八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培優(yōu)專(zhuān)題及答案13 三角形的基本知識(shí)

1、 專(zhuān)題13 三角形的基本知識(shí)閱讀與思考三角形是最基本的幾何圖形，是研究復(fù)雜幾何圖形的基礎(chǔ)，許多幾何問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題來(lái)解.三角形基本知識(shí)主要包括三角形基本概念、三角形三邊關(guān)系定理及推論、三角形內(nèi)角和定理及推論等，它們?cè)诰€段和角度的計(jì)算、圖形的計(jì)數(shù)等方面有廣泛的應(yīng)用.解與三角形的基本知識(shí)相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常用到數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論法，即用代數(shù)方法解幾何計(jì)算題及簡(jiǎn)單的證明題，對(duì)三角形按邊或按角進(jìn)行恰當(dāng)分類(lèi).應(yīng)熟悉以下基本圖形：例題與求解【例1】 在ABC中，A=50，高BE，CF交于O，則BOC=_.（“東方航空杯”上海市競(jìng)賽試題）解題思路：因三角形的高不一定在三角形內(nèi)部，故應(yīng)注意符合題設(shè)條件的

2、圖形多樣性.【例2】 等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成12cm和21cm兩部分，則這個(gè)等腰三角形底邊的長(zhǎng)為（ ）A.17cm B.5cm C.5cm或17cm D.無(wú)法確定（北京市競(jìng)賽試題）解題思路：中線所分兩部分不等的原因在于等腰三角形的腰與底的不等，應(yīng)分情況討論.【例3】 如圖，BE是ABD的平分線，CF是ACD的平分線，BE與CF交于G，若BDC=140，BGC=110，求A的大小.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：運(yùn)用凹四邊形的性質(zhì)計(jì)算.【例4】 在ABC中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均為正數(shù)，且ABC，4C7A，求B的度數(shù).（北京市競(jìng)賽試題）解題思路：把A，C用B的代數(shù)式表示，建立關(guān)

3、于B的不等式組，這是解本題的突破口.【例5】 （1）周長(zhǎng)為30，各邊長(zhǎng)互不相等且都是整數(shù)的三角形共有多少個(gè)？（2）現(xiàn)有長(zhǎng)為150cm的鐵絲，要截成小段，每段的長(zhǎng)不小于1cm的整數(shù)，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，試求的最大值.此時(shí)有幾種方法將該鐵絲截成滿足條件的段.（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：對(duì)于（1），不妨設(shè)三角形三邊為，且，由條件及三角形三邊關(guān)系定理可確定的取值范圍，從而可以確定整數(shù)的值.對(duì)于（2），因段之和為定值150cm，故欲使盡可能的大，必須使每段的長(zhǎng)度盡可能的小.這樣依題意可構(gòu)造一個(gè)數(shù)列.【例6】 在三角形紙片內(nèi)有2 008個(gè)點(diǎn)，連同三角形紙片的3個(gè)頂點(diǎn)，共有2 011個(gè)點(diǎn)，在

4、這些點(diǎn)中，沒(méi)有三點(diǎn)在一條直線上.問(wèn)：以這2 011個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)能把三角形紙片分割成多少個(gè)沒(méi)有重疊部分的小三角形？（天津市競(jìng)賽試題）解題思路：本題的解題關(guān)鍵是找到規(guī)律：三角形內(nèi)角每增加1個(gè)內(nèi)點(diǎn)，就增加了2個(gè)三角形和3條邊.能力訓(xùn)練A級(jí)1.設(shè)，是ABC的三邊，化簡(jiǎn)=_.2.三角形的三邊分別為3，8，則的取值范圍是_.3.已知一個(gè)三角形三個(gè)外角度數(shù)比為2:3:4，這個(gè)三角形是_（按角分類(lèi))三角形.4.如圖，A+B+C+D+E的度數(shù)為_(kāi). （“縉云杯“試題） （第4題） （第5題） （第6題）5.如圖，已知ABCD，GM，HM分別是AGH，CHG的角平分線，那么GMH=_. （第7題） （第9題） 6.

