函數(shù)的極限重要極限無(wú)窮大與無(wú)窮小

1、第四節(jié) 函數(shù)的極限,一、函數(shù)極限的定義 二、函數(shù)極限的性質(zhì)和計(jì)算 三、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 四、小結(jié)與思考判斷題,一、函數(shù)極限的定義,本節(jié)仿照數(shù)列極限討論給出函數(shù)極限，先給出函數(shù)極限的一般概念：在自變量的某個(gè)變化過程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近某個(gè)確定常數(shù)，那么這一確定常數(shù)就叫作在這一過程中函數(shù)的極限.函數(shù)的極限與自變量的變化過程有關(guān).自變量的變化過程不同，函數(shù)極限的形式就不同.主要研究?jī)煞N情形,函數(shù)的極限六種存在形式,即函數(shù)極限的兩種主要形式如下,1.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限,考慮自變量 趨近于有限值 ，記這一變化過程為,仿照數(shù)列極限的定義，給出 時(shí)函數(shù)的極限的定義,則,討論單側(cè)極限,函數(shù)

2、值無(wú)限接近于2,函數(shù)值無(wú)限接近于2,左極限,右極限,記作,左右極限存在但不相等,例1,證,結(jié)論,小結(jié),注：分段函數(shù)分點(diǎn)處的極限， 要分 別求左極限和右極限,證明函數(shù)極限不存在的方法是,1)證明左極限與右極限至少有一個(gè)不存在,2)或證明左極限和右極限均存在, 但不相等,2.自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限,自變量 表示 及 ， 對(duì)正數(shù) ， 表示 及,定義2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。┛偞嬖谥龜?shù) ，使得對(duì)于適合不等式 的一切 ，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 都滿足不等式 那么常數(shù) 就叫函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的極限，記作,另兩種情形,結(jié)論,二、函數(shù)極限的性質(zhì),定理,定理(保號(hào)性,推論,3.局部保號(hào)性,定理1,極限

3、的四則運(yùn)算法則,三、極限的運(yùn)算法則,推論2,1）當(dāng)時(shí)，而時(shí),2）當(dāng)時(shí)，而時(shí),3）當(dāng)時(shí)，而時(shí),4）當(dāng)時(shí)，而時(shí),5）當(dāng)時(shí)，而時(shí),例1求,解,解：原式,例3 求,解: 原式,又例 : 求,極限存在準(zhǔn)則,四、兩個(gè)重要極限,1,注,此結(jié)論可推廣到,注意,解,解,解,例4,解,解,因此,例5 求,解,例7 求,解,于是,練習(xí),解,2,利用數(shù)列公式,用變量代換可求出,此結(jié)論可推廣到,注,注意,解,例2,解,一般地,例3 求,解一,解二,解,例5,解,解,解,解,解,解,4,思考題,思考題解答,左極限存在,右極限存在,不存在,思考題,求極限,思考題解答,無(wú)窮小量與無(wú)窮大量,一、無(wú)窮小量,在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇

4、到極限為0的變量。 對(duì)于這種變量不僅具有實(shí)際意義，而且更具有理論價(jià)值，值得我們單獨(dú)給出定義,定義1,在x的某一變化過程中,函數(shù)f(x)極限為零,稱f(x)為該過程的無(wú)窮小量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮小,當(dāng),例如,函數(shù),當(dāng),時(shí)為無(wú)窮小,函數(shù),時(shí)為無(wú)窮小,注意,1.稱函數(shù)為無(wú)窮小，必須指明自變量的 變化過程,2.無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆,3.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù),無(wú)窮小,證,必要性,充分性,意義,將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無(wú)窮小,無(wú)窮小的性質(zhì),2）有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小,1）有限個(gè)無(wú)窮小的和、差、積仍是無(wú)窮小,3）在同一過程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小,4）常數(shù)與無(wú)窮小的

5、乘積是無(wú)窮小,例1,解,二、無(wú)窮大量,記作,記作,注意,1.無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆,3. 無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大,三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,意義 據(jù)此定理，關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論,若,為無(wú)窮大,為無(wú)窮小,若,為無(wú)窮小, 且,則,為無(wú)窮大,則,定理3 在自變量的同一變化過程中,可得,解,例3,解,無(wú)窮小因子分出法,注,由于分子分母極限,注,先通分,后求極限,解,原式,練習(xí),求,解,則,解,2.3.3 極限的復(fù)合運(yùn)算法則,定理5 （極限復(fù)合運(yùn)算法則變量代換法則,例5,解,三、小結(jié),函數(shù)極限的統(tǒng)一定義,見下表,4.無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過程而言的,1、主要內(nèi)容,兩個(gè)定義;四個(gè)定理,2、幾點(diǎn)注意,1） 無(wú)窮?。?大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