9、算量大；有的計(jì)算方便，但未必能保證穩(wěn)定性等等，在實(shí)際中往往要綜合考慮才行。 一般模型的簡(jiǎn)化技術(shù)分為兩大類：一類是在狀態(tài)空間模型上進(jìn)行簡(jiǎn)化，稱為時(shí)域模型簡(jiǎn)化法，另一類是在傳遞函數(shù)模型上進(jìn)行簡(jiǎn)化，稱為頻域簡(jiǎn)化法。具體的簡(jiǎn)化方法在近幾年不斷涌現(xiàn)，在工程實(shí)際中都有應(yīng)用,2.5連續(xù)系統(tǒng)模型的離散化處理,在前面介紹采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，已經(jīng)介紹了數(shù)字控制系統(tǒng)的模型。在仿真時(shí)可以先將連續(xù)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行離散化得到離散的數(shù)學(xué)模型，然后再進(jìn)行仿真。進(jìn)行的每一步計(jì)算都是以這個(gè)離散的模型為基礎(chǔ)的，原來(lái)的連續(xù)系統(tǒng)的模型不再參與計(jì)算，這些結(jié)構(gòu)上比較簡(jiǎn)單的離散系統(tǒng)，比較便于在計(jì)算機(jī)上求解,基本思想:傳遞函數(shù)是控制工程領(lǐng)域中

10、應(yīng)用最為廣泛的模型描述形式。對(duì)于給定的函數(shù)G(s)，設(shè)法找到s域到z域的某種映射關(guān)系，它將s域的變量s映射到z平面上，由此得到與連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)相對(duì)應(yīng)的離散傳遞函數(shù)G(z,2.5.1 替換法,即首先求出,然后直接把它帶入,就可以得出,進(jìn)而根據(jù)G(z)由Z反變換求得系統(tǒng)的時(shí)域離散模型差分方程，據(jù)此便可以進(jìn)行快速求解,根據(jù)Z變換定義，可得S域到Z域的最基本的映射關(guān)系是,其中T為采樣周期,1,2,設(shè),這個(gè)傳遞函數(shù)意味著模擬輸入u(t)和輸出y(t)之間有如下關(guān)系。即,用,便可寫(xiě)出與上式相聯(lián)系的差分方程,3,4,5,方程兩邊取Z變換，并進(jìn)行整理得,進(jìn)一步得,比較G(s) 與G(z,如果G(s)

11、中的,則,簡(jiǎn)單替換法 （Euler法,6,7,8,由(5)式,可得,9,由(4)式,10,可得,對(duì)比(9)式、(10)式可見(jiàn)簡(jiǎn)單替換法的幾何意義為,幾何意義,例1. 已知二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,用簡(jiǎn)單替換法確定它的z傳遞函數(shù)和差分方程,解,做變換,得,進(jìn)行z反變換得,2.雙線性替換法 同上對(duì)于傳遞函數(shù)最基本的形式,這個(gè)傳遞函數(shù)意味著模擬輸入u(t)和輸出y(t)之間有如下關(guān)系。即,利用,1,2,便可寫(xiě)出與上式相聯(lián)系的差分方程,方程兩邊取Z變換，并進(jìn)行整理得,進(jìn)一步得,比較G(s) 與G(z)可知,雙線性替換法（Tustin變換,如果,則,3,4,5,6,幾何意義,由(3)式,得,7,由(2)式,

12、8,可得,對(duì)比(7)式、(8)式可見(jiàn)簡(jiǎn)單替換法的幾何意義為,這一變換也可以由下面的關(guān)系直接推得,例2. 利用Tustin變化求上例中的二階系統(tǒng)的差分模型,原系統(tǒng)為,則,進(jìn)行反變換得到相應(yīng)的差分模型,3. 根匹配法,由控制理論可知，連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是由其傳遞函數(shù)的增益及零點(diǎn)、極點(diǎn)的分布情況所決定的，根匹配的基本思想就是構(gòu)造一個(gè)相應(yīng)于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的離散傳遞函數(shù)，使兩者的零點(diǎn)、極點(diǎn)相匹配，并且兩者具有相同的終態(tài)響值，具體的做法是 , 假定線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,構(gòu)造離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,1,2,其中,滿足某種匹配關(guān)系,將s平面上的零、極點(diǎn)映射到z平面上,是因?yàn)楫?dāng)nm時(shí)，根據(jù)經(jīng)典的根軌跡法可知，此時(shí)G

13、(s,存在n-m個(gè)位于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的零點(diǎn)，可以認(rèn)為n-m個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)零點(diǎn)位于負(fù)實(shí)軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)處，則根據(jù)映射關(guān)系可知在z平面上必須再配n-m個(gè)位于原點(diǎn)的零點(diǎn)；Kz是根據(jù)G(z)與G(s)的終值相同的條件而確定的增益。 顯然，按照上述思想構(gòu)造的離散模型不僅具有良好的算法穩(wěn)定性，而且保持了原系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,利用關(guān)系式,如上所述，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)匹配往往從以下幾個(gè)方面加以考慮： G(z)與G(s)具有相同數(shù)目的極點(diǎn)和零點(diǎn)； G(z)具有與G(s)的極點(diǎn)、零點(diǎn)相匹配的極點(diǎn)和零點(diǎn)； G(z)具有與G(s)的終值相匹配的終值 調(diào)節(jié)相位，使G(z)與G(s)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)達(dá)到最佳匹配,一般來(lái)說(shuō)，在做系統(tǒng)的離散化時(shí)首先要假設(shè)原連續(xù)

14、系統(tǒng)滿足以下條件： 系統(tǒng)是線性的；系統(tǒng)必須是可以進(jìn)行拉普拉斯變換的；系統(tǒng)必須是漸進(jìn)穩(wěn)定的，并滿足終值定理；終值必須是非零的。然后，通過(guò)以下的步驟來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)的離散化,確定連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)； 將G(s) 寫(xiě)成式(1)形式，以確定零、極點(diǎn)，即pi (i=1,2,m)，qj (j=1,2,n)； 利用關(guān)系式,利用上一步求得的z平面上的零、極點(diǎn)寫(xiě)出離散傳遞函數(shù)G(z)，暫不考慮附加零點(diǎn)，Kz待定,將s平面上的零、極點(diǎn)映射到z平面上,4.確定連續(xù)系統(tǒng)在單位階躍作用下的終值，若對(duì)單位階躍信號(hào)的響應(yīng)終值為零，則考慮其它形式的典型輸入函數(shù),5. 確定離散系統(tǒng)在典型信號(hào)（與第4步中使用的信號(hào)形式完全相同）作用下的終值； 6. 根據(jù)終值不變的原則，由第4、第5兩步的計(jì)算結(jié)果確定第4步中的增益Kz； 7. 確定離散傳遞函數(shù)G(z)的附加零點(diǎn)，使得G(z)分子與分母階次相匹配，并盡量保證G(z) 和G(s)達(dá)到最佳匹配（附加零點(diǎn)后應(yīng)重新確定增益Kz）； 8. 對(duì)第7步中的G(z)進(jìn)行z逆變換，求得仿真用的差分方程,此外，在確定離散傳遞函數(shù)G(z)增益Kz時(shí)，其取值同具體的輸入信號(hào)形式有關(guān)，所以在利用最終的差分模型進(jìn)