5、如圖，ABC中，兩外角平分線交于點(diǎn)E，則BEC等于（ ）A. B.C. D.7.如圖，在ABC中，BD，BE分別是高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)HBE交BD于G，交BC于H.下列結(jié)論：DBE=F；2BEF=BAF+C；F=（BAC-C）；BGH=ABE+C.其中正確的是（ ）A. B. C. D.8.已知三角形的每條邊長(zhǎng)的數(shù)值都是2 001的質(zhì)因數(shù)，那么這樣的不同的三角形共有（ ）A.6個(gè) B.7個(gè) C.8個(gè) D.9個(gè)9. 如圖，將紙片ABC沿著DE折疊壓平，則（ ） A.A=1+2 B.A=（1+2）C.A=（1+2） D.A=（1+2）（北京市競(jìng)賽試題）10.一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是偶數(shù)

6、，其中的兩條邊分別是4和1 997，則滿足上述條件的三角形的個(gè)數(shù)是（ ）A.1個(gè) B.3個(gè) C.5個(gè) D.7個(gè)（北京市競(jìng)賽試題）11.如圖，已知3=1+2，求證：A+B+C+D=180.（河南省競(jìng)賽試題） 12.平面內(nèi)，四條線段AB，BC，CD，DA首尾順次連接，ABC=24，ADC=42.（1）BAD和BCD的角平分線交于點(diǎn)M（如圖1），求AMC的大小.（2）點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，DAE的平分線和BCD平分線交于點(diǎn)N（如圖2），求ANC. 圖1 圖2 13.三角形不等式是指一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)度之和大于第三邊的長(zhǎng)度.在下圖中，E位于線段CA上，D位于線段BE上.（1）證明：AB+AEDB+DE

7、；（2）證明：AB+ACDB+DC；（3）AB+BC+CA與2（DA+DB+DC）哪一個(gè)更大？證明你的結(jié)論；（4）AB+BC+CA與DA+DB+DC哪一個(gè)更大？證明你的結(jié)論.（加拿大埃蒙德頓市競(jìng)賽試題） B級(jí)1.已知三角形的三條邊長(zhǎng)均為整數(shù)，其中有一條邊長(zhǎng)是4，但不是最短邊，這樣的三角形的個(gè)數(shù)有_個(gè).（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）2.以三角形的3個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的9個(gè)點(diǎn)共12個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)能把原三角形分割成_個(gè)沒(méi)有公共部分的小三角形.3.ABC中，A是最小角，B是最大角，且有2B=5A，若B的最大值是，最小值是，則_.（上海市競(jìng)賽試題）4.如圖，若CGE=，則A+B+C+D+E+F=_.（山東省競(jìng)賽試題

8、）（第4題） （第5題）5.如圖，在ABC中，A=96，延長(zhǎng)BC到D，ABC與ACD的平分線相交于點(diǎn)，與的平分線相交于點(diǎn)，依此類(lèi)推，與的平分線相交于點(diǎn)，則的大小是（ ）A.3 B.5 C.8 D.19.26.四邊形ABCD兩組對(duì)邊AD，BC與AB，DC延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，AEB，AFD的平分線交于點(diǎn)P.A=64，BCD=136，則下列結(jié)論中正確的是（ ） EPF=100； ADC+ABC=160； PEB+PFC+EPF=136； PEB+PFC=136.A. B. C. D.7.三角形的三角內(nèi)角分別為，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. （重慶市競(jìng)賽試題）8.已知周長(zhǎng)小于15

9、的三角形三邊的長(zhǎng)都是質(zhì)數(shù)，且其中一邊的長(zhǎng)為3，這樣的三角形有（ ）A.4個(gè) B.5個(gè) C.6個(gè) D.7個(gè)（山東省競(jìng)賽試題）9.不等邊ABC的兩條高的長(zhǎng)度分別為4和12，若第三條高的長(zhǎng)也是整數(shù)，試求它的長(zhǎng).（第三十二屆美國(guó)邀請(qǐng)賽試題）10.設(shè)，均為自然數(shù)，滿足且，試問(wèn)以，為三邊長(zhǎng)的三角形有多少個(gè)？11.銳角三角形用度數(shù)來(lái)表示時(shí)，所有角的度數(shù)為正整數(shù)，最小角的度數(shù)是最大角的度數(shù)的，求滿足此條件的所有銳角三角形的度數(shù).（漢城國(guó)際數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）12.如圖1，A為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，B為軸正半軸上一點(diǎn)，C（0，-2），D（-2，-2）.（1）求BCD的面積；（2）如圖2，若BCO=BAC，作AQ平分BAC

