高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)人教A版數(shù)集與點(diǎn)集的運(yùn)算學(xué)案

1、名校名 推薦專題一集合與常與邏輯用語問題一：數(shù)集與點(diǎn)集的運(yùn)算一、考情分析集合是高考數(shù)必考內(nèi)容,一般作為容易題.給定集合來判定集合間的關(guān)系、集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算是考查的主要形式 ,常與函數(shù)的定義域、值域、不等式(方程 )的解集相結(jié)合,在知識(shí)交匯處命題,以選擇題為主 ,多出現(xiàn)在試卷的前 3 題中二、經(jīng)驗(yàn)分享(1) 用描述法表示集合 ,首先要搞清楚集合中代表元素的含義 ,再看元素的限制條件 ,明白集合的類型 ,是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型的集合；如下面幾個(gè)集合請(qǐng)注意其區(qū)別： x x22x 0； x y x22x； y y x22x ； x, y y x22x .(2) 二元方程的解集可以用點(diǎn)集形式表示,

2、如二元方程 xy2 的整數(shù)解集可表示為1,2 ,2,1 , 1,2 , 2, 1.+(3) 集合中元素的互異性常常容易忽略,求解問題時(shí)要特別注意分類討論的思想方法常用于解決集合問題(4) 空集是任何集合的子集 ,在涉及集合關(guān)系時(shí) ,必須優(yōu)先考慮空集的情況 ,否則會(huì)造成漏解 (2) 已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí),關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系.(5) 一般來講 ,集合中的元素若是離散的,則用venn 圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù),則用數(shù)軸表示,此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況(6) 解決以集合為背景的新定義問題,要抓住兩點(diǎn)：緊扣新定義首先分析新定義的特點(diǎn),把新定義

3、所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚,并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中,這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；用好集合的性質(zhì)解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素,在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)三、知識(shí)拓展1若有限集 a 中有 n 個(gè)元素 ,則集合 a 的子集個(gè)數(shù)為2n,真子集的個(gè)數(shù)為 2n1.2 a? b? ab a? ab ba 痧ubau b u.3奇數(shù)集： x x 2n 1,n zx x 2n 1,nzx x4n 1.n z .4. 數(shù)集運(yùn)算的封閉性 ,高考多次考查 ,基礎(chǔ)知識(shí)如下 :若從某個(gè)非空數(shù)集中任選兩個(gè)元素(同一元素可重復(fù)選出 ),選出的這兩個(gè)元素通過某種(或幾種 )運(yùn)算后的得

4、數(shù)仍是該數(shù)集中的元素,那么 ,就說該集合對(duì)于這種(或幾種 )運(yùn)算是封閉的.自然數(shù)集n 對(duì)加法運(yùn)算是封閉的;整數(shù)集 z 對(duì)加、減、乘法運(yùn)算是封閉的.有理數(shù)集、復(fù)數(shù)1名校名 推薦集對(duì)四則運(yùn)算是封閉的.對(duì)加、減、乘運(yùn)算封閉的數(shù)集叫數(shù)環(huán),有限數(shù)集 0 就是一個(gè)數(shù)環(huán) ,叫零環(huán) .設(shè) f 是由一些數(shù)所構(gòu)成的集合,其中包含0 和 1,如果對(duì) f 中的任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為0),仍是 f 中的數(shù) ,即運(yùn)算封閉 ,則稱 f 為數(shù)域 .四、題型分析( 一 ) 與數(shù)集有關(guān)的基本運(yùn)算【例 1】已知全集為r ,集合 ax|1 x2 6x 8021,b x|x ,則 ae r b 等于 ( )a x|x0b

5、 x|0 x 2 或 x 4c x|2 x 4d x|0x2或 x 4【分析】將集合a,b 化簡(jiǎn) ,結(jié)合數(shù)軸求 a? rb.【解析】 (1)a x|x0,b x|2 x4 e rb x|x 4或 x2 ae rb x|x 0 x|x 4 或 x 2 x|0 x 2 或 x 4 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于集合的運(yùn)算,一般先把參與運(yùn)算的集合化簡(jiǎn),求解本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出b,并注意端點(diǎn)值的取舍若給定集合涉及不等式的解集,可借助數(shù)軸進(jìn)行【小試牛刀】 【 2017 全國 1 理 1】已知集合ax x1 , bx 3x1 ,則（）.a.abx x0b.abrc.abx x1d.ab【答案】 a【解析】ax x1 , b

6、x 3x1x x0 ,所以 abx x0 , abx x1 .故選 a.( 二 )與點(diǎn)集有關(guān)的基本運(yùn)算【例 2】已知 m( x, y) | y33 , n ( x, y) | ax2 y a 0, m n,則 a （ ）x2a 2b 6c 2d一 2 或 6【分析】 首先分析集合 m 是除去點(diǎn)(2,3) 的直線 y 3x3 ,集合 n 表示過定點(diǎn) (1,0) 的直線 , m n等價(jià)于兩條直線平行或者直線ax2 y a 0 過 (2,3) ,進(jìn)而列方程求 a 的值【點(diǎn)評(píng)】分析集合元素的構(gòu)成,將集合運(yùn)算的結(jié)果翻譯到兩條直線的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵2名校名 推薦【小試牛刀】【 2017 全國 3 理 1

