來(lái)源初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(初二分冊(cè))

1、.第八講非負(fù)數(shù)時(shí)間：2005-9-8 22:29:00 來(lái)源：初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(初二分冊(cè)) 作者：佚名 所謂非負(fù)數(shù)，是指零和正實(shí)數(shù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在解題中頗有用處常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)有三種：實(shí)數(shù)的偶次冪、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值和算術(shù)根 1實(shí)數(shù)的偶次冪是非負(fù)數(shù)若a是任意實(shí)數(shù)，則a2n0(n為正整數(shù))，特別地，當(dāng)n=1時(shí)，有a202實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)若a是實(shí)數(shù)，則性質(zhì) 絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是零3一個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)根是非負(fù)數(shù)4非負(fù)數(shù)的其他性質(zhì)(1)數(shù)軸上，原點(diǎn)和原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的數(shù)都是非負(fù)數(shù)(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)，即若a1，a2，an為非負(fù)數(shù)，則a1a2an0(3)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零，即若

2、a1，a2，an為非負(fù)數(shù)，且a1a2an=0，則必有a1a2an0在利用非負(fù)數(shù)解決問(wèn)題的過(guò)程中，這條性質(zhì)使用的最多(4)非負(fù)數(shù)的積和商(除數(shù)不為零)仍為非負(fù)數(shù)(5)最小非負(fù)數(shù)為零，沒(méi)有最大的非負(fù)數(shù)(6)一元二次方程ax2bxc=0(a0)有實(shí)數(shù)根的充要條件是判別式=b2-4ac為非負(fù)數(shù)應(yīng)用非負(fù)數(shù)解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于能否識(shí)別并揭示出題目中的非負(fù)數(shù)，正確運(yùn)用非負(fù)數(shù)的有關(guān)概念及其性質(zhì)，巧妙地進(jìn)行相應(yīng)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題得到解決解得a=3，b=-2代入代數(shù)式得解 因?yàn)?20x-3)2為非負(fù)數(shù)，所以-(20x-3)20 -(20x-3)20 由，可得：-(20x-3)2=0所以原式=20020=40說(shuō)明

3、 本題解法中應(yīng)用了“若a0且a0，則a=0”，這是個(gè)很有用的性質(zhì)例3 已知x，y為實(shí)數(shù)，且解 因?yàn)閤，y為實(shí)數(shù)，要使y的表達(dá)式有意義，必有解 因?yàn)閍2+b2-4a-2b+5=0，所以a2-4a+4+b2-2b+1=0，即 (a-2)2+(b-1)2=0(a-2)2=0，且 (b-1)2=0所以a=2，b=1所以例5 已知x，y為實(shí)數(shù)，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值時(shí)的x，y的值解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1)2+(2x-y)2+2因?yàn)閤，y為實(shí)數(shù)，所以(x-y+1)2

4、0，(2x-y)20，所以u(píng)2所以當(dāng)時(shí)，u有最小值2，此時(shí)x=1，y=2例6 確定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)解 將原方程化為a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，即(ax-1)2+x2+a2+3=0對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，均有(ax-1)20，x20，a20，30，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0無(wú)實(shí)根例7 求方程的實(shí)數(shù)根分析 本題是已知一個(gè)方程，但要求出兩個(gè)未知數(shù)的值，而要確定兩個(gè)未知數(shù)的值，一般需要兩個(gè)方程因此，要將已知方程變形，看能否出現(xiàn)新的形式，以利于解題解之得經(jīng)檢驗(yàn)，均為原方程的解說(shuō)明 應(yīng)用非負(fù)數(shù)

5、的性質(zhì)“幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和為零，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為零”，可將一個(gè)等式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等式，從而增加了求解的條件例8 已知方程組求實(shí)數(shù)x1，x2，xn的值解 顯然，x1=x2=xn=0是方程組的解由已知方程組可知，在x1，x2，xn 中，只要有一個(gè)值為零，則必有x1=x2=xn=0所以當(dāng)x10，x20，xn0時(shí)，將原方程組化為將上面n個(gè)方程相加得又因?yàn)閤i為實(shí)數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，原方程組的解為例9 求滿足方程a-b+ab=1的非負(fù)整數(shù)a，b的值解 由于a，b為非負(fù)整數(shù)，所以解得例10 當(dāng)a，b為何值時(shí)，方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有實(shí)數(shù)根？解 因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，所以0，即=4(1+

6、a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2+8a-40，所以2a2-4ab-4b2+2a-10，-a2+2a-1-a2-4ab-4b20，-(a-1)2-(a+2b)20因?yàn)?a-1)20，(a+2b)20，所以例11 已知實(shí)數(shù)a，b，c，r，p滿足pr1，pc-2b+ra=0，求證：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有實(shí)數(shù)根證 由已知得2b=pc+ra，所以=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac=p2c2+2pcra+r2a2-4ac=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac=(pc-ra)2

7、+4ac(pr-1)由已知pr-10，又(pc-ra)20，所以當(dāng)ac0時(shí)，0；當(dāng)ac0時(shí)，也有=(2b)2-4ac0綜上，總有0，故原方程必有實(shí)數(shù)根例12 對(duì)任意實(shí)數(shù)x，比較3x2+2x-1與x2+5x-3的大小解 用比差法(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)0，所以 3x2+2x-1x2+5x-3說(shuō)明 比差法是比較兩個(gè)代數(shù)式值的大小的常用方法，除此之外，為判定差是大于零還是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了這兩個(gè)方法，使問(wèn)題得到解決例13 已知a，b，c為實(shí)數(shù)，設(shè)證明：A，B，C中至少有一個(gè)值大于零證 由題

8、設(shè)有A+B+C=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(-3)因?yàn)?a-1)20，(b-1)20，(c-1)20，-30，所以A+B+C0若A0，B0，C0，則A+B+C0與A+B+C0不符，所以A，B，C中至少有一個(gè)大于零例14 已知a0，b0，求證：分析與證明 對(duì)要求證的不等式兩邊分別因式分解有由不等式的性質(zhì)知道，只須證明因?yàn)閍0，b0，所以又因?yàn)樗栽坏仁匠闪⒗?5 四邊形四條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，它們滿足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，試判斷四邊形的形狀解 由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，所以(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，即 (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0因?yàn)閍，b，c，d都是實(shí)數(shù)，所以(a2-b2)20，(c2-d2)20，(ab-cd)20，所以由于a，b，c，d都為正數(shù)，所