10、交軸于P，交BC于Q. 求證：CPQ=CQP；（3）如圖3，若ADC=DAC，點(diǎn)B在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，ACB的平分線交直線AD于E，DFAC交軸于F，F(xiàn)M平分DFC交DE于M，的值是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論. 圖1 圖2 圖313.如圖1，.且，滿足.圖1 圖2（1）求A，B的坐標(biāo)；（2）C為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，D為BCO中BCO的外角平分線與COB的平分線的交點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)C，使D=COB.若存在，求C點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖2，C為軸正半軸上A的上方一動(dòng)點(diǎn)，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連CP延長(zhǎng)交軸于E，CAB和CEB平分線交于F，點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的值是否發(fā)生變化？若不變求其值；若變化，求其范圍.專(zhuān)題1

11、3 三角形的基本知識(shí)例1 130或50 例2 B 例3 80 提示：A2BGCBDC例4 設(shè)Cx，則A(x)， B180CA180x由ABC，得x180xx解得70x84 x是整數(shù)， x77故C77，則A44，B180774459例5 （1）不妨設(shè)abc，則由，得10c15c是整數(shù)， c11，12，13，14當(dāng)c11時(shí)，b10，a9當(dāng)c12時(shí)，b11，a7；b10，a8當(dāng)c13時(shí)，b12，a5；b11，a6；b10，a7；b19，a8當(dāng)c14時(shí)，b13，a3；b12，a4；b11，a5；b10，a6；b9，a7（2）這些小段的長(zhǎng)度只可能分別是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89

12、但1125813213455143150，1123581321345589150，故n的最大值為10.共有以下7種方式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）；（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）；（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）；（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）；（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）；（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）；（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）.例6 解法1 我們不妨先考察三角形內(nèi)有1個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)的簡(jiǎn)單情況，有下表所示的關(guān)系：三角形內(nèi)點(diǎn)數(shù)1234連線得

13、到的小三角形個(gè)數(shù)3579不難發(fā)現(xiàn)，三角形內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)時(shí)，連線可得到3個(gè)小三角形，以后每增加一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)必落在某一個(gè)小三角形內(nèi)，它與該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可得到三個(gè)小三角形，從而增加了兩個(gè)小三角形，于是可以推出，當(dāng)三角形內(nèi)有2008個(gè)點(diǎn)是，連線可得到小三角形的個(gè)數(shù)為：32（20081）4017（個(gè)）.解法2 整體核算法設(shè)連線后把原三角形分割成n個(gè)小三角形，則它們的內(nèi)角和為180n，又因?yàn)樵切蝺?nèi)每一個(gè)點(diǎn)為小三角形頂點(diǎn)時(shí)，能為小三角形提供360的內(nèi)角，2008個(gè)點(diǎn)共提供內(nèi)角2008360，于是得方程180n3602008180，解得n4017，即這2008個(gè)點(diǎn)能將原三角形紙片分割成4017個(gè)小三角形

14、.A級(jí)1. 2（bc） 2. 5a2 3. 鈍角 4. 1805. 90 6. C 7. D 8. B 9. B 10. B11. 提示：過(guò)G作GHEB，可推得BECF.12. （1）AMC（ABCADC）（2442）33（2）AN、CN分別平分DAE，BCD，可設(shè)EANDABx，BCNDCNy，BAN180x，設(shè)BC與AN交于S，BSACSN，180xByANC，同理：1802xB2yD，由2得：2ANC180BD.ANC（1802442）123.13. （1）（2）略 提示：（3）DADBAB，DBDCDC，DCDACA，將三個(gè)不等式相加，得2（DADBDC）ABCBCA.（4）由（2）知ABACDBDC，同理BCBADCDA，CACBDADB，故ABBCCADADBDCB級(jí)1. 8 2. 193. 175 提示：設(shè)A（2x），B（5x），則C180（7x），由ACB得15x204.