7、】已知集合 a= ( x, y) x2y 21 , b( x, y) yx ,則 ab 中元素的個(gè)數(shù)為（）.a 3b 2c1d 0【答案】 b【解析】集合 a 表示圓 x2y21上所有點(diǎn)的集合 , b 表示直線 yx 上所有點(diǎn)的集合 ,如圖所示 ,所以 ab 表示兩直線與圓的交點(diǎn),由圖可知交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,即 ab 元素的個(gè)數(shù)為2.故選 b.yy=xx2+y 2= 1ox( 三 )根據(jù)數(shù)集、點(diǎn)集滿足條件確定參數(shù)范圍【例 3】設(shè)常數(shù) ar ,集合 a x|(x 1)(x a) 0,b x|xa 1, 若 ab r,則 a 的取值范圍為 ()a ( ,2)b ( ,2c (2, ) d 2, )【分

8、析】先得到a ( ,1 a, ),b a 1, ),再根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系求參數(shù)范圍.【點(diǎn)評(píng)】求解本題的關(guān)鍵是對(duì)a 進(jìn)行討論 .【小試牛刀】已知p x|2xk,x n, 若集合 p 中恰有3 個(gè)元素 ,則 k 的取值范圍為 _【答案】 (5,6【解析】因?yàn)閜 中恰有3 個(gè)元素 ,所以 p3,4,5,故 k 的取值范圍為 50 且 a1）的圖象與函數(shù)y=x 的圖象有公共點(diǎn) ,所以方程組：yax有解 ,消去 y 得 ax=x,yx顯然 x=0 不是方程的ax=x 解,所以存在非零常數(shù)t,使 at=t于是對(duì)于f （x） =ax ,有f （x t） =ax+t = atax=tax =t f （ x）

9、,故 f （ x）=ax m即 sin（ kx k ） = sinkx 成立 ,則 k=2m ,mz, 即 k= （ 2m 1）,mz 綜合得 ,實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 k | k= m ,m z 【點(diǎn)評(píng)】集合與其他知識(shí)的交匯處理辦法往往有兩種：其一是根據(jù)函數(shù)、方程、不等式所賦予的實(shí)數(shù)的取值范圍 ,進(jìn)而利用集合的知識(shí)處理；其二是由集合的運(yùn)算性質(zhì) ,得到具有某種性質(zhì)的曲線的位置關(guān)系 ,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為幾何問題處理【小試牛刀】在直角坐標(biāo)系xoy 中 ,全集 u( x, y) | x, y r ,集合a ( x, y) | x cos( y4) sin1,02 ,cu a所對(duì)應(yīng)區(qū)域的對(duì)稱中心為m ,已知集

10、合 a 的補(bǔ)集點(diǎn) p 是線段 x y8( x0, y0) 上的動(dòng)點(diǎn) ,點(diǎn) q 是 x 軸上的動(dòng)點(diǎn) ,則mpq 周長(zhǎng)的最小值為（）a 24b 4 10c 14d 8 4 2【答案】 b【解析】點(diǎn)到直線x cos( y4)sin1的距離d1，直線（0，4）cos21sin2xcos( y4)sin1 始終與圓 x2y21相切 ,44名校名 推薦集合 a 表示除圓 x2y421以外所有的點(diǎn)組成的集合,集合 cu a 表示圓 x2y421,其對(duì)稱中心 m 0,4如圖所示：設(shè)m是點(diǎn)m0,4關(guān)于直線線段x y8(x0, y0)的對(duì)稱點(diǎn) ,設(shè),m（a，b）b4 a01a4m 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為則由求得m

11、48mm n,可得a0 b4b（ ， ）設(shè)（ ， ）,易得8822m（ 4，-8 ）,則直線 qm,和線段的交點(diǎn)為p ,則此時(shí) , mpq 的周長(zhǎng)為mp pqqmpmpq qmm qqmm qqmm m4 10 ,為最小值 ,( 五 )與數(shù)集、點(diǎn)集有關(guān)的信息遷移題【例 5】若集合 a 具有以下性質(zhì)：( )0 a,1a；1( )若 x a,ya,則 xy a,且 x0時(shí) ,xa.則稱集合a 是 “好集 ”下列命題正確的個(gè)數(shù)是()(1) 集合 b 1,0,1 是 “好集 ”；(2) 有理數(shù)集 q 是 “好集 ”；(3) 設(shè)集合 a 是 “好集 ”,若 x a,y a,則 x ya.a 0b 1c 2d 3【分析】抓住新定義的特點(diǎn),根據(jù) “好集 ”滿足的兩個(gè)性質(zhì),逐個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證5名校名 推薦【點(diǎn)評(píng)】緊扣新定義,抓住新定義的特點(diǎn),把新定義敘述的問題的本質(zhì)搞清楚, 并能夠應(yīng)用到具體的解題過程中【小試牛刀】 【 2017 浙江溫州高三模擬】已知集合m ( x, y) | x2y 21 ,若實(shí)數(shù), 滿足：對(duì)任意的(x, y)m ,都有 (x, y) m ,則稱 (, ) 是集合 m 的 “和諧實(shí)數(shù)對(duì) ”,則以下集合中,存在 “和諧實(shí)數(shù)對(duì) ”的是（）a (,) |b (,) |c (,) |d (,) |【答案】 c